Решение задач по теории вероятности из сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре

1. Классическое определение вероятности

1). В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.       Р(А) = 9/15 = 0,6.    Ответ: 0,6.

2). В сборнике по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Р(А) = 23/25 = 0,92.           Ответ: 0,92.

3). В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.  Т.к. из Китая — 5, то Р(А) = 5/20 = 0,25 

4). В коробке лежат 15 бильярдных шаров, пронумерованных числами от 1 до 15. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар будет иметь номер, кратный 3? Ответ округлите до сотых.

Из 15 равновозможных результатов наступлению события «вынутый шар имеет номер, кратный 3» способствует 5 результатов: шар номер 3, или 6, или 9, или 12, или 15.

Поэтому искомая вероятность равна Р(А) = 5/15 ≈ 0,33  Ответ: 0,33

5). Подбрасывают одновременно две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что, хотя бы один раз выпадет герб?

В этом испытании 4 равновозможных результата. В первых трёх хотя бы один раз выпал герб.

Поэтому вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух монет хотя бы один раз выпадет герб, равна Р(А) = 3/4 = 0,75.         Ответ: 0,75.

2. Более сложные задачи (свойства вероятности)

6). Если футбольная команда А играет на домашнем стадионе, то она выигрывает у футбольной команды Б с вероятностью 0,4. Если команда А играет в гостях (на домашнем стадионе команды Б), то команда А выигрывает у команды Б с вероятностью 0,3. Команды А и Б играют два матча по одному разу на домашнем стадионе каждой из них. Найдите вероятность того, что команда А выиграет оба матча.        Р(А и В одновременно)=Р(А)Р(В)

Р(А выигр. на своём)=0,4     Р(А выигр. на чужом)=0,3

Р(А ⋂ В) = 0,4 ∙ 0,3 = 0,12          Ответ: 0,12.

7). По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,85. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина В, равна 0,96. Пётр Петрович заказал товар сразу в двух магазинах. Считая, что магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Р(А) = 0,85     Р(В) = 0,96   Ответ: 0,006.

8). Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Ответ: 0, 81

9). Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишень, а последние три - промахнулся. Результат округлите до сотых.

Р=0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4=0,02304 ≈ 0, 02

10). Ракета поражает цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что цель не окажется поражённой после 4 запусков ракеты?

     Р = 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 = 0,0001      

11). Алексей подкидывает монетку до тех пор, пока не выпадет решка. Какова вероятность того, что он сделает ровно 4 подбрасывания?

   Р = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,0625

12). На рисунке изображён лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая, что выбор пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышка придёт к выходу В.

Р(1) = 0,5    Р(2) = 0,5    Р(3) = 0,5    Р(4) = 0,5

Р(1 ⋂ 2 ⋂ 3 ⋂ 4 ) = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,0625 

13). Иван Петрович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наугад выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Найдите вероятность того, что Иван Петрович попадёт в точку Е.

Р(А) = 0,5      Р(В) = 0,5        Р(А ⋂ В) = 0,5 ∙ 0,5 = 0,25

14). В классе 9 мальчиков и 16 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут две девочки

Р(А) = 16/25   Р(В) = 15/24   Р(А ⋂ В) = 16/25 ∙ 15/24= 2/5 = 0,4

15). Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Р = 0,93 – 0,81 = 0,12       или                          

От 1 года до 2 лет сломалось 19 – 7 =12 (кофемолок)  Р = 12/100 = 0,12                           

16). Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду в автобусе окажется меньше 40 пассажиров равна 0,89. Вероятность того, что окажется меньше 28 пассажиров, равна 0,37. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 28 до 39.

Р = 0,89 – 0,37 = 0,52                                Ответ: 0,52.

3. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

17). В двух урнах лежат шары, которые отличаются только цветом. В первой урне лежат 2 белых и 3 чёрных шара, а во второй – 3 белых и 2 чёрных. Из каждой урны наугад достают по одному шару. Какова вероятность того, что, хотя бы 1 из двух шаров окажется белым?

В ходе эксперимента можно получить 3 результата: оба вытянутых шара белые, или оба чёрные, или один белый, а другой чёрный.

Однако, эти результаты не являются равновозможными.

Чтобы иметь равновозможные результаты, пронумеруем все 10 шаров.

Т.к. в каждой урне лежит по 5 шаров, то из них можно составить 5 ∙ 5 = 25 таких пар, то есть 25 равновозможных результатов.

Т.к. в первой лежат 3 чёрных, а во второй – 2 чёрных, то существует: 3 ∙ 2 = 6 пар шаров чёрного цвета.

Значит, 25 – 6 = 19 пар шаров, среди которых есть хотя бы один белый.

Следовательно, вероятность того, что, хотя бы 1 из двух шаров окажется белым Р(А) = 19/25 = 0, 76        Ответ: 0,76.

18). Бросают 4 игральных кубика. Найдите вероятность того, что:

1) выпадет ровно одна шестёрка (событие А);

2) выпадут 4 разные цифры (событие В);

3) не выпадет ни одной шестёрки (событие С);

4) выпадет хотя бы одна шестёрка (событие D).

Пронумеруем кубики числами от 1 до 4.

Любой результат эксперимента будем записывать в виде (а; в; с; d),

где а; в; с; d – кол-во очков, выпавших соответственно на 1 – 4 кубиках.

Всего может образоваться 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 6^4 таких четвёрок.

Следовательно, в данном эксперименте есть 6^4 равновозможных результата.

1) выпадет ровно одна шестёрка (событие А);

Единственная выпавшая шестёрка может стоять на любом из четырёх мест. Пусть, например, она стоит на первом месте.

На остальных трёх местах стоят любые цифры от 1 до 5. Тогда кол-во четвёрок вида (6; в; с; d) равно 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5^3.

Общее кол-во благоприятных результатов равно 4 ∙( 5)^3. Следовательно,              Ответ: 0,39.

2) выпадут 4 разные цифры (событие В);

В этом случае это 4-элементное упорядоченное подмножество множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3) не выпадет ни одной шестёрки (событие С);

На каждом из четырёх мест может стоять любая из цифр от 1 до 5. Отсюда кол-во результатов, благоприятных для наступления события С, равно 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5^4

4) выпадет хотя бы одна шестёрка (событие D).

Кол-во всех результатов 6^4.

Кол-во всех результатов, где нет ни одной шестёрки, 5^4.

Тогда 6^4 - 5^4 - это кол-во всех результатов, содержащих хотя бы одну шестёрку.

              Ответ: 0,52.

19). Контролёр в партии из 20 деталей наугад выбирает 5 деталей на проверку. Если среди выбранных деталей нет ни одной бракованной, то он принимает всю партию. Найдите вероятность того, что контролёр примет партию деталей, содержащую 7 бракованных?

Если в партии из 20 деталей 7 бракованных, тогда качественных в ней 13

                               Ответ: 0,08.

4. Геометрическое определение вероятности

20). В прямоугольный треугольник с катетами 5см и 12см наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт в круг, вписанный в этот треугольник? Число π округлить до целых.

Если в плоской фигуре Ф с ненулевой площадью S наугад выбирают точку Х, то вероятность того, что точка Х будет принадлежать данной фигуре А ∁ Ф с площадью S(А) считают отношение площади S(А) к S.         Р(А) = 𝑺(𝑨)/𝑺

Площадь треугольника равна S = (5∙12) / 2 = 30 (см^2)

Используя формулу S = p∙r, вычислим радиус вписанного круга. r = 30:15 = 2(см)

Тогда площадь вписанного круга равна 4π см^2. Следовательно, вероятность того, что наугад выбранная точка попадёт во вписанный круг, составляет
                                                           Ответ: 0,4

 21). В правильном треугольнике со стороной 6см наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка будет принадлежать кругу, вписанному в данный треугольник? Число π округлить до целых.

Площадь треугольника равна S = (а^2 √3 ) / 4  = 9√3.

Используя формулу S = pr , вычислим радиус вписанного круга. r = √3.

Тогда площадь вписанного круга Sкр = 2πr = 2π√3

Следовательно, вероятность того, что наугад выбранная точка попадёт во вписанный круг, составляет 2π√3 / 9√3 = 6 / 9 = 2/3.    Ответ: 2/3.

Для опытов с выбором точки на прямой или в пространстве можно записать аналогичные отношения.

5. Хитрая задача

22). В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончатся шоколадки, равна 0,4. Вероятность того, что шоколадки закончатся в обоих автоматах, равна 0,35. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколадки останутся в обоих автоматах.

Р(1) = 0,4       Р(2) = 0,4         Р(1и2) = 0,35

Почему Р(1 ⋂ 2) = 0,4 x 0,4 = 0,16?

Формула Р(А⋂ В) = Р(А)Р(В) работает только для независимых событий.

Видимо, автоматы зависимы. Они знают, когда что-то происходит с другим.

    Р = 1 – 0,4 – 0,4 + 0,35 = 0,2 + 0,35 = 0,55

Ответ: 0,55