Взаимосвязь производной и функции
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

                                              1

Взаимосвязь свойств функций и графиков производных.

Цель:

      Образовательная –повторить с  обучающимся различные взаимосвязи между графиками функций, свойствами производных, графиками производных функции, свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью

      Развивающая – развивать познавательный интерес учащихся, умение    выделять главное, сравнивать, анализировать

      Воспитательная – воспитание умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

     Оборудование и материалы для урока:  компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, листы с заданиями для учащихся.

                                                                        Ход  урока.

1. Постановка цели урока - 2мин

         Вы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические точки, производную, определяли  свойства и строили график функции.

            Сегодня мы рассмотрим задания, в которых по графику производной функции нужно определить свойства самой функции, и наоборот (по графику функции определить поведение производной). То есть задания типа В8, которые, к сожалению, наш учебник не предлагает, но они включаются в тесты Единого Государственного Экзамена.

          Поэтому нам сегодня необходимо дойти до самой сути взаимосвязи свойств функции и графика её производной. Наша задача  - научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение - 4 мин.

-- Давайте вспомним, а какие свойства функции связаны с её производной?      

              (возрастание, убывание, экстремумы функции).        

Рассмотрим график  некоторой функции у=f(х),

будем считать, что она определена на всей числовой прямой.             (слайд 2)

Назовите точки экстремума данной функции.

    ОТВЕТЫ               2 и 5  или           хmax=2,  xmin=5                             (слайд 2)

Напомните  мне необходимое условие существования точек экстремума

  ОТВЕТЫ:   если точка х0  является точкой экстремума, то производная в этой

                        точке равна нулю или не существует.

А как мы определяем характер точек экстремума   (максимум или минимум)            достаточное условие:

 если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через х0 

 производная меняет знак с + на –, то х0 – точка максимума  функции;.  

 если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через х0

 производная меняет знак с - на +,  то х0 – точка  минимума функции.  

 Определите промежутки возрастания и убывания нашей функции

          на промежутках  (-∞;2]; [5;+ ∞) функция возрастает,

          на промежутке [2;5] функция убывает.                                          ( слайд 2)

 А как через производную мы определяем, что функция убывает или  возрастает на промежутках

                        признак монотонности функции:

  если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале.

  если f ‘(x) <0 в каждой точке интервала, то функция  убывает на этом интервале.

2

Итак, давайте ещё раз  кратко повторим эти свойства:

 - если производная больше 0,то…..

                         функция возрастает           

  - производная  меньше 0,то…..

                          функция убывает

  - если производная равна нулю или не существует в некоторых точках …

                          то в этих точках возможны точки экстремума

  - если производная меняет знак при переходе через точку с  + на - , то…

                          то это точка максимума

  - а если с - на +, …

                          то это точка минимума.

III Основная часть  - 15 мин.

1). Можно поставить и обратную связь. Закончите  мою мысль

• Если функция возрастает, то производная…..

                      больше 0

• Если функция убывает, то ……..

                      производная меньше 0

• Если функция имеет точку максимума, то ……

                       в этой точке производная равна нулю или не существует

                     и меняет знак с + на -.

• Если функция имеет точку минимума, то……..

                    в этой точке производная равна нулю или не существует

                    и меняет знак с – на +.

• А если график функции имеет точку перегиба ,то…….

                    в этой точке производная равна нулю или не существует,

                   но производная не поменяла свой знак.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

2). Рассмотрим задания, связывающие график функции и свойства производной.

Приготовьте  лист под № 2, задание № 1.         (СЛАЙД –3)

Поработайте в паре, помогите друг другу дойти до самой сути задания.

ПРОВЕРКА через 3 мин.,…ОТВЕТЫ :            (СЛАЙД -3)

      По графику функции у=f(х) укажите:

      1) при каких значениях x производная функции f ‘(x)=0 ;

      2) при каких значениях x производная функции f ‘ (x)<0;

      3) при каких значениях f ‘(x)>0.

3

 3). Учтем тот момент, что производная  сама является функцией, значит, у неё имеется свой график.

      Давайте установим  зависимость поведения графика производной от свойств функции. (слайд – 4)

Приготовьте лист № 1.

Рассмотрим таблицу «Взаимосвязь свойств функции и её производной».

Обратите внимание:

- в первой колонке указано свойство функции,

- во второй колонке – необходимо поставить знак производной,

- далее идёт колонка, где вы должны схематично изобразить поведение графика производной функции.

Давайте первое свойство разберём вместе.

Функция возрастает

           Функция возрастает, значит, производная имеет знак    больше 0

Т.к  производная – это функция, которая больше 0, то где будет расположен  её график на интервале (а;b)?                                       (выше оси Х)    

          Главное, чтобы график был выше оси Х.

Попробуйте сами заполнить дальше таблицу, рассуждая аналогично. Не забудьте  о точках максимума, минимума и точах перегиба графика функции.

           ПРОВЕРКА через 5мин…. ОТВЕТЫ….ПОЧЕМУ?

Ответы – слайды 5,6.

                      Давайте  ещё раз уточним цепочку взаимосвязи

                         график производной  -  свойства функции.  

• Если график производной расположен выше оси Х на интервале, то функция ….                ( возрастает на этом интервале)
• Если график производной расположен ниже оси Х на интервале, то….

                                 (функция убывает на этом интервале)

• Если  график производной пересекает ось Х в точке х0, располагаясь сначала выше, потом ниже оси Х, то х0 для  функции  является…..

                                 (точкой максимума)

• Если  график производной пересекает ось Х в точке х0, располагаясь сначала ниже, потом выше оси Х, то х0 для  функции  является……

                                 (точкой минимума)

•  Если точка х0 лежит на оси Х , график производной проходит через эту точку и расположен выше или ниже оси Х, то для графика функции эта точка будет являтся  …    (точкой перегиба)

                           Наша задача научиться  выполнять различные задания, связанные с этой взаимосвязью.

4

3. Закрепление  (5 мин).

1. Приготовьте  лист  № 2, задание №2                                                   

Функция определена на множестве действительных чисел. На рисунке изображён

график её производной  y=f  ‘ (x).

       1) Сколько точек экстремума имеет функция у=f(x)?

       2) Укажите  точку минимума функции у=f(x)

       3) Исследуйте функцию  y=f(x) на монотонность и укажите количество промежутков, на которых функция возрастает;

       4)Укажите  длину промежутка убывания  функции y=f(x).

ПРОВЕРКА через 5мин…. ОТВЕТЫ….ПОЧЕМУ?

ОТВЕТЫ:    СЛАЙД -7

2. Тест 5 мин

        Давайте проверим, как вы поняли суть взаимосвязи графиков и свойств функции и её производной. Выполним  разноуровневый тест.

        Каждый возьмите  лист № 3, выполняем задания самостоятельно.

ПРОВЕРКА  через 5мин. Быстрая, только ответы. (слайд 9)

VI. Итог урока ( 1 мин).

           Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные задания, связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания хороши тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют решений и вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином Государственном Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы.

         Дома проверьте, как вы разобрались во взаимосвязях графиков функций и производных, решая задания типа В8 на сайте РЕШУЕГЭ.РУ.

Лист  № 1   (теоретический)

Взаимосвязь свойств  функции и графика  её производной

Лист  № 2

1.  По графику функции у=f(х) укажите:

      1) при каких значениях x производная функции f ‘(x)=0 ;

      2) при каких значениях x производная функции f ‘ (x)<0; 

      3) при каких значениях f ‘(x)>0.

2. Функция определена на множестве действительных чисел. На рисунке изображён график её производной  y=f  ‘ (x).

       1) Сколько точек экстремума имеет функция у=f(x)?

       2) Укажите  точку минимума функции у=f(x)

       3) Исследуйте функцию  y=f(x) на монотонность и укажите количество промежутков, на которых функция возрастает;

       4)Укажите  длину промежутка убывания  функции y=f(x).