Старинные задачи по математике
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Старинные задачи Набор задач для внеклассной работы по математике. Учитель школы № 517 Шешеро Т.А

Слайд 2

Цель работы 1) Изучить историю возникновения арифметических задач, причины, побудившие их возникновение, авторов-составителей задач, их биографии. 2) Подробнее познакомиться со старинными единицами измерения. 3) Проследить методы решения задач: от простых арифметических (арифметический способ) до более сложных задач на доказательство и решаемых с помощью уравнений, систем. 4) Найти новые методы решения задач.

Слайд 3

Историческая справка Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в Х-Х I веках. Они были связаны с практическими нуждами людей. В Х VI- Х VII веках в России начинает распространяться рукописная математическая литература. В настоящее время известно значительное количество математических рукописей Х VII века. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Рукописи Х VI- Х VII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. В 1703 году был издан учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…» Автором его был выдающийся педагог-математик-Л.Ф.Магницкий. В 1738-1740 и 1768-1769 годах были изданы учебники Эйлера по элементарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» и «Универсальная арифметика». В учебниках того времени можно найти множество занимательных задач.

Слайд 4

Русская Правда «А полбы немолоченые 15 копен , А на то прибытка на одно лето 7 копен, А на всю 12 лет в той полбе прибытка 1000, 700 и 50 копен». Эти строки взяты из статьи «О полбе немолоченой» одного из ранних рукописных исторических документов-Русской Правды. Судя по всему , подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3 / 2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах.

Слайд 5

Древнее математическое произведение Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. Как известно даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движением Солнца и Луны. Вычисление дня Пасхи, представляет поэтому непростую математическую задачу.В начале «Учения…» указывается, что написано оно в 6644 году от «сотворения мира» и что от «сотворения мира» прошло 79 728 месяцев, или 346 673 недели, или 2 426 721 день, или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник Пасхи в текущем году.

Слайд 6

Словарь старинных русских мер длины Аршин — старинная русская мера длины, равная, в современном исчислении 0,7112 м. Аршином, так же, называли мерную линейку, на которую, обычно, наносили деления в вершках. Пядь - это расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении Локоть - это расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба Сажень — одна из наиболее распространенных на Руси мер длины. Различных по назначению (и, соответственно, величине) саженей было больше десяти. «Маховая сажень» — расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. «Косая сажень» — самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки. Верста — старорусская путевая мера (её раннее название — поприще ). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Вершок равнялся 1/16 аршина, 1/4 четверти. В современном исчислении — 4,44 см. Наименование «Вершок» происходит от слова «верх».

Слайд 7

Вершок - 44.38 мм Аршин - 0.71 м = 16 вершков = 2.333 фута = 28 дюймов Сажень - 3 аршина = 2.13 м Верста -1066.78 м = 500 саженей Перевод единиц измерений

Слайд 8

Задачи на старинные русские меры длины Задача № 1 Условие Расстояние между дворцом государя и боярским поместьем равно 40 верстам. Из поместья выехал приказчик со скоростью 8 верст / час. Сколько часов он ехал? Решение 1) 40*1,066=42, 64 (км) 2) 8*1,066=8,528 (км / ч) 3) 42,64:8,528=5 (ч) Ответ:Приказчик ехал 5 часов.

Слайд 9

Задача № 2 Условие Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На сколько Илья выше Федора? Решение 1) 3*4,4445=13,3335 (см) 2) 4,4445+13,3335=17,778 (см) Ответ: Илья выше Федора на 17,778 см.

Слайд 10

Задача № 3 Условие Замостили брусчаткой 25% всей главной улицы города. Вся длина улицы составляла 4 версты, а ширина дороги составляла 2 сажени. Сколько осталось замостить дороги, если еще замостили 5 саженей 2 ? Решение 4*500=2000 (саж.) 2000*2=4000 (саж 2 .) 4000*0,25=1000(саж 2 .) 1000+5=1005 (саж 2 .) 4000-1005=2995 (саж 2 .) Ответ: Осталось замостить 2995 саженей 2 дороги.

Слайд 11

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) Род. в семье крестьянина. Самоучкой выучился грамоте. В 1684 был послан крестьянами с рыбой в Иосифо-Волоколамский монастырь, где был оставлен "для чтения", а в дальнейшем отправлен в Симонов монастырь в Москве. В 1685 - 1694 учился в Славяно-греко-латинской академии. В 1694 - 1701 Магницкий жил в Москве, занимался самообразованием, изучив немецкий, голландский, итальянский языки и математику. 22 февр. 1701 по распоряжению Петра I Магницкий был назначен преподавателем Навигацкой школы и ему было поручено написать учебник по математике и кораблевождению. В 1703 Магницкий разработал рукописный курс по геометрии, тригонометрии и кораблевождению и выпустил в свет первый рус. учебник по математике "Арифметика, сиречь наука числительная" тиражом 2 400 экз. По этому учебнику учился М.В. Ломоносов. Составленная "ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей", эта книга служила полстолетия распространению математических знаний в России. В 1703 - -1739 Магницкий занимался подготовкой для Навигацкой школы преподавателей из числа лучших учащихся. В 1704 по распоряжению Петра I для Магницкого был построен дом, а за "непрестанные и прилежные в навигацких школах во учении труды" Магницкий был награжден "саксонским кафтаном". В 1715 Магницкий стал старшим преподавателем. Будучи бессменным преподавателем Навигацкой школы в течение почти четырех десятилетий, а затем и главным ее руководителем, Магницкий способствовал успеху петровских преобразований в области просвещения.

Слайд 12

Задачи из старинных рукописей и «Арифметики…» Л.Ф.Магницкого

Слайд 13

Житейские истории Задача № 4 Условие Косцы. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса. Решение Обозначим неизвестное количество косцов буквой х . Запишем: 6 косцов 8 часов Х косцов 3 часа Составим пропорцию: Х /6=8/3 3 х=48 Х=16 Следовательно, 16 косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

Слайд 14

Задача № 5 Условие Кому пасти овец? У пятерых крестьян-Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима-было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди-по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец» По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец , если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим-вчетверо меньше, чем Петр? Решение Из условия нам известно, что и у Михаила и у Ивана вдвое больше овец, чем у Якова, у Петра вдвое больше, чем у Ивана, и, значит, вчетверо больше, чем у Якова.Но тогда у Герасима столько же овец, сколько имеет их Яков. Общее число овец поэтому в 4+2+1+2+1=10 раз больше, чем число овец у Якова. Получаем, что у Якова 1 овца, тогда у Михаила и Ивана по 2 овцы, у Петра 4 и у Герасима 1 овца. Соответственно каждый из них должен пасти овец столько же дней.

Слайд 15

Задача № 6 Условие Как разделить орехи? Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в четыре раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в три раза». Как внукам разделить орехи? Решение Пусть количество орехов в первой части х, а во второй части у. Составим систему и решим ее способом сложения: х+у=130 4х=у / 3 х+у=130 / *(-4) 4х-1 /3 у=0 -4х-4у=-520 4х-1 / 3у=0 -41 /3 у=-520 у=120, х=10 Следовательно, меньшая часть будет содержать 10 орехов, а большая 120 орехов.

Слайд 16

Путешествия Задача № 7 Условие Далеко ли до деревни? Прохожий, догнавши другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты , тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему? Решение До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, что составляет 1/2 -1 /3=1/6 всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1 /3 *12=4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

Слайд 17

Денежные расчеты Задача № 8 Условие Сколько стоит кафтан? Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 рублей и впридачу дать кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан? Решение Знаем, что работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах составляет 7 /5 рубля, или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7*7 /5=9 4/5 рубля, или 9 рублей 80 копеек. Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

Слайд 18

Леонард Эйлер (1707-1783) ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (1707–1783), великий математик, механик и физик. Родился 4 апреля 1707 в Базеле. Учился в Базельском университете (1720–1724), где его учителем был известный математик Иоганн Бернулли. Уже в 1722, в возрасте 16 лет, получил степень магистра искусств. В 1727 переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 стал профессором физики, в 1733 – профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741–1766 он работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II, и за эти 25 лет написал огромное множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург он полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 17 сентября 1783.

Слайд 19

Задача Эйлера Задача № 9 Условие Докажите, что в произвольном выпуклом четырехугольнике сумма квадратов длин сторон превышает сумму квадратов длин диагоналей на величину, равную учетверенному квадрату расстояния между серединами диагоналей. Доказательство Пусть ABCD- выпуклый четырехугольник, точки H и G- середины диагоналей AC и BD . На продолжении отрезка AG за точку G отложим точку E такую, что AG=GE . Аналогично на продолжении отрезка CG за точку G отложим точку F такую, что CG=GF . В четырехугольниках ABED , ACEF , и BCDF диагонали в точке их пересечения G делятся пополам. Следовательно, эти четырехугольники-параллелограммы. Так как A B C E D F H G

Слайд 20

Задачи из книг, изданных в Х VIII веке

Слайд 21

Сколько кому лет Задача № 10 Условие Сколько им лет? Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому? Решение Пусть возраст старшего из беседующих- х , а возраст младшего- у . По условию задачи, когда старшему было у лет (а было это х-у лет тому назад) и, следовательно, младшему у-(х-у)=2у-х лет, возраст младшего был вдвое меньше, чем нынешний возраст старшего. Поэтому х=2*(2у-х), или 3х=4у. С другой стороны, когда младшему будет х лет, т. е. через (х-у) лет, сумма возрастов составит 63 года, следовательно, х+(х-у)+х=63 , или 3х=у+63. Из полученных равенств следует, что 4у=у+63 и у=21. Но тогда х=28. Старшему из беседующих 28 лет, младшему 21 год.

Слайд 22

Задача № 11 Условие Замысловатый ответ. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям? Решение Пусть одному сыну х лет, а другому y лет. Тогда из условия задачи имеем х y +х+ y =14 , откуда y=14- х / х +1=15/ х +1-1 . Поскольку у-натуральное число, а 15=5*3*1, то: 1) либо х +1=5; 2) либо х +1=3; 3) либо х +1=1 В случае 1) х =4, тогда у =2; в случае 2) х =2, тогда у =4; в случае 3) х =0, чего не может быть, так как х-натуральное число. Следовательно, одному сыну 2 года, а другому 4 года.

Слайд 23

Фигурные числа Задача № 12 Условие Пирамида из ядер. Пушечные ядра, приготовленные для стрельбы, сложены в виде треугольной пирамиды. Ядра, образующие первый слой, составляют правильный треугольник, на стороне которого лежит n ядер. Ядра второго слоя положены в выемки, образованные ядрами первого слоя. Точно также образуются и последующие слои. Последний слой состоит из одного ядра. Сколько ядер в этой пирамиде? Решение Количество ядер, лежащих в первом слое, равно треугольному числу с номером n , во втором слое-треугольному числу с номером n-1 и т. д. В последнем слое с номером n лежит одно ядро, и первое треугольное число также равно 1. Значит количество ядер в пирамиде равно сумме первых n треугольных чисел, т. е. Сумме чисел вида ( k 2 +k ) / 2, k=1 , 2, …, n . Для того, чтобы найти сумму, составим тождество (k 2 +k)/2=(k 3 +3k 2 +2k)/6-((k-1) 3 +3(k-1) 2 +2(k-1))/6 . Подставляя в него последовательно k=1 ,2,3,…, n , получим равенства 1=1-0 3=4-1 6=10-4 10=20-10 ………… . (n 2 +n)/2=(n 3 +3n 2 +2n)/6-((n-1) 3 +3(n-1) 2 +2(n-1))/6 . Сложим теперь почленно левые и правые части написанных равенств. Слева получится сумма всех треугольных чисел от первого до n -го, т. е. количество ядер в пирамиде. При сложении же выражений в правой части уничтожаются все слагаемые, кроме ( n 3 +3n 2 +2n)/6 . Следовательно пирамида сложена из (n 3 +3n 2 +2n)/6=(n(n+1)(n+2))/6 ядер.

Слайд 24

Забавные истории Задача № 13 Условие «Богатство». У приезжего молодца оценили «богатство»: модный жилет с поношенным фраком в 3 алтына без полушки, но фрак в полтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена. Решение Найдем общую цену «богатства»: 9копеек-0,25копеек=8,75 копеек Обозначим цену жилета буквой х , тогда цена фрака равняется 2,5х , а общая цена 8,75 копеек. Составим уравнение: х+2,5х=8,75 3,5х=8,75 Х=2,5 -цена жилета Найдем цену фрака: 2,5*2,5=6,25 копеек. Цена жилета 2,5 копейки, цена фрака 6,25 копеек.

Слайд 25

Выводы Выполняя эту работу, мы изучили много дополнительной литературы: исторические справочники, задачники, энциклопедии. Проделанная работа дала нам представление о практике решения задач в старые времена, доставила нам огромное удовольствие и расширила наш кругозор.

Слайд 26

Конец