Решениие задачи № 19 ЕГЭ
тренажёр по алгебре (11 класс)

№1. Задание 19 № 507890. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

Значит, Оля погасит кредит за 6 лет.

Ответ: 6.

№2.  Задание 19 № 507212. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна  а годовые составляют  Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент  После первой выплаты сумма долга составит  После второй выплаты сумма долга составит

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

При  и  получаем:  и

Ответ: 2 296 350.

ВТОРОЙ СПОСОБ

Пусть x — один из четырех разовых (равных) платежей.Тогда можно составить линейное уравнение:

(((((((6902000 * 1,125 ) – x ) * 1,125 ) – x ) * 1,125) – x ) * 1,125 ) –x = 0.

Выполнив все вычисления, получим:

11055669, 43359375 = 4,814453125x

x = 11055669,43359375/4,814453125

x = 2296350

Ответ: 2296350.

№3.Задание 19 № 506956. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение.

Первый способ (близкий к арифметическому решению).

Пусть первый брокер купил  акций, а второй —  акций. Тогда первый продал  акций, второй —  акций.

То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то

Если  — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено  акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:

 р.

Первый брокер продал  акций, второй  акций. Всего было продано  акций. К моменту продажи цена одной акции стала

(р), т.е. на  (р) выше.

Значит, цена одной акции возросла на 37,5%

Второй способ (преобладает алгебраический подход).

Пусть  р. — первоначальная цена одной акции,  — количество акций, купленных первым брокером,  — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на  %. Тогда: (1)

Со временем цена одной акции выросла до  рублей.

Первый брокер продал акций на сумму  рублей, а второй брокер — на  рублей.

Согласно условию задачи имеем:  т.е.

 (2)

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то

Подставив полученное значение  в уравнение (1), будем иметь:

Подставим то же значение  в уравнение (2):

А значение  нами найдено выше.

Следовательно, 

Ответ: 37,5.

№4.Задание 19 № 506090. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x. После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  откуда  При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 рублей.

 Второй способ

Пусть  — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: После внесения второго платежа сумма долга станет равной  Сумма долга после третьего платежа:  Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:

Третий способ

В первый год ему начислят 993000 и сумма долга составит 10923000 минус ежегодный платеж (х) и получаем следующее  10923000-х

На второй год опять проценты и минус ежегодный платеж:

(10923000-х)*1,1-х

На третий год та же история:

((10923000-х)*1,1-х)*1,1-х=0 (так как он закрыл долг тремя равными платежами).

Дальше нехитрые вычисления уровня средней школы и приходим к выражению:

3,31х=13216830

Отсюда находим, что х=3993000.

№ 5. Задание 19 № 506950. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

Общая сумма, причитающаяся вкладчику, включая дополнительные вклады в течение четырех лет и все процентные начисления, к концу пятого года хранения денег составляет 825 (100+725) процентов от первоначального (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

 (тыс.руб.)

Некоторая часть найденной суммы образована хранением первоначально вложенной суммы (3900 тыс.руб.) Вычислим эту часть. Поскольку процентная надбавка начислялась в размере 50% годовых, то за 5 лет хранения этой части вклада вложенная сумма увеличилась в  раза. То есть стала:

 (тыс. руб.)

Теперь найдем другую часть образованной суммы с учетом дополнительных вкладов в течение четырех лет, а также процентных начислений на эту сумму. Эта часть равна разности двух сумм, вычисленных выше.

 (тыс. руб.)

Это — с одной стороны. С другой же стороны эта сумма образовалась так:

Пусть вкладчик в конце года и в течение 4 лет вносил дополнительный вклад в сумме  тыс. руб.

В конце первого года хранения этой суммы она выросла до  тыс. руб.

Вкладчик дополнительно внес еще  тыс. руб. На начало следующего календарного года эта часть суммы стала:

 (тыс.руб.)

Через год эта сумма выросла до:

 (тыс.руб.)

Но вкладчик внес на счет еще  тыс.руб. Сумма стала:

 (тыс. руб.)

Через год эта сумма выросла до:

 (тыс. руб.)

Вкладчик вновь внес на счет  тыс. руб. Часть вклада становится равной:

 (тыс.руб.)

К концу последнего года хранения всего вклада эта часть вырастает до:

 (тыс. руб.)

Теперь решим уравнение:

Итак, искомая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 000.

№6.Задание 19 № 506948. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом  и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на  Определите срок хранения вклада.

Решение.

Известно:

1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась  месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в  раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

При изменении процентной надбавки с 5% на 12% (ставка 12% продержалась  месяцев) первоначальная сумма вклада за  месяцев увеличится в  раз.

Предположим, что процентная ставка  продержалась  месяцев, а процентная ставка  продержалась  месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:

и 

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:

Это — с одной стороны. Но с другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на  т.е. в

 ( раз).

Значит,

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:

Решим эту систему относительно натуральных  и 

Из последнего уравнения системы имеем:  При этих значениях  и  система примет вид:

Итак,  вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях  и   действительно равно нулю.

Ответ: 7.

№7.Задание 19 № 506954. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение.

Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла  у.е., а цена барреля сырой нефти у.е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял  баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до  у.е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до  у.е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить  баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:

 % то есть  % =  %.

Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября того же года.

Ответ: 96.

№8.Задание 19 № 506957. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Решение.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.

В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла , во втором —  в третьем —  в восьмом —  наконец, в последнем — 

Всего за 9 месяцев:

Искомое процентное отношение есть 60 

Ответ: 60.

№9.Задание 19 № 507913. Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

Значит, Оля погасит кредит за 5 лет.

Ответ: 5.

Задание 19 № 506955. Транcнациональная компания Amako inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako inc. было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных Amako inc. акций поглощаемой компании увеличивалась на 20%. Определите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций First Aluminum Company, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а количество акций, выкупленных по второй цене, 15 тысяч.

Решение.

Ответ: третье предложение по цене $48 за одну акцию; общее количество выкупленных акций 108000.

№ 10.Задание 19 № 506951. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение.

Пусть банк первоначально вклад в размере  у.е. принял под  годовых. Тогда к началу второго года сумма стала  у.е.

После снятия четверти накопленной суммы на счету осталось  у.е.

С момента увеличения банком процентной ставки на 40% к концу второго года хранения остатка вклада накопленная сумма стала

 у.е.

По условию задачи эта сумма равна  у.е.

Решим уравнение 

; 

Этот корень не подходит по смыслу задачи:  Новые годовые составляют 20 + 40 = 60 %.

Ответ: 60.

№ 11.Задание 19 № 506958. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Решение.

Пусть сумма кредита  у.е., процентная ставка банка  %.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:

 (у.е.)

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев:  (у.е.). А эта сумма по условию задачи равна  у.е. Решим уравнение:

Ответ: 18.

№12.Задание 19 № 506953. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение.

Через  лет на первом счёте будет сумма

В это же время на втором счёте будет сумма

Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:

Таким образом, суммы на счетах сравняются через 12 лет после открытия первого вклада.

Ответ: 12.