открытый урок
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Тема урока : Геометрическая прогрессия.

 Цели урока:

- образовательная: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «формулы n-го члена»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член  геометрической прогрессии.

- развивающая:способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач.

- воспитательная: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

Тип урока: объяснение нового материала. (Урок – введения новых знаний) 

Формы организации деятельности на уроке: 

• фронтальная
• индивидуальная
• групповая

Методы: 

• словесные;
• наглядные;
• практические.

I. Организационный момент.

Сегодня мы продолжаем работать с последовательностями, пополнять наш багаж знаний. И предлагаю считать девизом нашего урока слова «Прогрессио – движение вперед».

2 Актуализация знаний.

а) Фронтальный опрос

1) Какая числовая последовательность называется  арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Назовите формулу n-го члена.
4) Назовите формулу суммы n первых членов   арифметической прогрессии.
5) Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

б).Работа в парах

Задание 1(на карточках). По 3 задания каждой паре. Каждая пара на доске записывает свои ответы.

Вставьте пропущенное число:

I:

1) 18, 21, 24, 27?
2) 2,?, 6,… 
3) 1, 3, 9, 27,?

II:

1) 7, 10, 13, 16?
2) 9,?, 21,… 
3) 5, 10, 20, 40,?

III:

1) 4, 9, 14, 19?
2) 3,?, 13,…
3) 2, -6, 18, - 54?

IV:

1) -1, 1, 3,? ,7

2) 2, 7, ? 17

3) -5, -10, - 20, -40?

Каждая пара объясняет, какой прогрессией является каждый пример.

Первый пример является арифметической прогрессией.

Второй пример тоже арифметическая прогрессия.

А чтобы ответить какими прогрессиями являются третьи последовательности чисел, мы выполним работу на карточках и заполним таблицу.

II. Объяснение нового материала.

 Формулируется тема урока и цели

Дети сами формулируют цели урока:

– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека. Слайд

 Дать определение пробуют сами ученики.

Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Слайд

Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 6;  ...? 
4; 0; 0; 0; …?

Ответ: нет.

Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?

Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Работа с учебником

  После этой работы даётся точное определение по учебнику. Стр. 225

А теперь рассмотрим задачи практического характера.

Задание 2 (на карточках). Даются 4 задачи по одной каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи».

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

IV .Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

(Ответ: 0,0002; 0,0004; 0,0008;…)

Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.

4. Умножением на 2

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

q = 

Устно (слайд) Найти знаменатель q.

I .1) 2; 6; 18; 54 ;…( q = 3)

(q = )

II.1) 5; - 5; 5; - 5 ;…( q = - 1)

2) (q = )

III.1) -2; 4; - 8; 16 ;…( q = - 2)

2)(q =)

4. Проблемная ситуация

Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 % , а в другом ежемесячно на 1 %.В какой банк выгоднее положить деньги?
(Учащиеся предлагают следующее решение)

Решение:

1. 10 000 * 1,14 = 11 400 р. –  в первом банке
2. 10 000 * 1,01  = 10 100 р. – через месяц
10 100 * 1,01 = 10 201 р. – через два месяца
10 201 * 1,01 = 10 303р. – через три месяца
10 303 * 1,01 = 10 406 р. – через четыре    и т.д.

Вопрос: Как более рационально решить? Есть ли какая закономерность в последовательности этих чисел?

Какая проблема встала перед нами? (Мы не знаем, как находить п-й член.)
    Ребята, в книге книге Перельмана Я. И. «Живая математика», есть легенда о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь…
- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. 
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… » слайды
Учитель: «Как мы узнали из этой легенды, о геометрической прогрессии знали ещё в древние времена. А почему царь не смог наградить изобретателя, как вы думаете? ». 
Продолжим изучение нового материала. 

Для того, чтобы узнать сколько Шераму пришлось бы отдать зерна, выведем с вашей помощью, аналогично арифметической прогрессии, формулу п – го члена геометрической прогрессии. 

 (Вывести формулу)

bп = b1qп – 1

Закрепление нового материала

1.Работа у доски  по карточкам:

а) Найдите пятый член геометрической прогрессии (вn), если в1 = 27, а знаменатель q=

б) Число 324 является членом геометрической прогрессии  4; 12; 36; …Найдите номер этого  члена.

в) Найдите первый член геометрической прогрессии, если у5 =  q=

2.№ 826

3.Самостоятельная работа ( задания из ОГЭ)

Обобщение

Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Назовите формулу n-го члена.

На экране вновь появляются цели урока  и ученики делают вывод, что они достигнуты.

Цели:
– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

Выставите себе баллы (обведите в кружок):

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял

Д/з уч п.24№823,№825,№828,№867

Предметные: ввести понятия геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии. обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

Метапредметные: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных задач.

Личностные: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности.

Тип урока. Урок изучения новой темы.

I. Организационный момент и актуализация знаний.

Сегодня мы продолжаем работать с вами с последовательностями, пополнять наш багаж знаний. И предлагаю считать девизом нашего урока слова «Прогрессия – движение вперед».

2. Повторение (устный опрос по вопросам)

1) Какая числовая последовательность называется  арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Как может быть задана арифметическая  прогрессия? 
4) Назовите формулу n-го члена.
5) Назовите формулу суммы n первых членов   арифметической прогрессии.
6) Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

Работа в парах

Задание 1(на карточках). По 3 задания каждой группе. Каждая группа на доске записывает свои ответы.

Вставьте пропущенное число:

I:

1) 18, 21, 24, 27?
2) 2,?, 6,… 
3) 1, 3, 9, 27,?

II:

1) 7, 10, 13, 16?
2) 9,?, 21,… 
3) 5, 10, 20, 40,?

III:

1) 4, 9, 14, 19?
2) 3,?, 13,…
3) 2, -6, 18, - 54?

Каждая группа объясняет, какой прогрессией является каждый пример.

Первый пример является арифметической прогрессией.

Второй пример тоже арифметическая прогрессия

Вопрос учителя: «А третья последовательность, чем отличается от других?

Как находится каждый член этой последовательности?

Вот такие последовательности называются геометрической прогрессией.

II. Объяснение нового материала.

 Формулируется тема урока и цели

Дети сами формулируют цели урока:

– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека. Слайд

 Дать определение пробуют сами ученики.

Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 6;  ...? 
4; 0; 0; 0; …?

Ответ: нет.

Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?

Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

  После этой работы даётся точное определение по учебнику. Стр. 225

Давайте вернемся к последней прогрессии.( Определение q)

А теперь рассмотрим задачи практического характера.                                                                     В каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание 2 (на карточках). Даются 3 задачи по одной каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи».

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Iv .Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

(Ответ: 0,0002; 0,0004; 0,0008;…)

Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...                                                                                         1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

q = 

Устно (слайд) Найти знаменатель q.

I .1) 2; 6; 18; 54 ;…( q = 3)

(q = )

II.1) 5; - 5; 5; - 5 ;…( q = - 1)

2) (q = )

III.1) -2; 4; - 8; 16 ;…( q = - 2)

2)(q =)

Закрепление нового:

2. Дана геометрическая прогрессия.

3; 12; 48; …

Найти q и найдите следующий член.

3. (bn) – геометрическая прогрессия.

b4 = 20; q = 5.

Найти b3 ; b5.

4. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 5; q = 2.

Найти b4; b5.

5. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 1;  q = 3.

Записать первые пять членов прогрессии

6. (bn) – геометрическая прогрессия.

b5 = 16 ; b7 = 49.

Найти b6.

Ребята, в книге книге Перельмана Я. И. «Живая математика», есть легенда о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь…
- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. 
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… » слайды
Учитель: «Как мы узнали из этой легенды, о геометрической прогрессии знали ещё в древние времена. А почему царь не смог наградить изобретателя, как вы думаете? ». 
Продолжим изучение нового материала. 

Для того, чтобы узнать сколько Шераму пришлось бы отдать зерна, выведем с вашей помощью, аналогично арифметической прогрессии, формулу п – го члена геометрической прогрессии. 
Учащийся выводит формулу n-го члена

b1; b2; b3; … ; bn; …
b2 = b1 * q
b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1 * q?
b4 = b3 * q = (b1 * q2) * q = b1 * q?
bn = b1 * q n-1  Формула  n-ого члена

Закрепление нового:

1. Выполнение заданий у доски
2. Выполнение заданий из ОГЭ слайд

Обобщение

Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Назовите формулу n-го члена.

На экране вновь появляются цели урока  и ученики делают вывод, что они достигнуты.

Цели:
– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

- Скажите, что у нас не получилось?

Спасибо за урок! Всего вам хорошего!

- Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются).

(Ответ: 30; 60; 120; 240;…)

- Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

(Ответ: 0,0002; 0,0004; 0,0008;…)

Слайд 10

Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет всё население нашего села в количестве 381 человека?

(Решение: 1; 4; 16;  64; 256
Итого: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
Ответ: на пятый день)

На экране вновь появляются цели урока  и ученики делают вывод, что они достигнуты.

Цели:
– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

 Обобщение

Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Как можно задать геометрическую прогрессию?
6. Назовите формулу n-го члена.

Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет всё население посёлка в количестве 341 человека?

(Решение: 1; 4; 16;  64; 256
Итого: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
Ответ: на пятый день)

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

- Скажите, что у нас не получилось?

Спасибо за урок! Всего вам хорошего!

Сообщение ученика

Задача-легенда

Выступает . и читает легенду о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь…

- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

- Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… »

Задание 11. Геометрическая прогрессия задана условиями:

1 n+1 n 1) b = 2, b =2b . Найдите 7 b . 1 n+1 n 4) b =3, b =4b . Найдите 4 b .

1 n+1 n = =

1

2) 2 , 3

3

b b b . Найдите 6 b . 1 n+1 n = =

1

5) 1 , 3

3

b b b . Найдите 7 b .

1 n+1 n 3) b =6, b = 4b . Найдите 4 b . 1 n+1 n 6) b = 5, b = 2b . Найдите 6 b .

Задание 12. Геометрическая прогрессия задана условиями:

.

Урок в 9б классе по теме: «Геометрическая прогрессия».

Цели:

1. Расширение и углубление знания о прогрессиях, знакомство учащихся с понятием геометрической прогрессии, формулой n-го члена.
2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач. Развивать навыки самообразования, самоконтроля, взаимоконтроля, умение работать индивидуально, в группах.

3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор. Воспитывать уважительное отношение к одноклассникам.

Оборудование: компьютер, плакат: «Прогрессио – движение вперед», карточки с заданиями для каждой группы, исторический материал, учебник «Алгебра 9 кл. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под ред. С.А.Теляковского».

Тип урока. Урок изучения новой темы.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная.

Метод проведения урока: проблемный.

I. Организационный момент и актуализация знаний.

Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в высшие и средние учебные заведения страны, на выпускных экзаменах в школе и на ЕГЭ.

Вступительное слово учителя: «Сегодня работаем по группам. Выбираем командиров групп. Оценку за каждое задание командир записывает на оценочном листе. А в конце урока каждый ученик себе ставит оценку на этом листе и сдает учителю. Среднюю оценку учитель ставит в журнал »

Вот такие последовательности называются геометрической прогрессией.

Даётся определение геометрической прогрессии. Дать определение пробуют сами ученики. После этой работы даётся точное определение.

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число, отличное от нуля.

А теперь рассмотрим задачи практического характера. В каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание 2 (на карточках). Даются 3 задачи по одной каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи». Время 3 минуты.

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

(1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.)

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

q = 

Задание 3 (на карточках). Найти знаменатель q. Время 2 минуты.

I .1) 2; 6; 18; 54 ;…( q = 3)

(q = )

II.1) 5; - 5; 5; - 5 ;…( q = - 1)

2) (q = )

III.1) -2; 4; - 8; 16 ;…( q = - 2)

2)(q =)

Сначала царь обрадовался, такому "скромному" желанию Сеты, но потом оказалось, что такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей поверхности Земли, т.к. их количество равно 18 446 744 073 709 551 615. А для их хранения потребуется амбар, с размерами: высота 4 м, ширина 10м, длина 30 000 000км - вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

- Скажите, что у нас не получилось?

Спасибо за урок! Всего вам хорошего!

III. Физкультминутка. Каждая группа идёт к столу учителя, берёт конверт с числами. Из этих чисел составляет геометрическую прогрессию и выстраивается в один ряд.

I группа: 2; -6; 18, -54; 162; …

II группа:-30; 60; -120; 240; -480; …

III группа: -10; 10; -10; 10; -10; …

IV. Исторический материал. Выступают докладчики и расказывают об истории возникновения прогрессии. Паралельно на компьютере идет просмотр презентации на данную тему.

Прогрессии – частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках 2 тысячелетия до н.э. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Задачи по данной теме имеются и в древнекитайском трактате “Математика в девяти книгах”, в котором нет, однако, указаний на применение какой – либо формулы суммирования.

Первые из пришедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства…

Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, и указывает на связь между ними.

Слово “прогрессия” латинского происхождения, буквально означает “движение вперед”. Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построению по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении, например последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов.

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей

Учитель: «Как мы узнали из этой легенды, о геометрической прогрессии знали ещё в древние времена.».

Продолжим изучение нового материала.

Выведем с вашей помощью, аналогично арифметической прогрессии, формулу п – го члена геометрической прогрессии. Рассмотрим один из ваших примеров

2; 6; 18, 54;

V. Закрепление.

Задание 4 (на карточках). Найти по формуле: Время 2 минуты.

I.
II. 
III.

Задание проверяется на доске.

VI. Домашнее задание: с.93 п.18 учить

Решите по своему выбору примеры на:

«5» - №№387(в), 388(е), 389(в), 394.

«4» - №№387(б), 388(г), 389(б), 390, 392(а, б).

«3» - №№387(а), 388(б), 389(а), 390.

VII. Итог урока. Рефлексия.

Методическая разработка урока на тему "Геометрическая прогрессия". 9-й класс

Содержание урока:

1. Организационный момент.
Цель: проверить готовность учащихся к уроку
2. Проверка домашнего задания. 
Цель: проконтролировать выполнение домашнего задания, оказать помощь при затруднениях в выполнении заданий. 
3. Актуализация знаний учащихся.
Цель: повторение теоретического материала, подготовка учащихся к работе на уроке.
4. Создание проблемной ситуации для формулировки  темы 
урока и целей. 
Цель: мотивация учебного процесса.
5. Дополнительный исторический материал (сообщение ученика)
Цель: показать исторические корни возникновения геометрической прогрессии.
6. Изучение нового материала на примере старинной задачи.
Цель: ввести понятие геометрической прогрессии, вывести 
формулу  n-го члена.
7. Первичная проверка понимания.
Цель: проверить понимание данного материала на простых примерах в процессе устной работы.
8. Закрепление умений и навыков вычислительной деятельности учащихся при решении стандартных, исторических и жизненных задач. Возвращение к проблемной задаче и её решение.
Цель: закрепить формулу  n-го члена геометрической прогрессии уметь применять при решении задач, осознать значение полученных знаний на уроке и  в жизни.
9. Контроль и самопроверка знаний.
Цель: проверить и оценить знания,  полученные на уроке.
10. Сообщение ученика на тему «Стремительное размножение».
Цель: расширить кругозор учащихся  по данной теме на  примерах из жизни.  
11. Подведение итогов.
1) Выставление оценок.
2) Рефлексия: 
a) Что вызвало затруднение на уроке? 
b) Чем запомнился сегодняшний урок?
в) Что полезного для себя вы взяли с урока?
12. Домашнее задание, инструктаж по его выполнению.

Конспект урока

1. Проверка домашнего задания (слайд  готовит ученик)

2. Повторение (устный опрос по вопросам)

1) Какая числовая последовательность называется  арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Как может быть задана арифметическая  прогрессия? 
4) Назовите формулу n-го члена.
5) Назовите формулу суммы n первых членов   арифметической прогрессии.
6) Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

3. Устные задания

1) Является ли последовательность чисел арифметической прогрессией? Если да, то назовите её разность.
– 4; 0; 4; 8; …
2) Зная первые два члена арифметической прогрессии, назовите следующие  за ними два члена.
–1; 3; …; 
3) (аn) – арифметическая прогрессия, а1 = 5, d = 2.
Найти   а6, а21.
4) (аn) – арифметическая прогрессия, а2  = 12; а3 = 20.
Найти а1, а4. и d.
5) Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 16 и 64.
6) (аn) – арифметическая прогрессия, а6 = 8, а8 = 14.
Найти а7.
7) (аn) – арифметическая прогрессия, a1 = – 6; а6 = 18.
Найти S6.
8) Арифметическая прогрессия задана формулой аn = 2n – 1.
Найти S10.

4. Проблемная ситуация

Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 % , а в другом ежемесячно на 1 %.В какой банк выгоднее положить деньги?
(Учащиеся предлагают следующее решение)

Решение:

1. 10 000 * 1,14 = 11 400 р. –  в первом банке
2. 10 000 * 1,01  = 10 100 р. – через месяц
10 100 * 1,01 = 10 201 р. – через два месяца
10 201 * 1,01 = 10 303р. – через три месяца
10 303 * 1,01 = 10 406 р. – через четыре    и т.д.

Вопрос: Как более рационально решить? Есть ли какая закономерность в последовательности этих чисел?

10 100; 10 201; 10 303; 10 406 и т. д.

Учащиеся замечают, что каждый последующий член в 1,01 раз больше предыдущего и делают вывод о существовании ещё одного вида прогрессии.

5. Формулируется тема урока  и цели

Дети сами формулируют цели урока:

– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

Вопрос: В чем отличие геометрической прогрессии от арифметической?
(Изменяя два слова, учащиеся сами выводят определение)

Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 6;  ...? 
4; 0; 0; 0; …?

Ответ: нет.

Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?

Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Далее один ученик читает вслух определение по учебнику и делается сравнение (всё точно)

Учитель: Как давно людям известны прогрессии, кто их открыл и почему они так называются, вы узнаете из сообщения ученицы.

1. Историческая справка (сообщение ученика)

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Вероятно, первая ситуация, в  которой людям пришлось с ними встречаться – подсчёт численности стада, проведённый несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных событий, количество новорождённых и умерших животных пропорционально числу всех животных в стаде. Значит, если за какой-то период времени количество овец увеличилось с 10 до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастет вдвое и станет равно 40. Название геометрическая прогрессия» объясняется тем, что последовательности такого рода легко могут возникнуть в геометрических построениях. Например, если начертить серию равносторонних треугольников так, чтобы вершины каждого следующего треугольника лежали на серединах сторон предыдущего (Приложение 1), то площадь треугольника будет каждый раз уменьшаться вчетверо.

Задача из папируса Райнда

«У семи лиц по семь кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

7. Объяснение нового материала учителем (на примере  исторической задачи с кошками выводится формула n-го члена геометрической прогрессии)

Решение задачи и вывод формулы ученики записывают в тетради.

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607 (по щелчку мышки последовательно появляется каждая строчка)

7;  49;  343;  2 401;  16 807.
7 * 7 = 49;   49 * 7 = 343;   343 * 7 = 2 401;   2 401 * 7 = 16 807.
q – знаменатель  ( quotient – частное )
q = 7
b1; b2; b3; … ; bn; …
b2 = b1 * q
b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1 * q?
b4 = b3 * q = (b1 * q2) * q = b1 * q?
bn = b1 * q n–1  Формула  n-ого члена

8. Закрепление  материала

Устно: задание 1,2,3, задание 4,5,6  с записью на доске и в тетради.

1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией?

а) –3; 3; – 3; 3;…
б) 0; 2; 4; 8; …
в) 3; 6; 9; 12; … 
г) 2; 0; 0; 0; 0; …
д) 3; 6; 12; 24; …

2. Дана геометрическая прогрессия.

3; 12; 48; …

Найти qи назовите следующий член.

3. (bn) – геометрическая прогрессия.

b4 = 20; q = 5.

Найти b3 ; b5.

4. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 5; q = 2.

Найти b4; b5.

5. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 1;  q = 3.

Записать первые пять членов прогрессии

6. (bn) – геометрическая прогрессия.

b5 = 16 ; b7 = 49.

Найти b6.

9. Возвращение к проблемной ситуации (зная формулу, дети могут быстро решить задачу про банк)
Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 %, а в другом  ежемесячно на 1 %. В какой банк выгоднее положить деньги?

Решение (записывается в тетради):

1) 10 000 * 1,14 = 11 400 руб.
2) 10 000 * 1,0112 = 11 268 руб.

Ответ: выгоднее положить деньги в первый банк.

Задача 2.

Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной за 6 часов?
(Один ученик решает у доски, остальные записывают в тетради) 
Записывается последовательность чисел:

1; 2; 4; 8; 16 и т.д. Всего 13 членов. Знаменатель равен 2.
b13 = 1 * 212 = 4096

Ответ: 4096 бактерий.

Задача 3 (самостоятельно, кто решит первый, получит оценку)

Известно, что если бактерия попадает внутрь организма, то через каждые 20 секунд делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной за 6 часов?    
Ответ: 262 144.

10. Обобщение

Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Как можно задать геометрическую прогрессию?
6. Назовите формулу n-го члена.

11. Самостоятельная работа (задания на карточках. Приложение 2)

Проверка работы  (самопроверка слайд 17)

Ответы:

1 вариант – 162; 54; 18; 6; 2.
2 вариант – 2; 4; 8; 16; 32.

Вопрос: Есть ли какая закономерность в последовательности чисел, полученных в ответах?

Ответ: да.

(Ответы 1 варианта образуют убывающую геометрическую прогрессию, а 2 варианта – возрастающую.)

Вопрос: Чему равен знаменатель каждой прогрессии?

Ученики сами оценивают свою работу: верно 5 заданий – «5»,
4 задания – «4»,  3 задания – «3».

На экране вновь появляются цели урока  и ученики делают вывод, что они достигнуты.

Цели:
– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

12. Сообщение ученика (Приложение 3) о стремительном размножении кроликов, мух, задача про шахматы

13. Подведение итогов

1. Выставление оценок.
2. Рефлексия.

1) Что вызвало затруднение сегодня на урок?
2) Чем запомнится сегодняшний урок?
3) Что полезного для себя вы взяли с сегодняшнего урока?

Итог: Проведя  сегодня на уроке учебное исследование, мы не сделали открытие для науки, т. к. оказалось, что прогрессия была известна ещё в древности, но сделали его для себя. И я надеюсь, что знания, полученные сегодня на уроке, вам обязательно пригодятся в дальнейшей жизни. 
Желаю, чтобы вы  выбрали такую профессию, за которую платили столько, чтобы вам пришлось столкнуться с проблемой:  в какой банк выгоднее  вложить  деньги и под какие проценты?

Открытый урок в 9 классе по теме «Определение геометрической прогрессии»

ФИО учителя – Шинкарева Н.В.

Цели урока:

Предметные: ввести понятия геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии. обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

Метапредметные: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных задач.

Личностные: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности.

Методы обучения: проблемный, репродуктивный, частично-поисковый.

словесные, наглядные, практические

Тип урока: урок изучения нового материала

1. Организационный момент. Мотивация.

Здравствуйте ребята! Присаживайтесь.

Слайд 1

Сегодня наш урок мне хотелось бы начать словами японского писателя Харуки Мураками «Самое важное не то большое, до чего додумались другие, но то маленькое, к чему пришёл ты сам». Как вы понимаете это высказывание? ….

Так как впереди вас ждет основной государственный экзамен и от того на сколько вы самостоятельно приложите усилия для его успешной сдачи зависит результат нашей работы. Все наши занятия направлены в первую очередь на получение того багажа знаний, который необходим вам для экзамена.

2. Анализ результатов контрольной работы

Разбор типичных ошибок, допущенных учащимися в контрольной работе, консультация учителя.

Слайд 2 Разбор решения задачи №4

Слайд 3

Слабоуспевающие ученики - Решение задачи №4 (слайд 3)

Хорошо успевающие ученики – Решение задачи №4 противоположного варианта контрольной работы (самостоятельно).

Вариант 1

4. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 25,5; а9 = 5,5.

Пусть ап = 54,5.

d = ; d =  =  = –2,5;

ап = а1 + d (п – 1); 54,5 = 25,5 – 2,5 (п – 1); 2,5 (п – 1) = –29;

п – 1 = –11,6; п = –10,6, п N, значит, 54,5 не является членом арифметической прогрессии (ап).

О т в е т: нет.

Вариант 2

4. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 11,6; а15 = 17,2.

Пусть ап = 30,4.

d = ; d =  =  = 0,4;

ап = а1 + d (п – 1); 30,4 = 11,6 + 0,4 (п – 1); 0,4 (п – 1) = 18,8;

п – 1 = 47; п = 48, п N, значит, 30,4 является членом арифметической прогрессии (ап).

О т в е т: да.

3. Актуализация знаний. Подготовка к изучению нового материала

Сегодня мы продолжаем работать с вами с последовательностями, пополнять наш багаж знаний. И предлагаю считать девизом нашего урока слова «Прогрессия – движение вперед».

Для осознанного восприятия нового материала повторим основные моменты необходимые для урока, для подготовки к ОГЭ обратим внимание на правильность понимания вопроса и быстроту реакции.

Слайд 4

Найдите значение выражения:

2n , при n= 3,4,5,6.

(- 3)n, при n= 2,3,4,5.

Молодцы! Смотрим на следующее задание.

Слайд 4

2. а) Найдите пять первых членов последовательности, заданной условиями: с1 = 1000, сn+1 = 0,1 сn.

Слайд 4

б) Чему равно значение выражения:

С2 /с1 ; с5 / с4 ; сn+1/ сn ?

Слайд 5

в) Назовите член последовательности, который следует за C5 ; Сn ; Сn+1?

Слайд 5

г) Назовите член последовательности, который предшествует С5; Сn+1; Сn-2 ?

Молодцы! И с этим заданием справились.

Слайд 6

3. а) Вставьте в числовую последовательность число вместо вопросительного знака:

1. 7;?; 13; 16;

2. 5; 15; 25;?;

3. 4; 8;?; 32;

б) Выявите закономерность, которой подчиняются числа в каждой последовательности?

- Давайте подробнее рассмотрим последнюю последовательность из данных примеров. Что вы заметили?

(Создание проблемной ситуации)

Учащиеся устно решают задания,

при этом вспоминают правила возведения в степень: степень отрицательного числа с чётным показателем – положительное число; степень отрицательного числа с нечётным показателем – отрицательное число

23 = 8 (-3)2 = 9

24 = 16 (-3)3 = - 27

25 = 32 (-3)4 = 81

26 = 64 (-3)5 = - 243

Учащиеся устно вычисляют члены последовательности:

С2 = 0.1*1000 = 100

С3 = 0.1*100 = 10

С4 = 0,1*10 = 1

С5 = 0,1*1 = 0,1

Учащиеся вспоминают правило умножения на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д.

Сn+1 = Cn*0.1 Cn+1 / Сn = 0,1

c2 /с1 ; с5 / с4 ; сn+1/ сn= 0,1

Учащиеся устно отвечают:

С6 ; Сn+1; Сn+2.

С4 ; Сn ; Сn-1 .

Учащиеся находят пропущенные числа:

10;

35;

16.

+3

+10

*2

Выявляют закономерности, которой подчиняются числа в последовательности. Если возникнут затруднения в примере 3, учитель задаёт наводящие вопросы:

- Как можно получить второй член последовательности?

- С помощью какого действия можно выявить данную закономерность?

Физкультминутка

Подошло время физкультминутки. На улице зима, а это время, когда различные вирусы и инфекции не дают нам готовиться к нашим испытаниям, устраивая различные препятствия в виде головной боли, насморка, кашля. Есть много различных способов профилактики и лечения ОРЗ.

Я предлагаю вам один из самых простых и безвредных способов – массаж особых зон на коже. Итак, смотрим на меня , повторяем и выполняем.

1. Массируем шею сзади – сверху вниз.
2. Массируем точку в области носа и гайморовой полости.
3. Массируем точку, находящуюся над бровями, для улучшения кровоснабжения в области глазного яблока и лобных отделов мозга.

4. На руке - место соединения большого и указательного пальцев – нормализует многие функции организма.

5. Помассируем кончики пальцев, где сосредоточены все нервные окончания, связанные с корой головного мозга.

3. Изучение нового материала

Запишите последовательность чисел 4; 8; 16; 32;…

- Посмотрите, ребята, на данную последовательность, что вы про неё можете сказать?

- Правильно! Молодец!

- В дальнейшем все последовательности чисел, для которых, устанавливается нами открытая закономерность, будем называть геометрической прогрессией.

Слайд 7 Итак, тема сегодняшнего урока «Определение геометрической прогрессии».

Работа с учебником

Познакомимся со словесной формулировкой: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

- Кто сможет нам записать аналитическую формулировку определения: bn+1 = bnq

где bn ≠ 0, q – некоторое число.

- Ребята, запишите данную формулу в тетрадь и выразите q из формулы.

q – будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Запомните! q0.

• Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?

Ответ учащихся: каждый следующий член последовательности получается путём умножения предыдущего члена на 2.

Учащиеся открывают тетради, записывают число и тему урока.

Учащиеся находят в учебнике определение – читают, переписывают в тетрадь. (стр. 153)

Учащиеся записывают формулу в тетрадях и выражают q.

q = bn+1/ bn

Ответ ученика: знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого её члена начиная со второго к предыдущему члену.

4.Первичное закрепление изученного материала

Слайд 8

1.Устно: Определите вид прогрессии

- В третьем тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012 ,2016, 2020. В какой последовательности записаны года?

- В искусственном водоеме 10 кг водорослей. Через три дня их стало 20 кг. Через шесть дней – 40 кг, а через девять – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса водорослей?

Слайд 9

2. Составьте геометрическую прогрессию

- Ежедневно каждый болеющий гриппом может заразить четырех окружающих.

(Ответ: 1; 4; 16; 64;…)

- Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются).

(Ответ: 30; 60; 120; 240;…)

- Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

(Ответ: 0,0002; 0,0004; 0,0008;…)

Слайд 10

3. Найти знаменатель геометрической прогрессии:

1. 512; 256; 128; 64;…(q=2)
2. (q=-1)
3. (q=-3)

2. Работа по учебнику: №625 (а,в) – самостоятельно с последующей проверкой

Ответ: а) 6; 12; 24; 48; 96

в) -24; 36; - 54; 81; -121,5

3. Работа в парах

Слайд 11

А теперь рассмотрим задачи практического характера. Выясним, в каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание группам: Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Проверка: Слайд 12

1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.

5. Подготовка к ОГЭ. Самостоятельная работа

Решение тематических заданий с сайта Гущина (задания прототипа №11 – геометрическая прогрессия) №1, 2, 3, 6, 8

Слайд 13 Самопроверка: 32; -54; - 47,25; 1088; -1364

Слайд 14

Критерии оценки:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;

4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;

3 б. – для полного понимания надо повторить;

2 б. – я ничего не понял.

6.Итог урока.

1) С каким понятием мы познакомились сегодня?

2) Что называют геометрической прогрессией?

3) Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Слайд 15

7. Домашнее задание: п.27 Пример 1-3. Решить № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г)

Решить в тетрадях для подготовки к ОГЭ задания № 9,12,13,15 с сайт Гущина «Решу ОГЭ» (тематические задания «Геометрическая прогрессия»)

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

- Скажите, что у нас не получилось?

Спасибо за урок! Всего вам хорошего!

Содержание урока:

1. Организационный момент.
Цель: проверить готовность учащихся к уроку
2. Проверка домашнего задания. 
Цель: проконтролировать выполнение домашнего задания, оказать помощь при затруднениях в выполнении заданий. 
3. Актуализация знаний учащихся.
Цель: повторение теоретического материала, подготовка учащихся к работе на уроке.
4. Создание проблемной ситуации для формулировки  темы 
урока и целей. 
Цель: мотивация учебного процесса.
5. Дополнительный исторический материал (сообщение ученика)
Цель: показать исторические корни возникновения геометрической прогрессии.
6. Изучение нового материала на примере старинной задачи.
Цель: ввести понятие геометрической прогрессии, вывести 
формулу  n-го члена.
7. Первичная проверка понимания.
Цель: проверить понимание данного материала на простых примерах в процессе устной работы.
8. Закрепление умений и навыков вычислительной деятельности учащихся при решении стандартных, исторических и жизненных задач. Возвращение к проблемной задаче и её решение.
Цель: закрепить формулу  n-го члена геометрической прогрессии уметь применять при решении задач, осознать значение полученных знаний на уроке и  в жизни.
9. Контроль и самопроверка знаний.
Цель: проверить и оценить знания,  полученные на уроке.
10. Сообщение ученика на тему «Стремительное размножение».
Цель: расширить кругозор учащихся  по данной теме на  примерах из жизни.  
11. Подведение итогов.
1) Выставление оценок.
2) Рефлексия: 
a) Что вызвало затруднение на уроке? 
b) Чем запомнился сегодняшний урок?
в) Что полезного для себя вы взяли с урока?
12. Домашнее задание, инструктаж по его выполнению.

Конспект урока

1. Проверка домашнего задания (слайд  готовит ученик)

2. Повторение (устный опрос по вопросам)

1) Какая числовая последовательность называется  арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Как может быть задана арифметическая  прогрессия? 
4) Назовите формулу n-го члена.
5) Назовите формулу суммы n первых членов   арифметической прогрессии.
6) Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

3. Устные задания

1) Является ли последовательность чисел арифметической прогрессией? Если да, то назовите её разность.
– 4; 0; 4; 8; …
2) Зная первые два члена арифметической прогрессии, назовите следующие  за ними два члена.
–1; 3; …; 
3) (аn) – арифметическая прогрессия, а1 = 5, d = 2.
Найти   а6, а21.
4) (аn) – арифметическая прогрессия, а2  = 12; а3 = 20.
Найти а1, а4. и d.
5) Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 16 и 64.
6) (аn) – арифметическая прогрессия, а6 = 8, а8 = 14.
Найти а7.
7) (аn) – арифметическая прогрессия, a1 = – 6; а6 = 18.
Найти S6.
8) Арифметическая прогрессия задана формулой аn = 2n – 1.
Найти S10.

4. Проблемная ситуация

Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 % , а в другом ежемесячно на 1 %.В какой банк выгоднее положить деньги?
(Учащиеся предлагают следующее решение)

Решение:

1. 10 000 * 1,14 = 11 400 р. –  в первом банке
2. 10 000 * 1,01  = 10 100 р. – через месяц
10 100 * 1,01 = 10 201 р. – через два месяца
10 201 * 1,01 = 10 303р. – через три месяца
10 303 * 1,01 = 10 406 р. – через четыре    и т.д.

Вопрос: Как более рационально решить? Есть ли какая закономерность в последовательности этих чисел?

10 100; 10 201; 10 303; 10 406 и т. д.

Учащиеся замечают, что каждый последующий член в 1,01 раз больше предыдущего и делают вывод о существовании ещё одного вида прогрессии.

5. Формулируется тема урока  и цели

Дети сами формулируют цели урока:

– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

Вопрос: В чем отличие геометрической прогрессии от арифметической?
(Изменяя два слова, учащиеся сами выводят определение)

Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 6;  ...? 
4; 0; 0; 0; …?

Ответ: нет.

Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?

Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Далее один ученик читает вслух определение по учебнику и делается сравнение (всё точно)

Учитель: Как давно людям известны прогрессии, кто их открыл и почему они так называются, вы узнаете из сообщения ученицы.

1. Историческая справка (сообщение ученика)

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Вероятно, первая ситуация, в  которой людям пришлось с ними встречаться – подсчёт численности стада, проведённый несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных событий, количество новорождённых и умерших животных пропорционально числу всех животных в стаде. Значит, если за какой-то период времени количество овец увеличилось с 10 до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастет вдвое и станет равно 40. Название геометрическая прогрессия» объясняется тем, что последовательности такого рода легко могут возникнуть в геометрических построениях. Например, если начертить серию равносторонних треугольников так, чтобы вершины каждого следующего треугольника лежали на серединах сторон предыдущего (Приложение 1), то площадь треугольника будет каждый раз уменьшаться вчетверо.

Задача из папируса Райнда

«У семи лиц по семь кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

7. Объяснение нового материала учителем (на примере  исторической задачи с кошками выводится формула n-го члена геометрической прогрессии)

Решение задачи и вывод формулы ученики записывают в тетради.

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607 (по щелчку мышки последовательно появляется каждая строчка)

7;  49;  343;  2 401;  16 807.
7 * 7 = 49;   49 * 7 = 343;   343 * 7 = 2 401;   2 401 * 7 = 16 807.
q – знаменатель  ( quotient – частное )
q = 7
b1; b2; b3; … ; bn; …
b2 = b1 * q
b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1 * q?
b4 = b3 * q = (b1 * q2) * q = b1 * q?
bn = b1 * q n–1  Формула  n-ого члена

8. Закрепление  материала

Устно: задание 1,2,3, задание 4,5,6  с записью на доске и в тетради.

1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией?

а) –3; 3; – 3; 3;…
б) 0; 2; 4; 8; …
в) 3; 6; 9; 12; … 
г) 2; 0; 0; 0; 0; …
д) 3; 6; 12; 24; …

2. Дана геометрическая прогрессия.

3; 12; 48; …

Найти qи назовите следующий член.

3. (bn) – геометрическая прогрессия.

b4 = 20; q = 5.

Найти b3 ; b5.

4. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 5; q = 2.

Найти b4; b5.

5. (bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 1;  q = 3.

Записать первые пять членов прогрессии

6. (bn) – геометрическая прогрессия.

b5 = 16 ; b7 = 49.

Найти b6.

9. Возвращение к проблемной ситуации (зная формулу, дети могут быстро решить задачу про банк)
Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 %, а в другом  ежемесячно на 1 %. В какой банк выгоднее положить деньги?

Решение (записывается в тетради):

1) 10 000 * 1,14 = 11 400 руб.
2) 10 000 * 1,0112 = 11 268 руб.

Ответ: выгоднее положить деньги в первый банк.

Задача 2.

Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной за 6 часов?
(Один ученик решает у доски, остальные записывают в тетради) 
Записывается последовательность чисел:

1; 2; 4; 8; 16 и т.д. Всего 13 членов. Знаменатель равен 2.
b13 = 1 * 212 = 4096

Ответ: 4096 бактерий.

Задача 3 (самостоятельно, кто решит первый, получит оценку)

Известно, что если бактерия попадает внутрь организма, то через каждые 20 секунд делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной за 6 часов?    
Ответ: 262 144.

10. Обобщение

Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Как можно задать геометрическую прогрессию?
6. Назовите формулу n-го члена.

11. Самостоятельная работа (задания на карточках. Приложение 2)

Проверка работы  (самопроверка слайд 17)

Ответы:

1 вариант – 162; 54; 18; 6; 2.
2 вариант – 2; 4; 8; 16; 32.

Вопрос: Есть ли какая закономерность в последовательности чисел, полученных в ответах?

Ответ: да.

(Ответы 1 варианта образуют убывающую геометрическую прогрессию, а 2 варианта – возрастающую.)

Вопрос: Чему равен знаменатель каждой прогрессии?

Ученики сами оценивают свою работу: верно 5 заданий – «5»,
4 задания – «4»,  3 задания – «3».

На экране вновь появляются цели урока  и ученики делают вывод, что они достигнуты.

Цели:
– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в жизни человека.

12. Сообщение ученика (Приложение 3) о стремительном размножении кроликов, мух, задача про шахматы

13. Подведение итогов

1. Выставление оценок.
2. Рефлексия.

1) Что вызвало затруднение сегодня на урок?
2) Чем запомнится сегодняшний урок?
3) Что полезного для себя вы взяли с сегодняшнего урока?

Итог: Проведя  сегодня на уроке учебное исследование, мы не сделали открытие для науки, т. к. оказалось, что прогрессия была известна ещё в древности, но сделали его для себя. И я надеюсь, что знания, полученные сегодня на уроке, вам обязательно пригодятся в дальнейшей жизни. 
Желаю, чтобы вы  выбрали такую профессию, за которую платили столько, чтобы вам пришлось столкнуться с проблемой:  в какой банк выгоднее  вложить  деньги и под какие проценты?

14. Домашнее задание (дополнительно задача про грипп)
Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет всё население посёлка в количестве 341 человека?

(Решение: 1; 4; 16;  64; 256
Итого: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
Ответ: на пятый день)

Открытый урок в 9 классе

Рукавец Нина Анатольевна –

учитель математики 1 категории

2016 - 2017 учебный год

Тема урока «Геометрическая прогрессия в прикладных задачах».

Тип и вид урока: обобщающий урок - семинар.

Цели урока:

1) образовательные:

- продолжить работу над определением геометрической прогрессии; формулами n-го члена, суммы n первых членов; характеристическим свойством, которым обладают члены прогрессии;

- убедится, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры;
- продолжать формировать навыки применения прогрессии к решению прикладных задач;

-  обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

2) развивающие:

- продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности;

- учиться проводить рассуждения по аналогии; формировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

3) воспитательные:

- содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Технология: ИКТ с элементами уровневой дифференциации и развивающего обучения.

Методы: проблемно поисковые, творческие, групповые, индивидуальные.

В начале урока класс делится (по жребию) на группы. На уроке «молодые учёные» - историки, теоретики, микробиологи и экономисты, которые готовили материал и задачи в своем направлении. Весь полученный материал проанализирован и синтезирован в текстовом носителе и в презентации.

Оборудование: компьютер, презентация, доклады, тесты, карточки с заданиями.

Ход урока:

1. Организационный момент: (слайд 1)

Сегодня у нас урок подведения итогов нашей совместной работы. И хочу я его начать с задачи.

Алена довольная пришла из школы и предложила папе заключить сделку:

в учебном году 34 недели; 
за 1 неделю папа даст 1 тыин, 
за вторую - 2 тыин, 
за третью - 4 тыин и т.д…. Сколько денег получит Алена за 34 недели?

Как вы думаете, в каком классе учится Алена, и какую тему она изучила в школе? (слайд 2)

Напомните, что обозначает слово «прогрессия»? (слайд 3) Ответ: движение вперед.

Сегодня мы будем двигаться вперед и еще раз убедимся и убедим всех присутствующих в том, что… (слайд 4)

2. Актуализация знаний:

Любая работа начинается с правил, понятий и формул, которые помогают изучить тему, решать более сложные задания. Поэтому повторим основные правила темы: Закончи предложение:

1.  геометрической прогрессией называется, … (слайд 5)

3. Почему прогрессия называется геометрической? Свойствопрогрессии? (слайд 6)

4. Вспомним основные формулы прогрессии, для этого

Проведём цифровой диктант «Как мы знаем формулы?» (слайд 7). Проверим числа …

Рассмотрим ещё раз все изученные формулы прогрессий и сравним их (слайд 8)

Наш учёный – теоретик _____________ анализировала и обобщала материал о прогрессиях, поэтому я обращаюсь в первую очередь к ней и ко всем с вопросами:

В чем состоит сходство между прогрессиями? А в чем есть отличия?

Прочитав определения арифметической и геометрической прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии,

можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение

умножением и умножение – возведением в степень, (слайд 9)

(слайд 10) Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,

равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом,

умноженному на одно и то же число,

называется арифметической прогрессией

геометрической

(слайд 11)“Родство” прогрессий становится еще более заметным, если сравнить их характеристические свойства. Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на два - извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.

(слайд 12) Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является

геометрической

средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

геометрическим

3. Устная работа: (слайд 13. 14)

1)Дана геометрическая прогрессия. Укажите b1 и q.

1) 1, 2, 4, 8…

2) 81, 27, 9, 3…

3) 1, -5, 25, -125…

4) 5, -1,  , - …

2)Определите, какая последовательность является геометрической прогрессией

• 2; 5; 8; 11 … .
• 2; 1; 0,5; 0,25
• -2; -8; -32; -128 …
• -2; -4; -6; -8; …

3) Найдите знаменатель геометрической прогрессии

• b2 = 4; b3 = 16
• b3 = 16; b4 = 4
• b8 = 9; b9 = -27
• b9 = -27; b10 = 9

4) Определите знаменатель геометрической прогрессии (а), для которой а, а

4. Практическая работа в группах (слайд 15)

1. В геометрической прогрессии b1= -8, b2= -4. Найдите q. q =.

2. В геометрической прогрессии b1 =2, q= -3. Найдите первые пять членов прогрессии (2; -6; 18; -54; 162).

3.  - геометрическая прогрессия. Найдите b5 если b1 = 128 и q= ½ (b5 = 8).

4. Найти неизвестные члены геометрической прогрессии: b1, b2, 4, - 8… (1, -2, 4, -8).

5. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b1= 3,b4= 81. (q =3).

6. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби (2/11)

Самопроверка (слайд 16)

5. Немного истории. Теперь слово предоставим историкам, это ________ . Они скажут несколько слов о появлении прогрессий и предложат нашему вниманию интересные исторические задачи на прогрессии. (слайд 17. 18)

• На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД.
• Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
• Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала”

(Слайд 19) Сегодня вам кажется, что знание геометрической прогрессий в жизни не нужно, но, к сожалению, это не так. Вот послушайте, в какое нелепое положение попал даже правитель государства, не знающий геометрическую прогрессию.

(Слайд 20) О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.

(Слайд 21) Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен.Рассказывают, что Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат Сета:

за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля.

(Слайд 220 О, Мудрецы 9 класса, посоветуйтесь и скажите, стоит ли царю смеяться?

Здесь явная геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . S64=?

(Слайд 23) Как велико это число? Кто может объяснить? Нужно найти сумму S64.

S 64 = 264 - 1 =18 446 744 073 704 551 615

(Слайд 24) Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

(Слайд 25) Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

(Слайд 26) Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он мог бы легко, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета.

Чтобы отсчитать себе все зерно изобретателю потребовалось бы примерно 586 549 402 017 лет.

(Слайд 27) Еще одна интересная историческая задача носит имя «Задача о семи старухах".

7 старух направляются в Рим,

каждая имеет 7 мулов,

каждый мул тащит 7 мешков,

в каждом мешке находится 7 хлебов,

у каждого хлеба лежит 7 ножей,

каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?

(Слайд 28. 29) это геометрическая прогрессия, b1= 7 и q=7.

Sn =  . S6 = =  = 137256.

(Слайд 30. 31) Физминутка

Спасибо историкам за хорошие задачи. Пришла очередь микробиологов.

Микробиология — наука о живых организмах, невидимых невооруженным глазом: бактерии,  архебактерии, микроскопические грибы и водоросли, часто этот список продляют простейшими и вирусами. В область интересов микробиологии входит систематика микроорганизмов, ихморфология, физиология, биохимия, эволюция, роль в экосистемах, а также возможности практического использования.

(Слайд 32) Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Самый поразительный пример прогрессии размножения даёт …ИНФУЗОРИЯ, носящая название парамеции (туфелька).

Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

(Слайд 33. 34) Решение: Имеем геометрическую прогрессию 1; 2; 4; 8; …

b1 = 2, q=2. Найти b15 =?

Ответ: b15 = 2 * 214 = 32 768.

(Слайд 35) бактерии…

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Спасибо биологам. Пришла очередь экономистам показать, чем они занимались в рамках нашей темы.

Изучая материалы, связанные с прогрессиями, мы нашли большое количество задач с экономическим содержанием. Например, задачи на денежные вклады под проценты — пример геометрической прогрессии.

(Слайд 36) Пусть вклад составляет 10 000 тг, банк дает 10% годовых, срок хранения вклада - 5 лет. Сколько денег получит вкладчик?

Составим математическую модель задачи.

Имеем ГП с первым членом а1 = 10000 и знаменателем q = 100% + 10% =110% = 1,1.

Нужно найти а6.

К концу срока хранения Вы получите сумму, равную а6 = 10 000 • (1,1)5 =16 105,1 тг.

Спасибо экономистам.

Проведем проверочную работу в виде тестов:

группа I

1. Первый член ГП равен 5, знаменатель – равен 3. Найти 4-ый член прогрессии.
   А) 5; B) 25; C) 135;

2. Чему может быть равен знаменатель ГП, если b10 = 10, а b12 = 40?

А) 2 B) 3 C) 5;

3. Чему равна сумма первых пяти членов ГП, если b1=1, а знаменатель равен 2?

А) 25 B) 31 C) 55;

3. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; 6; … А.6. В.-12. С. 24. D.-24. E. 12.
4. Представьте бесконечную дробь 0,(6) в виде обыкновенной дроби.

А. . В.. С. .D. . E..

группа II

1. Первый член ГП равен 4, знаменатель – равен 3. Найти 5-ый член прогрессии.
   А) 532; B) 324; C) 225;
2. Чему может быть равен знаменатель ГП, если b5=6, аb7=54.

А) 5; B) 3; C) 4;

3. Чему равна сумма первых четырех членов ГП, если С1=8, а знаменатель равен 3?

А) 320; B) 160; C)104;

3. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 9; -3; 1; … А. 6,75. В.-6. С. - 27. D. 81. E. .
4. Представьте бесконечную дробь 2,(13) в виде обыкновенной дроби

А. . В.2. С. .D. . E. .

группа III

1. Первый член ГП равен 2, знаменатель – равен 10. Найти 4-ый член прогрессии.
   А) 20; B) 2000; C) 205;

2. Чему может быть равен знаменатель ГП, если b7=8, а b9=72?

А) 4; B) 9; C) 3;

3. Чему равна сумма первых шести членов ГП, если d1=3, а знаменатель равен 2?

А) 189; B) 204; C) 245.

3. Найти сумму бесконечно убывающей ГП, если b1 = 2; q = 0,875. А. 18. В. 16. С. 32. D. 64. E. 100.
4. Представьте бесконечную дробь 0,(115) в виде обыкновенной дроби

А. . В.. С. . D.. E. .

группа IV

1. Первый член ГП равен 6, знаменатель – равен 2. Найти 4-ый член прогрессии.
   А) 64; B) 25; C) 48;

2. Чему может быть равен знаменатель ГП, если b6=2, а b8=450?

А) 30; B) 20; C) 15;

3. Чему равна сумма первых четырех членов ГП, если в1= 4, а знаменатель равен 3?

А) 180; B) 160; C) 205.

4. Найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии 8; 4; … А. 8. В. 12. С. 15. D.. E. 16.
5. Представьте бесконечную дробь 0,(1) в виде обыкновенной дроби А. . В.. С.. D.. E..

(Слайд 37) ПРОВЕРКА

Критерии оценок: «5» - решены все задания;

«4» - решены 4 задания;

«3» - 3 задания.

Кто решит – дополнительное задание:

1. В геометрической прогрессии b1 = 1,6 q = 2. Найти b5. (25,6)
2. В геометрической прогрессии b1 = 3,2; q =. Найти b4. (0,4)
3. Найти сумму 4 членов Г.П., если b3 =; b4 =. (q =, b1 =1, S4 =).
4. В ГП 8; 4; … Найти S5. (15,5)
5. В ГП найти b1, если q = , а S4= 65. (27)
6. Срочный вклад, положенный в сбербанк, ежегодно увеличивается на 3%. Каким он станет через 3 года, если вначале он был 50 000 тг. (54636,35)

7. Срочный вклад, положенный в сбербанк, ежегодно увеличивается на 3%. Каким он станет через 3 года, если вначале он был 9 000 тг (9835,43)

8. Даны четыре члена ГП. Сумма двух крайних членов равна 52, а двух средних 16. Найти эти числа. (0,8; 3,2; 12,8; 51,2 или наоборот, т к q =4 или ¼)

9. Разность между пятым и третьим членами ГП 144, а между четвёртым и вторым равна 48. Найти сумму шести первых членов прогрессии. (q =3; а1=2; S6 =63).

Нельзя показать все разнообразие задач по прогрессиям на одном уроке. Но я думаю, что вы убедились, задачи на прогрессии встречаются во многих сферах человеческой жизни. Прогрессии действительно везде вокруг нас. Хочу лишь добавить, с помощью прогрессий можно проводить вычисления результатов в спорте, в компьютерной игре, в финансовых пирамидах, решения химических, физических и геометрических задач. Прогрессии существуют даже в литературе! Кому интересно - можно получить задание и решать!

Вернёмся к задаче в начале урока. Сколько же денег получит Алёна? (Слайд 38)

Алена должна получить 234-1= 171 798 691,83 тг

3. Рефлексия: (слайд 39)

• Результатом своей личной работы считаю, что я …

А. Разобрался в теории. В. Научился решать задачи. С. Повторил изученный материал.

• Что вам не хватало на уроке при решении задач?

А. Знаний. Б. Времени. С. Желания.

• Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?

А. Одноклассники. Б. Учитель. С. Учебник. Д. Никто.

3. Д/З (слайд 40)

повторить § 4, 5, 8.

№ 313(1); №320(1); №322 ͦ(1)

карточки с задачами (индивидуально).

3. (слайд 41) Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

8

Для геометрической прогрессии вычислить:

b4 , если b1 = 3, q = 10; (Один ученик у доски.)

b7 , если b1 = 4, q = 0,5. (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Ответ: 1) 3000; 2).

Задание № 4 (Один ученик у доски.)

Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 6; 12; 24; :; 192; :;

Ответ: 6.

Задание № 5 (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Найти знаменатель геометрической прогрессии, если: b1 = 2, b5 = 162.

Ответ: q = 3.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса.. Например, можно встретить такую задачу:

"В доме было 7 кошек.

Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.

Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна.

Сколько всех вместе?".

Найдите ответ к этой задаче. Ответ: 19607. (Обратить внимание на скорость роста членов геометрической прогрессии)

Известна задача-легенда, которая относится к началу нашей эры (встречается у ал-Беруни):

"Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т.д."

Сначала царь обрадовался, такому "скромному" желанию Сеты, но потом оказалось, что такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей поверхности Земли, т.к. их количество равно 18 446 744 073 709 551 615. А для их хранения потребуется амбар, с размерами: высота 4 м, ширина 10м, длина 30 000 000км - вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

В старинной арифметике Магницкого есть забавная задача:

"Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 0,25 коп., за второй - 0,5 коп., за третий - 1коп. и т.д. покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 руб. На сколько покупатель проторговался?

1.Подведение итогов работы.

2. Домашнее задание.

Выучить определение геометрической прогрессии, выведенные формулы; решить одну из предложенных задач.

Литература:

Подготовка в восприятию нового материала

1-Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи :

А) джентльмен получил в наследство некоторую сумму денег. В первый месяц он потратил 100 долларов,а каждый последующий в 2 раза больше. Какую сумму о потратил за 2 месяц , за 3месяц , за 4 месяц , за 5 месяц , за 6 месяц.(как получили последовательность)

Б)Имеется радиоактивное вещество массой 256г,вес которого уменьшается за сутки вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки, треть ,четвёртые сутки.

В)Бактерия за 1 с делится на 3. Сколько бактерий будет в пробирке через 4 секунды?

Такие последовательности называются геометрическими.

Открытый урок в 9 классе по теме «Определение геометрической прогрессии»

ФИО учителя – Шинкарева Н.В.

Цели урока:

Предметные: ввести понятия геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии. обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

Метапредметные: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных задач.

Личностные: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности.

Методы обучения: проблемный, репродуктивный, частично-поисковый.

словесные, наглядные, практические

Тип урока: урок изучения нового материала

1. Организационный момент. Мотивация.

Здравствуйте ребята! Присаживайтесь.

Слайд 1

Сегодня наш урок мне хотелось бы начать словами японского писателя Харуки Мураками «Самое важное не то большое, до чего додумались другие, но то маленькое, к чему пришёл ты сам». Как вы понимаете это высказывание? ….

Так как впереди вас ждет основной государственный экзамен и от того на сколько вы самостоятельно приложите усилия для его успешной сдачи зависит результат нашей работы. Все наши занятия направлены в первую очередь на получение того багажа знаний, который необходим вам для экзамена.

2. Анализ результатов контрольной работы

Разбор типичных ошибок, допущенных учащимися в контрольной работе, консультация учителя.

Сегодня мы продолжаем работать с вами с последовательностями, пополнять наш багаж знаний. И предлагаю считать девизом нашего урока слова «Прогрессия – движение вперед».

Для осознанного восприятия нового материала повторим основные моменты необходимые для урока, для подготовки к ОГЭ обратим внимание на правильность понимания вопроса и быстроту реакции.

Слайд 4

Найдите значение выражения:

2n , при n= 3,4,5,6.

(- 3)n, при n= 2,3,4,5.

Молодцы! Смотрим на следующее задание.

Слайд 4

2. а) Найдите пять первых членов последовательности, заданной условиями: с1 = 1000, сn+1 = 0,1 сn.

Слайд 4

б) Чему равно значение выражения:

С2 /с1 ; с5 / с4 ; сn+1/ сn ?

Слайд 5

в) Назовите член последовательности, который следует за C5 ; Сn ; Сn+1?

Слайд 5

г) Назовите член последовательности, который предшествует С5; Сn+1; Сn-2 ?

Молодцы! И с этим заданием справились.

Слайд 6

3. а) Вставьте в числовую последовательность число вместо вопросительного знака:

1. 7;?; 13; 16;

2. 5; 15; 25;?;

3. 4; 8;?; 32;

б) Выявите закономерность, которой подчиняются числа в каждой последовательности?

- Давайте подробнее рассмотрим последнюю последовательность из данных примеров. Что вы заметили?

(Создание проблемной ситуации)

Учащиеся устно решают задания,

при этом вспоминают правила возведения в степень: степень отрицательного числа с чётным показателем – положительное число; степень отрицательного числа с нечётным показателем – отрицательное число

23 = 8 (-3)2 = 9

24 = 16 (-3)3 = - 27

25 = 32 (-3)4 = 81

26 = 64 (-3)5 = - 243

Учащиеся устно вычисляют члены последовательности:

С2 = 0.1*1000 = 100

С3 = 0.1*100 = 10

С4 = 0,1*10 = 1

С5 = 0,1*1 = 0,1

Учащиеся вспоминают правило умножения на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д.

Сn+1 = Cn*0.1 Cn+1 / Сn = 0,1

c2 /с1 ; с5 / с4 ; сn+1/ сn= 0,1

Учащиеся устно отвечают:

С6 ; Сn+1; Сn+2.

С4 ; Сn ; Сn-1 .

Учащиеся находят пропущенные числа:

10;

35;

16.

+3

+10

*2

Выявляют закономерности, которой подчиняются числа в последовательности. Если возникнут затруднения в примере 3, учитель задаёт наводящие вопросы:

- Как можно получить второй член последовательности?

- С помощью какого действия можно выявить данную закономерность?

Физкультминутка

Подошло время физкультминутки. На улице зима, а это время, когда различные вирусы и инфекции не дают нам готовиться к нашим испытаниям, устраивая различные препятствия в виде головной боли, насморка, кашля. Есть много различных способов профилактики и лечения ОРЗ.

Я предлагаю вам один из самых простых и безвредных способов – массаж особых зон на коже. Итак, смотрим на меня , повторяем и выполняем.

1. Массируем шею сзади – сверху вниз.
2. Массируем точку в области носа и гайморовой полости.
3. Массируем точку, находящуюся над бровями, для улучшения кровоснабжения в области глазного яблока и лобных отделов мозга.

4. На руке - место соединения большого и указательного пальцев – нормализует многие функции организма.

5. Помассируем кончики пальцев, где сосредоточены все нервные окончания, связанные с корой головного мозга.

3. Изучение нового материала

Запишите последовательность чисел 4; 8; 16; 32;…

- Посмотрите, ребята, на данную последовательность, что вы про неё можете сказать?

- Правильно! Молодец!

- В дальнейшем все последовательности чисел, для которых, устанавливается нами открытая закономерность, будем называть геометрической прогрессией.

Слайд 7 Итак, тема сегодняшнего урока «Определение геометрической прогрессии».

Работа с учебником

Познакомимся со словесной формулировкой: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

- Кто сможет нам записать аналитическую формулировку определения: bn+1 = bnq

где bn ≠ 0, q – некоторое число.

- Ребята, запишите данную формулу в тетрадь и выразите q из формулы.

q – будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Запомните! q0.

• Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?

Ответ учащихся: каждый следующий член последовательности получается путём умножения предыдущего члена на 2.

Учащиеся открывают тетради, записывают число и тему урока.

Учащиеся находят в учебнике определение – читают, переписывают в тетрадь. (стр. 153)

Учащиеся записывают формулу в тетрадях и выражают q.

q = bn+1/ bn

Ответ ученика: знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого её члена начиная со второго к предыдущему члену.

4.Первичное закрепление изученного материала

Слайд 8

1.Устно: Определите вид прогрессии

- В третьем тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012 ,2016, 2020. В какой последовательности записаны года?

- В искусственном водоеме 10 кг водорослей. Через три дня их стало 20 кг. Через шесть дней – 40 кг, а через девять – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса водорослей?

Слайд 9

2. Составьте геометрическую прогрессию

- Ежедневно каждый болеющий гриппом может заразить четырех окружающих.

(Ответ: 1; 4; 16; 64;…)

- Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются).

(Ответ: 30; 60; 120; 240;…)

- Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

(Ответ: 0,0002; 0,0004; 0,0008;…)

Слайд 10

3. Найти знаменатель геометрической прогрессии:

1. 512; 256; 128; 64;…(q=2)
2. (q=-1)
3. (q=-3)

2. Работа по учебнику: №625 (а,в) – самостоятельно с последующей проверкой

Ответ: а) 6; 12; 24; 48; 96

в) -24; 36; - 54; 81; -121,5

3. Работа в парах

Слайд 11

А теперь рассмотрим задачи практического характера. Выясним, в каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание группам: Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Проверка: Слайд 12

1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.

5. Подготовка к ОГЭ. Самостоятельная работа

Решение тематических заданий с сайта Гущина (задания прототипа №11 – геометрическая прогрессия) №1, 2, 3, 6, 8

Слайд 13 Самопроверка: 32; -54; - 47,25; 1088; -1364

Слайд 14

Критерии оценки:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;

4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;

3 б. – для полного понимания надо повторить;

2 б. – я ничего не понял.

6.Итог урока.

1) С каким понятием мы познакомились сегодня?

2) Что называют геометрической прогрессией?

3) Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Слайд 15

7. Домашнее задание: п.27 Пример 1-3. Решить № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г)

Решить в тетрадях для подготовки к ОГЭ задания № 9,12,13,15 с сайт Гущина «Решу ОГЭ» (тематические задания «Геометрическая прогрессия»)

8. Рефлексия

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессия – движение вперёд!»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

В чём заключается наш прогресс?

- Скажите, что у нас не получилось?

Спасибо за урок! Всего вам хорошего!

Цель урока:

обобщение тем "Арифметическая прогрессия" и "Геометрическая прогрессия".

Задачи урока:

• обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся;
• проконтролировать и развивать умения и навыки применять формулы прогрессий при решении задач;
• повысить интерес к предмету.

Ход урока

Организационный момент

Слова учителя:

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
"ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД"

Термин "прогрессия" был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio - "движение вперед".

На столах лежат карточки к уроку, ваша цель внимательно посмотреть и записать правильные ответы.

Задача 1(На столе карточка №1)

Определите, какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, ответы запишите на листочках, найти разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) -4; -8; -16; -32;…
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6)-2; -4; - 6; - 8; - 10;…

Ответ:

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…

арифметическая прогрессия d = 3

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

геометрическая прогрессия q = 3

3) 1; 6; 11; 20; 25;…

последовательность чисел

4) -4; -8; -16; -32; …

геометрическая прогрессия q = 2

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

последовательность чисел

6) -2; -4; - 6; - 8; - 10;…

арифметическая прогрессия d = - 2

Примерные вопросы

1. Что называется арифметической прогрессией?
2. Что называется геометрической прогрессией?
3. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?
4. Как вычислить разность арифметической прогрессии?
5. К каким числам принадлежит n?

Давайте послушаем сообщения учащихся по теме «Стремительное размножение». Это интересные факты из жизни животных и насекомых.

Сообщения учащихся

Одна пара кроликов в год приплод в 50 крольчат. Если бы они все оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их число увеличилось бы в 625 раз, через 3 года в 15625 раз и т.д. Последовательность чисел 1, 25, 625, 15625... возрастает очень быстро - уже через 5 лет было бы 255, т.е. более девяти миллионов пар ,а еще через 5 лет кролики исчислялись бы биллионами.

Еще быстрее увеличилось бы количество растений мака, если бы каждое маковое зерно давало новое растение. В одной головке содержится примерно 3000 маковых зерен, и уже через 5 лет число потомков одного растения равнялось бы 30005 = 243 000 000 000 000 000. Это примерно по 2000 растений на каждый метр суши, включая песчаные пустыни Сахары и Каракумов и ледяные просторы Ирландии и Антарктиды.

А комнатные мухи размножались бы вообще с головокружительной быстротой. Если считать, что муха откладывает по 200 яичек и в течение лета появляется 7 поколений, то за лето появилось бы более чем 800 000 000 000 000 мух. Эти мухи весили бы несколько десятков миллионов тонн, а выстроенные в одну линию, заняли бы отрезок длиной в 1500 млн. км., что в 10 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство одной пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара.

Разумеется, в действительности мы не наблюдаем такого чудовищного роста - в любом сообществе животных и растений через некоторое время устанавливается динамическое равновесие. Одни питаются другими. Погодные условия также влияют на продолжительность жизни и т.д.

А теперь рассмотрим задачи практического характера. В каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание 2. Даются 3 задачи по одной каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи». Время 3 минуты.

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

(1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.)

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

q = (это отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену)

Устная работа

1) Дано: (а n ) , а1 = 5 d = 3 Найти: а6 ; а10.

2) Дано: (b n ) ,b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5.

3) Дано: (а n ) , а4 = 11 d = 2 Найти: а1 ;

4) Дано: (b n ) , b4= 40 q = 2 Найти: b1 ;

Ответы 1) а6 = а1 +5 d = 5+ 53 = 20

а10 = а1 +9 d = 5+ 93 = 32

2) b3 = b1q2 = 5 32 =59=45

b5 = b1q4 = 5 34 =581=405

3) а4= а1 +3 d а1 = а4 - 3 d = 11 - 32 = 5

4) b 4= b1 q3 b 1 = b 4 : q3 = 40 : 23 = 5

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе

1.Арифметическая прогрессия (а n ) задана условием: а n =6-4n. Какое из чисел не является членом этой прогрессии?

1) -18

2) 2

3) 10

4) -2

Решение:

а n =6-4n, аn=-18

-18=6-4n

4n=24

n=6 (да)

а n =6-4n, аn=2

2=6-4n

4n=4

n=1 (да)

а n =6-4n, аn=10

10=6-4n

4n=-4

n=-1 (нет)

а n =6-4n, аn=-2

-2=6-4n

4n=8

n=2 (да)

2. В арифметической прогрессии (с n ) с1= -4, а сумма первых девяти ее членов равна 72. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение: S9=72, с1=-4. d-?

-72+72d=144

-1+d=2, d=3

Ответ: 3

3. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500м, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение:

В задачах такого типа главное - правильно сделать краткую запись, то есть определить, какие величины нам известны, а какую - надо найти.

В данном случае, 500 м -это сумма всех членов прогрессии; 3 м - это первый член прогрессии, 10 дней - это количество членов. Найти нужно десятый член прогрессии.

S10=500

a1=3

n=10

a10-?

Удобно воспользоваться второй формулой суммы, так как именно она связывает данные величины с искомой.

Подставим данные и решим это уравнение относительно десятого члена прогрессии.

S10=(a1+a10) ·5

100=3+ a10

a10=97

В последний день рабочие проложили 97 м туннеля.

Ответ: 97

4.В геометрической прогрессии (с n ) с4 = , с 7= -25. Найдите знаменатель прогрессии (с n ).

Решение:

с4=с1·q3

с7=с1·q6

= с1·q3

-25= с1·q6 (2)/(1)

, q3=-5, q=-

Ответ: -

4. В геометрической прогрессии (b n ) b1 =-1/27 , а произведение первых пяти ее членов равно -1/243. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что он отрицательный.

Решение:

b1· b2·b3·b4·b5

b1· b1q· b1q2· b1q3· b1q4

(b1 )5 q10

(b1q2)5=

b1q2=, q2=:=9, q=±3

Ответ:-3

5.Какая из последовательностей не является геометрической?

А. -3, 6, -12, …

В. 50, 10, 2, …

С. 200, 20, 2, …

D. 64, 2, 8,…

Решение:

Используя свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

А. -3, 6, -12, …(62=-3·(-12)=36)

В. 50, 10, 2, … (102=50·2=100)

С. 200, 20, 2, … (202=200·2=400)

D. 64, 32, 8, … (322=8·64=512≠1024)

1.Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 12,8; 12,5; …

an>0,

а1=12,8; а2=12,5; d=12,5-12,8=-0,3

d=-0,3
an = a1 + (n-1)*d > 0
12,8 + (n-1)*(-0,3) > 0

12,8 + 0,3 -0,3n > 0

-0,3n >-13,1
n < 43,7

т.е. в данной прогрессии 43 положительных членов

S43 = [(2*12.8 + 42*(-0.3))*43] / 2 =((25.6-12.6)*43)/2=13*43/2=559/2=279.5

S43 = 279.5

Ответ: 279.5

2.Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Решение:

b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5

2,b2 ,b3 ,b4 ,18

b1=2, b5= b1*q4

2*q4=18

q4=9, q=

b2 =2*=2

b3 =2*=6

b4=6*=6

Ответ: 2,6, 6

3.В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена этой прогрессии.

b1+b2 =84

b2 +b3 =112

Найти: b1 ,b2 ,b3

b1 +b1q =84

b1 q+b1q2 =112

b1(1+q)=84

b1 q(1+q) =112

b1(1+q)=84

q*84=112

q=112/84=4/3

b1=84/(1+q)=84/(7/3)=36

36*(4/3)=48

48*(4/3)=64

Ответ: 36, 48, 64

Конкурс «Допиши, как можешь?»

1) 2, 3, 4, 5, …(6)

2) 10, 9, 8, 7, …(6)

3) 5, 10, 15, 20, …(25)

4) 8, 8, 8, ..(8)

5) 1, 2, 4, 8, …(16)

6) 25, 5, 1, …(1/5)

7) 3, ?, 27, …(92=3*27=81)

8) 9, ?, 21,…(15=(21+9)/2)

9) 18, ?, 24, …(21=(24+18)/2)

Соотнести и сопоставить формулы прогрессий в таблице для проверки знаний теории.

Прогрессии

Арифметическая

Геометрическая

Определение

, ,

, (n=2,3…, ,)

Формула n первых членов

Сумма n первых членов прогрессии

,

,

Постоянное число

Свойства

,

Подведение итогов

Вопрос к классу:

• Какие еще вопросы мы сегодня повторили при решении задач (свойства степеней с одинаковым основанием, решение неравенств линейных, метод подстановки, действия с дробями и числами разных знаков).

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

Спасибо за урок. До свидания.

На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг?

Последняя задача (№3) – текстовая. Здесь уместно учащимся самостоятельно предложить найти компоненты геометрической прогрессии, предложив им вопросы: