Готовимся к ЕГЭ
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Задание № 17 Витязева Т.В. МАОУ «СОШ № 22» г.Сыктывкара

Слайд 3

Дифференцированные платежи рассчитываются исходя из того, что сумма погашения основного долга из месяца в месяц одинаковая , а сумма погашения процентов зависит от того, сколько насчитал банк за последний месяц. При аннуитетных платежах размер ежемесячного платежа остается постоянным на всем периоде кредитования. Ежемесячный платеж рассчитывается как сумма процентов, начисленных на текущий период и суммы идущей на погашения суммы кредита.

Слайд 4

№ 1. В банке взят кредит 1200 рублей на 12 месяцев. Причем, каждый платежный период долг сначала возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Необходимо ответить на вопросы : а) Какую сумму нужно вернуть банку за весь платежный период? б)Какова сумма переплаты?

Слайд 5

Долг перед банком по состоянию на конец года должен уменьшаться до нуля равномерно на сумму 1200 : 12 = 100 руб , т.е. последовательность долгов перед банком такова: 1200; 1100 ; 1000 ; 900; 800 ; 700 ; 600 ; 500 ; 400; 300 ; 200; 100 . Первого числа каждого месяца долг возрастает на 10%. Тогда последовательность долгов будет такова: 1200∙1.1; 1100∙1.1; 1000∙1.1; 900∙1.1; 800∙1.1; 700∙1.1; 600∙1.1; 500∙1.1; 400∙1.1; 300∙1.1; 200∙1.1; 1 00∙1.1. или 1320; 1210; 1100; 990; 880; …110. Обращаем внимание на то, что разница между долговыми суммами равна 110 рублей.

Слайд 6

Теперь найдем ежемесячные выплаты: 1 месяц- 1320-1100=220 2 месяц- 1210-1000=210 3 месяц- 1100- 900=200 4 месяц- 990- 800=190 5 месяц – 880-700=180 и так далее. И последняя наименьшая выплата равна 110 рублей. Замечаем, что выплаты уменьшаются ежемесячно на 10 рублей. Такова схема дифференцированного платежа. Далее можно найти сумму всех выплат. Она равна: 220+210+200+…+110 = 1980 (рублей). Таким образом, переплата составляет 65%.

Слайд 7

№ 2 15-го января 2015 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,5 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по срав-нению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. А)Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? Б) Какова сумма переплаты?

Слайд 8

Пусть S- сумма кредита. Долг перед банком по состоянию на конец второго года должен уменьшаться до нуля равномерно на Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид: Занесем эти данные в таблицу: Месяц и год 15.01 15.02 15.03 15.04 … 15.12 15.01. 17 Долг перед банком 0 Месяц и год 15.01 15.02 15.03 15.04 … 15.12 15.01. 17 Долг перед банком 0

Слайд 9

Найдем теперь размеры выплат: Долг с процентом минус долг следующего месяца без процентов 1 месяц: 2 месяц: 3 месяц: … 24 месяц: .

Слайд 10

Найдем сумму всех выплат: (24∙1.03+23∙1.03+22∙1.03+…+1∙1.03-23-22-21-…-1) = = (1.03(24+23+22+…+1) –(23+22+21+…+1)) = = (1.03∙300–276) = * 33 = Найдем сумму переплаты: 2062500-1500000=562500 (рублей). Ответ: 2062500 рублей; 562500 рублей.

Слайд 11

№ 3 В июле планируется взять кредит 13 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастет на 20% по сравнению с концом предыдущего года; в июле каждого года необходимо выплатить часть долга; в конце июля каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга по сравнению с концом предыдущего года. Чему равна общая сумма выплат после полного погашения кредита , если наименьший годовой платеж равен 1,56 млн рублей?

Слайд 12

Пусть Х – количество лет, на которые взят кредит. Наименьшая выплата в условиях дифференцированного платежа – последняя. Она равна Составим уравнение = 1,56 Решаем уравнение и находим Х = 10 Кредит взят на 10 лет.

Слайд 13

Основной долг перед банком по состоянию на конец второго года должен уменьшаться до нуля равномерно на Тогда последовательность размеров основного долга будет иметь вид: . Тогда последовательность размеров долга с процентами будет иметь вид: . Найдем теперь размеры выплат: Долг с процентом минус долг следующего года без процентов 1 год: 2 год: 3 год: … 10 год:

Слайд 14

Найдем сумму всех выплат : + + + + … + = ( + + + … + + – 9 – 8 – 7 – . . . – 1) = (1,2 * ( 10 + 9 + 8 + 7 + … + + 1) – (9 + 8 + 7 + . . . + 1)) = ( 1,2 * (10 + 1) * 10 / 2 – – (9 + 1) * 9 / 2) = ( 1,2 * 55 – 45) = * (66 – 45) = * 21 = = 27,3 млн.руб . Переплатил 27,3 млн.руб – 13 млн.руб .=14,3 млн.руб . Ответ: 27,3 млн.руб .

Слайд 15

Задача № 4 15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастет на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 24% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Слайд 16

Пусть S сумма кредита . Ежемесячный множитель a= 1+0,01r . Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность размеров долга без процентов будет иметь вид : . Найдем выплаты : 1 месяц: = (15*а – 14) 2 месяц: = ( 14*а – 13)

Слайд 17

3 месяц: = ( 13*а – 12) … 15 месяц: = ( 1*а – 0). Найдем сумму всех выплат: (15*а – 14 ) + (14*а – 13 ) + (13*а – 12 ) + … + (1*а – 0 )= = (а(15 + 14 + 13 + … + 1) – ( 14 + 13 + 12 + … + 1) ) = = ( а * = (а*120 – 105) = = S (8а – 7).

Слайд 18

По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 24% больше суммы, взятой в кредит. Значит, S (8а – 7 ) = 1,24 S . 8 a S – 7 S = 1,24 S … а = 1,03 1 + 1,01 r = 1,03 … r = 3% Ответ: 3 %

Слайд 19

Задача № 5 Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей ? Решение:

Слайд 20

В конце первого года долг составит: 1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (р.) 2 ) В конце второго года долг составит: 1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (р.) 3) В конце третьего года долг составит: 1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (р.) 4)В конце четвертого года долг составит: 838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (р.) 5)В конце пятого года долг составит: 571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (р.) 6 ) В конце шестого года долг составит: 278900 ∙ 1,1 =306878 (р.) Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет. Ответ : 6 лет

Слайд 21

Задача № 6 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 000 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660 000 рублей, во второй раз – 484 000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию ?

Слайд 22

Решение: Пусть а - процентная ставка по кредиту. Ежемесячный множитель 1+0,01 а. 1)В конце первого года долг составит: 1 000 000 ∙ (1 + 0,01* а) – 660 000 = 340 000 + 10 000∙а В конце второго года долг составит: (340 000 + 10 000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484 000. По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0; + 134∙а – 1440 = 0 Решая уравнение, получаем, что а = 10. Ответ: 10%

Слайд 23

Задача № 7 . 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2 928 200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Слайд 24

Решение. Пусть х – сумма кредита. 1)В конце первого года долг составит: ( 1,1х – 2928200) рублей В конце второго года долг (в рублях) составит: ( 1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220 В конце третьего года долг (в рублях) составит: ( 1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 = =1,331х – 9692342 В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей: ( 1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200; 1,4641х – 10661576,2 = 2928200; 1,4641х = 13589776,2; х = 9 282 000. Значит, сумма кредита равна 9 282 000 рублей. Ответ : 9 282 000 рублей.

Слайд 25

Задача № 8 . 31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8 599 000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)? Решение. 1)В конце первого года долг составит: 8 599 000 ∙1,14 – Х = 9 802 860 – Х В конце второго года долг составит: (9 802 860 - Х)∙1,14 – Х=11 175 260 – 2,14∙Х В конце третьего года долг (в рублях) составит: (11 175 260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12 739 796 – 3,4396 ∙Х. Составим уравнение: 12 739 796 – 3,4396∙Х= 0 Х=3 703 860 рублей Ответ : ежегодный транш составит 3 703 860 рублей.

Слайд 26

Задача № 9 В июле 2016 года планируется взять кредит на 4 года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга - в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей: Найдите наименьшее S, при котором общая сумма выплат будет больше 20 млн рублей. Месяц, год Июль, 2016 Июль, 2017 Июль, 2018 Июль, 2019 Июль, 2020 ДОЛГ S 0,9S 0,7S 0,4S 0

Слайд 27

Решение. Долг перед банком ( в млн рублей) должен уменьшаться до нуля на июль каждого года в соответствии с данной таблицей: S; 0.9S; 0.7S; 0.4S; 0. По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 30%. Значит, долг в январе каждого года равен: Январь 201 7 г.: 1,3 S Январь 201 8 г.: 1,3 * S * 0,9 = 1,17 S Январь 201 9 г.: 1,3 * S * 0,7 = 0,91 S Январь 20 20 г.: 1,3 * S * 0,4 = 0,52 S Январь 20 21 г.: 0

Слайд 28

Найдем теперь выплаты с февраля по июнь каждого года: 1 , 3 ∙S – 0 , 9 ∙S = 0 , 4 ∙S. 1 , 17 ∙S – 0 , 7 ∙S = 0 , 47 ∙S 0 , 91 ∙S – 0 , 4S = 0 , 51 ∙S 0 , 52 ∙S – 0 = 0 , 52 ∙S Найдем сумму всех выплат: 0 , 4 ∙ S+0 , 47 ∙ S+0 , 51 ∙ S+0 , 52 ∙ S=1 , 9 ∙S Общая сумма выплат должна быть больше 20 млн рублей: Наименьшее целое решение этого неравенства – число 11. Значит, искомый размер кредита 11 млн рублей. Ответ : 11 млн рублей

Слайд 29

Задача № 10 15-го января планируется взять кредит в банке на четыре месяца в размере 2 млн руб. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей : Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 2,5 млн р. Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 долг 2 1,6 1 0,5 0

Слайд 30

Решение. Долг перед банком ( в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом : 2; 1.6; 1; 0.5; 0. Обозначим k = 1+ Тогда долг на 1-е число каждого месяца равен: 2k; 1.6 k; 1k; 0.5k; 0 . Найдем теперь выплаты со 2-е по 14-е число каждого месяца: 2k – 1 , 6 ; 1 , 6k – 1 ; k – 0 , 5 ; 0 , 5k .

Слайд 31

Общая сумма выплат составляет : ( 2k - 1 , 6 ) +( 1 , 6k-1 ) + ( k-0 , 5 ) + 0 , 5k = 5 , 1k – 3 , 1 По условию, общая сумма выплат будет меньше 2,5 млн руб. Значит, составляем неравенство: 5,1k – 3,1 ≤ 2,5. Подставляя вместо k выражение k = 1+ и решая неравенство, получим, что r ≤ 9 . Наибольшее целое решение этого неравенства – число 9. Значит , искомое число процентов – 9%. Ответ : 9%

Слайд 32

Задача № 11 В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на 5 лет в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается неизменно равным S тысяч рублей; выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей ; к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за 5 лет.

Слайд 33

Решение. Так как в июле 2017, 2018, и 2019 годов долг перед банком не меняется, то ежегодные выплаты равны по 0,2S тысяч рублей. В январе 2020 года долг равен 1,2S , а в июле – ( 1,2S – 360) тысяч рублей. В январе 2021 года долг равен 1,2(1,2S – 360) = 1,44S – 432; а в июле – ( 1,44S – 792). Так как к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то составим уравнение: 1,44S – 792 = 0; S = 550. Найдем первые три выплаты: 0,2 ∙550 = 110 ( тыс. руб.). Общая сумма выплат составляет: 3 ∙ 110 + 2∙360 = 1050 ( тыс. руб.) Ответ : 1050 тысяч рублей

Слайд 34

Задача № 12 Планируется выдать льготный кредит (целое число млн р.) на 5 лет. В середине каждого года долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце первого, второго и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат превысит 10 млн р.?

Слайд 35

Пусть S – сумма кредита, Х – сумма выплат в конце 4-го и 5-го годов. В конце первого, второго и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту. Значит, ежегодные выплаты равны по 0,2S тысяч рублей. А выплаты за три первых года равны 3 ∙ 0,2S=0,6 S. Выплаты за 5 лет равны (0,6 S + 2Х ). По условию задачи составляем неравенство: 0,6 ∙ S +2∙Х≥ 10 В начале 4 года долг составит 1,2S . После выплаты в конце 4 года долг составит (1,2S- Х).

Слайд 36

В начале 5-го года долг составит (1,2 S- Х )*1,2 , а после выплаты долг станет равным нулю , то есть (1,2 S- Х ) 1,2 – Х=0 . Выразим Х Х = подставим в неравенство 0,6 S + 2 * ≥10 ; S ≥ 5 Наименьшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, наименьший размер кредита равен 6 млн рублей. Ответ: 6 млн р.

Слайд 37

Задача № 13 В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; в июле 2017,2018,2019 годов долг остается равным 4,2 млн рублей; суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты равны 6,1 млн рублей.

Слайд 38

Решение. Сумма выплат за первые три года равна: 4,2*0,01*r*3 = 0,126r Сумма выплат за последние два года равна 2Х . Так как общие выплаты равны 6,1 млн рублей, то составляем уравнение: 0,126r + 2Х= 6,1 (1). В январе 2020 года долг составит: 4,2 +4,2∙0,01r= 4,2 (1+0,01r). После выплаты суммы Х долг станет равным: 4,2 (1+0,01r) – Х= 4,2t –Х, где t=1+ 0,01r.

Слайд 39

В январе 2021 года долг составит ( 4,2t –Х )*t После выплаты суммы Х долг станет равным нулю : ( 4,2t – Х)t – Х= 0 (2). Из уравнения (2) выразим Х: Х = и подставим в равенство (1): 12,6∙(t -1) + 2 = 6,1; t =1, 1. Значит, r = 10% Ответ : 10%

Слайд 40

Задача № 14 Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Слайд 41

Решение. Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 10 % от стоимости станут составлять не меньше 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей. Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги, когда ее стоимость будет равна 21 тыс рублей. И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 2100 рублей, то есть больше, чем 2000 р. Значит, надо продать бумагу, а вырученные деньги положить на счет в банке. Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение восьмого года. .Ответ : В течение 8 года

Слайд 42

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ Задача № 1 В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Слайд 43

Решение : 1-й способ – с помощью составления опорной линейной функции. Решение экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции. у = кх + в, где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке [ α ; β ], то она будет иметь на нем наибольшее и наименьшее значение. При к > 0 наименьшее значение у принимает в точке х = β , а наибольшее – в точке х = α , при к < 0 функция у в точке х = α принимает наибольшее значение, а в точке х = β - наименьшее.

Слайд 44

Пусть х (от 0 до 100)рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно, тогда (100-х) рабочих добывают никель . Тогда количество добытого алюминия равно 5часов * 1 кг/в час * х раб = 5х кг., количество добытого никеля – 5 часов * 3 кг/в час * (100-х)раб = 15(100 – х) кг. Пусть у (от 0 до 300) рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно , тогда (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно 5 часов * 3 кг/ в час * у рабочих = 15у кг, количество добытого никеля 5 часов * 1 кг/в час * (300 – х) рабочих = 5(300-у) кг. Всего количество добытого алюминия ( 5х+15у ); а количество добытого никеля 15(100-х)+ 5(300-у)= 1500-15х+1500-5у=3000 - 15х-5у .

Слайд 45

Функция сплава : F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x ) = -10х+10у + 3000 ; Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у ). Отсюда у = - 1,4х+240. Поставим это выражение в функцию сплава : F(x) = -10х+10(- 1,4х+240) + 3000; F(x ) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей на промежутке от 0 до 100 (1 шахта) Наибольшее значение она принимает при х=0, Значит , F(0)= 5400. Ответ:5400

Слайд 46

2-й способ – с помощью логических рассуждений и составления уравнения . Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды логично допустить, чтобы все рабочие в этой шахте добывали никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 100 раб * 5 часов * 3 кг никеля =1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 300 раб * 3 кг алюминия * 5 часов = 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Значит , рабочих 2-й шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля с учетом пропорции сплава.

Слайд 47

Пусть х рабочих 2 шахты добывают алюминий, тогда у = (300-х) рабочих добывают никель. Составим уравнение: 5часов * 3кг алюм * х рабочих = 2* (5часов * (300-х ) рабочих + 1500никеля); 15х = 6000-10х; х = 240. Найдем у: у=300-240=60.Значит, 240 рабочих 2-й шахты должны добывать алюминий, 60 рабочих добывать никель. Тогда алюминия будет добыто 240∙ 5∙3 = 3600 (кг), никеля 1500 + 60∙5=1800(кг). Всего 3600+1800=5400 (кг). Ответ: 5400 кг

Слайд 48

3-й способ – методом перебора. Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то пусть все рабочие добывают никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия то пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Что делать? Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля. Применим метод перебора.

Слайд 49

Допустим, что 10 рабочих 2 шахты добывают никель, а 290 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 290∙5∙3= 4350 (кг), а никеля 1500 + 10∙5= 1550 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим , что 20 рабочих 2 шахты добывают никель, а 280 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 280 ∙5∙3= 4200 (кг), а никеля 1500 + 20∙5= 1600 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим , что 40 рабочих 2 шахты добывают никель, а 260 рабочих – алюминий.

Слайд 50

Тогда алюминия будет добыто всего 260 ∙5∙3= 3900 (кг), а никеля 1500 + 40∙5= 1700 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим , что 60 рабочих 2 шахты добывают никель, а 240 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 240 ∙5∙3= 3600 (кг), а никеля 1500 + 60∙5= 1800 (кг). Замечаем, что данные удовлетворяют пропорции 1: 2, то есть на 1 часть никеля приходится 2 части алюминия: 1800 : 3600. Итак, всего будет добыто 3600+1800=5400 (кг) алюминия и никеля. А количество изделий из сплава тогда будет равно 1800 штук. Ответ: 5400 кг.

Слайд 51

Задача № 2 Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Слайд 52

1-й способ – с помощью составления опорной линейной функции. Пусть х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у . Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у у = . Составим функцию заработанных денег: S(x , y) = 2000x + 4500y . Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x ) = 71 х + 4500*22 . Это возрастающая линейная функция. Свое наибольшее значение она принимает при наибольшем значении х и наименьшем значении у. По условию х и у – натуральные числа. Значит, у=1 (это наименьшее натуральное число) и х=50 . Значит, S (50, 1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500. Ответ : 104500 рублей.

Слайд 53

2-й способ – с помощью логики и арифметических действий . Найдем стоимость 1 номера стандартного: 2000:21=95 (р) Найдем стоимость 1 номера «люкс»: 4500 : 49 = 91 (р) Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс». Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0 . Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Допустим , что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050 ; 1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит , на площади 1050 можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать: 50 ∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (р.). Ответ : 104500 рублей.

Слайд 54

Задача № 3 На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В . На втором комбинате для изготовления t деталей ( и А, и В) требуется человекосмен . Оба эти комбината поставляют детали на комбинат , из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий . Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?

Слайд 55

Пусть на первом комбинате х человек изготавливают деталь А, по 3 штуки за смену. Значит, всего 3х деталей А. Тогда ( 100 –х) человек изготавливают деталь В, по 1 штуке за смену. Всего ( 100-х) деталей В. Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда на изготовление деталей А требуется человеко-смен , а для изготовления детали В человеко-смен . По условию + =100, так как в одну смену трудятся все 100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:

Слайд 56

Чтобы собрать наибольшее количество изделий, нужно соблюдать условие: 1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь. Значит, 3(3х +a) = 100 – х +b; 10х = 100 + b – 3a. (1) В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А. Так как a и b – целые числа и + =100, то возможны следующие случаи: a=0 , b=10. Тогда из равенства (1) х=11 и 3х +a=3∙11 +0=33. a=10, b=0. Тогда из равенства (1) х=7 и 3х +a=3∙7 +10=31. a=6, b=8. Тогда х=9 и 3х +a=33. a=8, b=6. Тогда х=8,2 – не является целым числом. Значит, наибольшее количество изделий равно 33. Ответ : 33

Слайд 57

Задача № 4 Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти , ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью). Виды тары Себестоимость 1 ц Отпускная цена 1 ц Стеклянная 1 500 руб. 2 100 руб. Жестяная 1 100 руб. 1 750 руб.

Слайд 58

Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая - в жестяной . Пусть величина х - это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть (1 – х) направлены на выпуск компотов в жестяной таре. В этом случае завод выпустит компота в стеклянной таре – 90х центнеров , и в жестяной таре – 80(1 – х) центнеров . Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом 1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль 2 100 – 1 500 = 600 руб. 1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль 1 750 – 1 100 = 650 руб.

Слайд 59

В итоге полученная прибыль в зависимости от х составит S(x) = 90x * 600 + 80(1 – х ) *650 Упростим выражение для функции S(x) S(x) = 2000х + 52 000 Коэффициент при х > 0 , следовательно, это функция возрастающая , и чем больше значение х, тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для выполнения условий ассортиментности , которые предъявляются торговыми сетями , продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров . Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре: 80(1 + х) = 20, х = 1/4 под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать 1/4 часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум всех мощностей т.е 3/4 всех мощностей. Тогда S(3/4) = 2000*3/4 + 52 000 = 53 500 Ответ: 53 500.