Методическая разработка

« Организация обучения учащихся

 теме «Проценты».

                                                                               Выполнила Рум Алла

                                                               Валерьевна,  

                                                    учитель математики

                                                                                        МОУ гимназии №2

                                                                                        г. Ярославля.

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3  

Глава I Роль и   место темы «Проценты» в школьном курсе математики.…4

      1.1 Роль  и   место темы   « Проценты » в  школьном  курсе  математики      

       5-6 классов……………………………………………………………………4

      1.2   Роль  и  место   темы  « Проценты »  в  школьном  курсе  математики    

       7-9 классов….……………………………………………………………….10

      1.3   Роль  и  место   темы  « Проценты »  в  школьном  курсе  математики    

       10-11 классов..……………………………………………………………….16

Глава II  Из опыта организации обучения учащихся теме «Проценты…. …19

      2.1 Организация обучения учащихся 5-6 классов теме «Проценты»…… 19

      2.2 Организация обучения учащихся 7-9 классов теме «Проценты»…….30

      2.3 Организация обучения учащихся 10-11 классов теме «Проценты» …51

Заключение……………………………………………………………………...52

Библиографический список………………………………………………......53

Введение

       Значимость знаний, связанных с процентами, очень велика.  В настоящее время понятие «процент» прочно вошло в повседневную жизнь людей через экономическую сторону жизни (ссуда, распродажа, кредит, инфляция, банкротство, рассрочка платежа).

      Но, как ни странно, «освоение процентов» оказывается одним из самых проблемных элементов школьного курса математики. Учащиеся и учителя знают, как мучительно усваивается эта тема. Изучение темы «Проценты» начинается в пятых-шестых классах, но в силу особенностей возраста, учащиеся не получают полного представления  по данной теме, а в седьмых- одиннадцатых классах возвращаться      к теме «Проценты» достаточно часто у учителя нет возможности. Поэтому старшеклассники к числу трудных заданий выпускных экзаменов всегда относят «задачи на проценты».

      Задача учителя математики состоит в том, чтобы постепенно, начиная с 5-6 классов, научить детей осознанию понятия «процент», умению решать сначала простейшие задачи на применение процентов, затем, по мере взросления и более глубокого понимания изучаемого материала, решать сложные задачи.

      В работе « Организация обучения учащихся теме «Проценты» были поставлены следующие задачи:

 - рассмотреть роль и место темы «Проценты» в школьном курсе  математики

     5-11 классов;

 - провести анализ школьных учебников математики разных авторов;

 -обобщить личный опыт в организации обучения учащихся теме «Проценты»;

 -разработать и систематизировать дидактический материал, позволяющий улучшить процесс изучения   учащимися темы «Проценты».

      В первой главе рассмотрены роль и место темы «Проценты» в школьном курсе математики через анализ школьных учебников математики разных авторов.

      Вторая глава посвящена описанию методических приемов обучения учащихся  теме «Проценты», основанных на личном опыте.

Глава I: Роль и место темы «Проценты»

                   в школьном курсе математики. 

1.1 Роль и место темы «Проценты»                                                           в школьном курсе математики 5-6 классов

        Основная задача  курса математики 5-6 классов -                                              «обобщение и развитие на новом материале полученных в начальной школе знаний, умений и навыков, проведение подготовки учащихся к изучению курсов алгебры и геометрии».                                                                                      

       Учитель, работая с учащимися 5-6-ых классов, должен отчетливо представлять место и роль каждой темы в школьном курсе математики, видеть перспективу  развития в дальнейшем.

        В пятом классе начинается систематическое изучение дробей, хотя в соответствии с программой по математике учащиеся получают первичные представления об обыкновенных дробях уже в начальной школе. Десятичные дроби для учащихся не являются так же новыми числами. Они представляют лишь другую запись раннее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. Важным элементом методики изучения дробных чисел является убеждение учащихся в их целесообразности и полезности, так как на их основе формируется представление о «проценте», традиционное изучение которых сосредоточено в рамках 5-6 классов.

     Согласно программе Министерства РФ   учащиеся должны  овладеть следующими знаниями и умениями по теме «Проценты»:

    Анализ содержания темы «Проценты» в учебниках математики свидетельствует, что «разные авторы предлагают различные структуры  в рамках стандарта для основной школы и путей формирования системы знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных величин, продолжения образования, а также развития учащихся».  

• Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков  «Математика-5»  ,  

                    «Математика-6»                                                                          

   Первичное знакомство с темой «Проценты» происходит в 5-м классе в конце учебного года в главе «Инструменты для вычислений и измерений» в пункте 40.Содержание  пункта начинается с определения:

      Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом. Значит, 1 кг - один процент центнера, 1 см – один процент метра, 1 а – один процент гектара, 0,02 – один процент от 2.

    Процентом называют  одну сотую часть.

  Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %.

  Предложение «В поход ушли 1,5 % учащихся нашей школы» читают так: « В поход ушли полтора процента учащихся нашей школы», а предложение «В этом месяце заработная плата выросла на 8%» читают так: «В этом месяце заработная плата выросла на восемь процентов».

  Так как 1%  равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.  

     Полное и постепенное изложение материала позволяет учащимся  осознать новое понятие и новую терминологию, выработать  содержательное понимание смысла «процент».

   Далее в пункте рассматриваются все три типа задач на проценты:

- нахождение процента от числа;

- нахождение числа по его проценту;

- нахождение процентного отношения.

Задача 1: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: Так как 1200 костюмов – это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200 : 100 = 12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12 *32 = 384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача 2. За контрольную работу по математике 12 учеников получили отметку «5», что составляет 30% всех учеников класса. Сколько учеников в классе?

Решение: Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12: 30 = 0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100%, надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4 *100 = 40, то в классе 40 учеников.

Задача 3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение: Картофелем засажено 558/1800 всего поля. Обратим дробь 558/1800в десятичную. Для этого разделим 558 на 1800, получим 0,31.Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 0,31  *100 = 31% всего поля.      

      В рубрике «Упражнения для работы в классе по теме данного пункта» представлено:

   -  семь задач на нахождение  процентов от какой-либо величины (№ 1565-1571),

   - восемь задач на нахождение числа, если известны несколько его процентов (№1572-1579)

   -   шесть задач на нахождение процентного отношения (№1580-1585).

      Учебник устроен так, что в каждом следующем пункте есть материал для повторения, где задач на проценты представлено достаточно, чтобы учащиеся совершенствовали свое умение решать задачи. Всего в учебнике «Математика-5» представлено 53 текстовых задач на «Проценты» и достаточно большое количество упражнений для устного счета.

        В   учебнике «Математика-6» до изучения темы «Проценты» на новом уровне представлен ряд упражнений и задач  на повторение основных типов задач на проценты, изученных в пятом классе (№ 106, 258, 464-468, 479).  В отличие от изложения темы  в учебнике «Математика 5», авторы рассматривают в главе III «Умножение и деление десятичных дробей» типы задач на проценты в разных пунктах учебника, разбирая конкретные задачи.

      В пункте 14 « Нахождение дроби от числа» рассматривается задача на нахождение процента от числа через умножение на десятичную дробь.

  Задача 4 .  Огород занимает 8 га. Картофелем занято 45 % площади этого огорода.

Сколько гектаров занято картофелем?

Решение. Так как 45%=0,45 , то для решения задачи надо умножить8 на 0,45.

Получим 8* 0,45=3,6. Значит, картофелем занято 3,6 га.

      А в пункте 18 «Нахождение числа по его дроби» разбирается задача на нахождение числа по его проценту через деление на десятичную дробь.

 Задача 3. Увеличив производительность труда на 7%, рабочий сделал за этот же        

срок на 98 деталей больше, чем намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был выполнить по плану?

Решение: Так как 7%=0,07, а 98:0,07=1400, то рабочий по плану должен был сделать

1400 деталей.        

      Такой поэтапный подход  позволяет учащимся прочно закрепить навыки  решений задач по теме «Проценты».

      Второй раз авторы  обращаются к изучению  темы «Проценты» в  пункте 22 «Прямая и обратная пропорциональные зависимости», где учащимся предлагается изучить способы решения задач на проценты с помощью пропорции.

 Задача №787. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы?

 Задача № 788. Весной при проведении работ по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

     Всего в учебнике представлено  107 текстовых задач на проценты, которых вполне достаточно, чтобы учащиеся в течение всего учебного года «не забыли» изученный материал и приобрели    достаточно прочный навык решения задач.

• Г.В. Дорофеев,  И.Ф. Шарыгин,  С.Б. Суворова  «Математика 6»

      Авторы отступают от программы и вводят понятие процента в 6 классе, где данная тема рассматривается дважды: в начале учебного года при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями, а затем в середине учебного года после изучения темы «Десятичные дроби». На мой взгляд, в данном случае изучение учащимися темы идет более осмысленно.

      При изучении пункта 4 «Что такое процент» учащиеся впервые знакомятся с данным понятием. Основная цель, по мнению авторов, на данном этапе:

-формирование понимания процента, как специального способа выражения доли величины;

-выработка умения выражать процент соответствующей обыкновенной дробью.

     Через систему упражнений дети учатся:

- употреблению нового термина (№ 81,82);

- переводу задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно (№86-90).

     В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые  в дальнейшем помогают им при изучении темы.

    Когда учащиеся достаточно свободно и осознанно овладевают понятием «процент», организуется переход к задаче на нахождение процента некоторой величины, путем нахождения сначала одного процента величины, а потом - нескольких процентов этой величины.

   Формулировки некоторых задач авторами предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлен не один, а несколько последовательных вопросов.

Задача:  В магазине было 800кг картофеля. Продали 60% картофеля.

        1) Сколько килограммов картофеля продано?

        2) Сколько процентов всего картофеля осталось в магазине?

        3) Сколько  килограммов  картофеля осталось в магазине?

    Специальная серия задач  (№ 121-124) посвящена трудному для учащихся вопросу об увеличении величины на 200%, 300% и т.д. Учащиеся должны понять что, например, увеличение на 100% - это то же самое,  что увеличение в 2 раза, на 200%- в 3 раза.

     Второе знакомство с понятием «процент» происходит при изучении темы «Десятичные дроби». В пункте «Главная задача на проценты» учащиеся учатся находить «процент величины» и «величину по ее проценту» через умножение и деление на десятичную дробь.

Задача № 601: Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12%. Сколько стоит товар в магазине?

1 способ: 12% - это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет: 5500*0,12 = 660 (  руб. ),

 поэтому товар в магазине стоит  5500 + 660 = 6160 ( руб. ).

2 способ: Оптовая цена составляет 100%, а цена  товара в магазине на 12% больше, т.е. она составляет 112%, 112% - это 1,12; 1,12 от 5500 руб. составляет 5500*1,12 = 6160 (руб.).  

     В содержании пункта «Выражение отношений в процентах» главной является задача на определение того, «сколько процентов одна величина составляет от другой». Учащимся предлагается сначала найти, «какую часть одна величина составляет от другой», затем выразить ее при необходимости десятичной дробью и результат перевести в проценты. Также учащимся предлагается ряд задач из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, путем замены данных другими числами, близкими к ним  и удобными для расчетов.  Например, если требуется прикинуть, чему равны 24% от какой-либо величины, то находят 25% этой величины, т.е. четвертую её часть.

.

 № 612 :Выполните прикидку и вычислите примерно:

1. 9% от 1210 кг
2. 52% от 697 руб.
3. 26% от810 м.
4. 21% от 1990руб
5. 9% от 200 г. и т.д.     

    Авторами представлено в учебнике «Математика 6»  116 упражнений и задач по теме «Проценты», что вполне достаточно для осознанного усвоения учащимися содержания данной темы.

• Л. Н. Шеврин,  А.Г. Гейн,  И.О. Коряков «Математика 5»

    Введению понятия «процент» предшествует формирование у учащихся навыков решения задач на «нахождение части от числа» (Урок 47) и «какую часть одно число составляет от другого» (Урок 49). Представления об этих задачах используются при введении понятия «процент» в пункте «Что такое  1 %» (Урок 75), а навыки их решения - при формировании умений решать три вида задач на проценты (Урок 75, Урок 76).                                                                                                                                    

                                                                                                                                                             Сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля – это копейка, сотая часть центнера – килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Поэтому для них было придумано специальное название – процент (от латинского «процентом» - на сто). Значит, 1коп. – это 1 процент от 1 рубля, а 1 см – это 1 процент от 1м. и т.д.

Один процент – это одна сотая доля.

       Затем авторами рассматриваются следующие вопросы:

- запись процентов в виде десятичных дробей;

- нахождение числа процентов от данного числа;

- нахождение сколько процентов одно число составляет от другого;

- нахождение числа по процентам;

- характеристика концентрации раствора.

Как найти 1% от числа? Раз 1% - это одна сотая часть, то надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление числа на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5%, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Вот какое правило получилось: чтобы найти указанное число процентов от данного числа, нужно проценты записать десятичной  дробью, а затем данное число умножить на эту десятичную дробь.

Далее автор знакомит учащихся с образцами  решения задач на проценты и выводит еще два правила:

Задача 2. Токарь за один час вытачивал 40 деталей. Применив резец из сверхпрочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: сначала нужно узнать, сколько процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдём сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Вы знаете, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь 0,25 запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Задача 3. Тракторист вспахал 1,32 кв.км пашни. Это составило 60% всей площади, которую он должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?

Решение: рассуждаем: вся площадь нам неизвестна. Обозначим её буквой х. Мы знаем, что 60% от числа составляют 1,32. заменим проценты десятичной дробью и запишем уравнение х*0,60 = 1,32. Решая его, получим, что х = 1,32:0,6 = 2,2км2).

Можно сформулировать правило

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.  

    В данном учебнике учащимся предлагается определение концентрации раствора.

          Концентрацией раствора называют число, показывающее, какую часть массы раствора составляет растворённое вещество.  Концентрацию обычно записывают в процентах.  Например, если в 100 г раствора йода содержится 5 г йода, то концентрация равна 5%.

       Интерес у  учащихся  вызывает задача исследовательского характера         (№76.12).

     Задача: а) Оля кладет в стакан чая обычно 2 чайные ложки сахара и   считает такой чай сладким. Масса чая в стакане 200 г, а масса сахара в одной ложке 5 г. Какова концентрация сахара в Олином чае? (Ответ округлите до 1%).

                    б)Исследуйте, при какой концентрации сахара вы считаете чай сладким.

   В «Уроке 78» представлен ряд более сложных задач на проценты. Всего в учебнике представлено  34 задачи на проценты.

   Анализ содержания темы «Проценты» в учебниках  5-6 классов разных авторов позволяет сделать вывод, что каждый автор видит изложение материала по-своему, по разному определяет последовательность изучения и объем содержания, но, тем не менее, каждый старается, чтобы его изложение было понятно и доступно всем учащимся. Выбор учебника - право учителя.

1.2 Роль и место темы «Проценты»                                                           в школьном курсе математики 7-9 классов

         Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку.  Однако практика показывает, что очень и очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла понятия «процент». Определенная ответственность за такой уровень «процентной образованности» общества лежит на системе обучения математике в школе. Проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, но в силу особенностей возраста, учащиеся еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. Поэтому представляется необходимым возвращение к теме «Проценты»  на старшей ступени обучения.

      ●  Анализ школьных учебников по алгебре для 7-9 классов показывает, что наиболее полно  тема «Проценты» представлена в учебных комплектах под редакцией Г.В.Дорофеева.

     Авторы вводят понятие процента в курсе 6 класса, где данная тема рассматривается дважды: в начале учебного года при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями, а затем в середине учебного года после изучения темы “Десятичные дроби”. Во втором случае изучение темы идет более осмысленно.

     Третий подход к изучению темы «Проценты» авторами отнесен к 7 классу. В первой главе «Дроби и проценты»    в пункте «Решение задачи на проценты» помещен материал для повторения содержания, изученного по данной теме в шестом классе, а также рассматриваются более сложные задачи, которые требуют достаточно прочных навыков  «представления процентов дробью и наоборот, умения выделять из величин, участвующих в задаче величину, принимаемую за 100%».  Поэтому в начале теоретической части пункта учащимся предлагается повторение   правил, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот. Далее авторы при «решении «трудных» задач на нахождение процентов» предлагают «разобраться, от какой величины берется указанный процент, или, иными словами, какая величина принимается за 100%»

       Задача: Весной цена товара было повышена на 10%, а осенью - еще на 5%. Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000?

Решение: I способ:

1. 3000:100=30 (руб.)- составляет 1%.
2. 30*10=300 (0руб.)- составляет 10%.
3. 3000+300=3300 (руб.)- стоимость товара после первого повышения.
4. 3300:100=33 (руб.)- составляет 1%.
5. 33*5=165 (руб.)- составляет 5%.
6. 3300+165=3465 (руб.)- стоимость товара после второго повышения.

II способ:

1) 3000*1,1=3300 (руб.) - стоимость товара после первого повышения.

2) 3300*1,05=3465 (руб.) - стоимость товара после второго повышения.

     Задачи, предлагаемые учащимся для решения, очень разнообразны. Они не только позволяют выработать необходимые навыки, но и демонстрируют типичные ситуации использования процентов в жизни, широту применения этого понятия.

  Особое внимание заслуживает задача №78, которая включает две задачи: прямую – на нахождение процента от величины и обратную – на нахождение величины по проценту.

Задача № 78: К 1 июля на один факультет университета было подано 120 заявлений.

а) Сколько студентов может быть принято на этот факультет, если число мест составляет 75% от числа поданных заявлений?

б) Сколько мест на факультете, если количество заявлений составляет 75% от числа мест?

         Сравнивая решения, учащиеся  лучше понимают разницу в поставленных задачей вопросах.

  Особый интерес для учащихся представляют  задачи с выбором ответа.

          Задача №82: На весенней распродаже в магазине товар стоимость 350 руб. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В супермаркете такой же товар уценили сначала на 5%, а через неделю на 40%. А на ярмарке такой же товар уценили сразу на 45%. Где выгоднее купить товар?

      А: В магазине.        В: на ярмарке.

      Б: В супермаркете.        Г: разницы в ценах нет.  

       Первую главу завершает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Восемь задач этого раздела имеют гриф «трудные», но их решение желательно   рассмотреть с наиболее сильными учениками. Решение первой из предложенных задач подробно рассмотрено в учебнике.

     Задачи раздела «Задания для самопроверки» могут быть использованы для самостоятельного решения в классе или дома.

       При изучении следующей главы «Прямая и обратная пропорциональность»  учащиеся приобретают новый опыт работы с процентами. В список упражнений включены новые виды задач.

1. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл?
2. На облицовку подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность на 20%?

       В главе «Уравнения» в пункте «Решение задач с помощью уравнений» учащимся предлагается еще семь задач по теме «Проценты»(№500,501,525, 530-533).  

      По мере овладения новыми знаниями из курса алгебры, учащиеся осваивают решение расчетных  задач на проценты с помощью составления уравнений. Так в 8-ом классе в главе I «Алгебраические дроби» в пункте «Решение уравнений и задач» учащиеся знакомятся с решением задач на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» (№ 187-189, 199-207). В учебнике приводятся образцы решения ряда задач, которые могут быть использованы учащимися в качестве опоры при самостоятельном решении задач.

     Задача: Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-ый раствор?

     Решение: Пусть Хг- количество воды, которое надо добавить. Так как исходное количество раствора- 50г, то новое количество раствора- (50+Х)г.

       Количество соли в исходном растворе составляет 8% от 50г, то есть  0,08*50г.

       Количество соли в новом растворе составляет 5% от (50+Х)г, то есть  0,05*(50+Х)г.

       Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Поэтому можно записать равенство:     0,08*50=0,05*(50+Х).

       Решим составленное уравнение. Умножим обе его части на 100.

                             100*0,08*50=100*0,05*(50+Х)

                                          8*50=5*(50+Х)

                                          8*10=50+Х

                                               Х=30

    Ответ: надо добавить 30г воды.                            

         В главе IV  « Системы уравнений» в пункте «Решение задач с помощью систем уравнений»  учащимся предлагается еще ряд задач по теме «Проценты» (№ 630,640-642, 652, 656, 657).

      Завершается линия процентных вычислений в 9-ом классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в содержание главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Авторы учебника не вводят формулы простых и сложных процентов, поэтому учащимся предлагается решать задачи, связанные с простыми и сложными процентами, опираясь не на формулы, а на понимание  смысла задачи.

      Содержание главы «Статистика и вероятность» также опирается на знания учащихся по теме «Проценты» (№744,745)

       Задача: Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех  вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых  он не ответил.  Есть ли у папы основания подозревать  сына во лжи?  

        Решение задач такого типа способствует развитию у школьников таких качеств, как критичность, экономичность.

   Всего в учебниках алгебры  под редакцией   Дорофеева Г.В.    представлено задач на проценты: «Алгебра-7» - 64 задачи,

                                   «Алгебра-8» -23 задачи,

                                   «Алгебра-9» - 11 задач,

 что составляет 14% от общего количества текстовых задач в учебнике.

       Все задачи представлены в отдельных пунктах. Учебники не содержат упражнений и задач для повторения раннее изученного материала, что затрудняет работу учителя по систематическому и регулярному повторению темы «Проценты».

 ●  А.Г. Мордкович  « Алгебра-7»,  «Алгебра-8»,  «Алгебра-9».

      Работая над учебниками, автор понимал, что его главная задача заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством продвижения в предмете, иными словами, приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. В учебниках реализуются следующие принципы: обучение на высоком уровне трудности; прохождение тем программы достаточно быстрым темпом; ведущая роль теоретических знаний; осознание процесса обучения; развитие всех учащихся.

       Учебники Мордковича А.Г. содержат подробный теоретический материал по изучаемым темам. В каждой главе, в каждом пункте ненавязчиво и осторожно выдвигается проблема, которая в дальнейшем решается.

      Комплект учебников для каждого класса состоит из учебника (содержит только теоретический материал) и задачника.

      В 7-ом классе в главе I «Математический язык. Математическая модель» автор знакомит учащихся с тремя этапами решения задач с помощью составления уравнения:

 «- на первом этапе, вводя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, составляется уравнение;

 - на втором этапе, используя знания, это уравнение решается;

 - на третьем этапе используется полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи».

      Далее автор предлагает решить задачи, выделяя три этапа моделирования.

     Задача №313: Задуманное число сначала увеличили на 12%, а затем результат уменьшили на 24%. Полученное при этом число оказалось на 186 меньше задуманного. Найти задуманное число.                                                                                                  

     К данной главе предлагается только одна задача на проценты, решаемая с помощью линейного уравнения. Зато в  задачнике к теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» предложено 36 текстовых задач, 8 из них на проценты.

     В 8-ом классе при изучении темы «Рациональные уравнения как  математические модели реальных ситуаций» учащимся предлагаются задачи на «сплавы и смеси» (№ 934, 935).

      Задача № 934:Сплав золота с серебром , содержащий 80 г золота, сплавили с 100г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20%. Сколько граммов серебра  в сплаве?  

     Две задачи на проценты представлено к теме «Формулы корней квадратного уравнения».

   В курсе алгебры 9-го класса продолжается обучение учащихся решению задач на смеси, сплавы, концентрацию при изучении темы «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций». Из четырех задач на проценты к этой теме – три на сплавы (смеси).

  Задачи на банковские проценты отнесены к теме «Геометрическая прогрессия».

      Задача № 510: Клиент взял в банке кредит в размере 50000 руб. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока/    

   Всего в учебниках алгебры Мордковича А.Г. представлено задач на проценты: «Алгебра-7» - 14 задач,

                   «Алгебра-8» - 14 задач,

                   «Алгебра-9» - 9 задач,

   что составляет 10% от общего количества текстовых задач.

●   Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк,  К.И.Нешков, С.Б.Суворова,                          под редакцией С.А.Теляковского  « Алгебра-7», «Алгебра-8», «Алгебра-9».

      В учебнике «Алгебра-7» отдельных пунктов для изучения темы «Проценты» нет, но уже в первых пунктах в рубрике «Упражнения для повторения»  помещен материал, позволяющий учащимся повторить содержание темы «Проценты»,  изученной в шестом классе через решение задач № 16-20, 44-46, 66, 67, 119. Список предложенных авторами задач и упражнений охватывает все три типа задач на процентные вычисления: нахождение процента от  числа, нахождение числа по его проценту и нахождение процентного отношения.

     Задача № 17(а): Найдите 3% числа 500.

     Задача № 44(а): Найдите число, если известно, что 3% этого числа равны 1,8.

     Задача № 19: Площадь участка поля 80га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько гектаров?

     Задача № 67: В результате рационализаторского поиска удалось сократить число работниц на комбинате. Вместо 1600 их осталось 1200. На сколько процентов сократилось число работниц?  

     В седьмом классе учащиеся продолжают изучение темы «Решение линейных уравнений». В пункте «Решение задач с помощью уравнений»  авторы предлагают учащимся решить только одну «задачу на проценты» (№246), но далее в учебнике в рубрике  «Упражнения для повторения» можно встретить еще  ряд задач (например, №315, 348,768).

       Задача № 246: Двое рабочих изготовили за смену 86 деталей, причем первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?      

       При изучении содержания темы «Решение задач с помощью систем уравнений», авторы предлагают пять задач на проценты, которые решаются с помощью систем уравнений(1185, 1186, 1238, 1240, 1241).

         Задача № 1185: Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна изготовить по плану каждая бригада за месяц?  

     В разделе «Задачи повышенной трудности»  учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Шесть задач этого раздела имеют гриф «трудные», но их целесообразно рассмотреть с сильными учениками.

     В учебнике «Алгебра -8» наблюдается уменьшение количества задач на проценты. В рубрике «Упражнения для повторения» таких задач явно недостаточно, а задачи повышенной сложности на проценты и вовсе отсутствуют. Учащимся предлагается только три задачи на смеси (сплавы).

     Учебник «Алгебра-9» также  содержит очень маленькое количество задач на проценты. В рубрике «Упражнения для повторения» они вовсе отсутствуют.  При изучении темы «Геометрическая прогрессия» учащимся предлагается две задачи на проценты - одна с решением, а другая, на банковские операции, для работы в классе(№401).

      Задача: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находившегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт.ст.

      Решение: Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

    Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде ( в мм рт.ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно      760*(0,8)6.     Произведя вычисления, получим:  

                                                                760*(0,8)6200 (мм рт.ст.)    

     Авторы  предлагаются три задачи на проценты в рубрике «Упражнения для повторения курса VII-IX классов».

      Всего в учебниках алгебры под редакцией С.А.Теляковского  представлено задач на проценты: «Алгебра-7» - 26 задач,

                                                          «Алгебра-8» -8 задач,

                                                          «Алгебра-9» - 5 задач,

 что составляет 10% от общего количества текстовых задач.

      Все рассмотренные учебники алгебры для 7-9 классов построены по одному принципу: сначала вводится теоретический материал, а затем он подкрепляется задачным материалом. Наибольшее количество текстовых задач по теме «Проценты» приходится на такие темы, как «Решение задач с помощью линейных уравнений», « Решение задач с помощью рациональных уравнений»,  «Решение задач с помощью квадратных уравнений», « Решение задач с помощью систем уравнений», «Прогрессии», но все задачи неравномерно распределены по учебникам, нет никакой системности изучения и повторения. Поэтому учитель, подбирая на урок текстовые задачи на процентные вычисления, кроме основного учебника, должен использовать дополнительный дидактический материал, а также те учебники, которые содержат эти задачи в наибольшем количестве (см. Прилож.4).

1.3 Роль и место темы «Проценты»                                                           в школьном курсе математики 10-11 классов

       В десятом классе учащиеся начинают изучать новый предмет - алгебра и начала анализа. Слово «алгебра» в его названии указывает на то, что с некоторой частью курса учащиеся уже знакомы. Наряду с решением уже знакомых задач, область применения алгебры значительно расширяется. Принципиально новая часть курса посвящена изучению начала анализа (производная, первообразная, интеграл, метод поиска максимумов и минимумов функции). Содержание тем курса алгебры и начала анализа за десятый-одиннадцатый классы практически не позволяет использование при организации обучения учащихся задачи на процентные вычисления. Анализ школьных учебников за 10-11 класс показал:

     - отсутствие отдельных пунктов для изучения темы «Проценты»;

     - очень малое количество задачного материала.

   ●  В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией А.Н.Колмогорова содержится семь задач по теме «Проценты» в главе V «Задачи на повторение».

     Задачу №21 целесообразно использовать для повторения трех типов задач на «Проценты».

      Задача: Найдите число х, если: а) х составляет 2,5% от 320;

                                                            б) 2,5% числа х равны 75;

                                                            в) х равен числу процентов, которое

                                                                составляет 2,8 от 84;

                                                            г) х составляет 140% от 35.      

   Авторы предлагают три задачи из семи на «смеси, сплавы и концентрацию».

       Задача №205: Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второйкусок-4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

       Задача №206: К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?

       Задача №213: Вычислите массу  и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84%-ной массовой долей серебра.                                                        

 ●  В учебниках «Алгебра и математический анализ,10» и «Алгебра и математический анализ,11» под редакцией Н.Я.Виленкина представлено также семь задач на процентные вычисления ( две и три соответственно).

   Интерес у учащихся представляют задачи представленные авторами в учебнике «Алгебра и математический анализ,11» в главе XII «Элементы теории вероятностей».

      Задача № 568: Поступающие в магазин часы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 40% продукции, рторой-45%, третий-15%. В продукции первого завода 80% часов спешат, второго завода 70% часов спешат, третьего-90% часов спешат. Какова вероятность того, что купленные наудачу часы спешат?

    Задача №569: Детали на сборку попадают из трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй- 0,2% брака, третий-0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если из первого автомата поступило 1000 деталей, из второго-2000 и из третьего-2500.    

   ●   М.И.Башмаков в своем учебнике «Алгебра и начала анализа,10-11» представил к рассмотрению только две задачи и обе в главе V «Интеграл и его применение».

        Задача № 26: Период полураспада радиоактивного вещества равен 4,4*109 лет. Через сколько лет останется 99,99% исходного вещества радиоактивного вещества?

         Задача №27:Каким должен быть среднегодовой рост производства, чтобы за 10 лет объем производства удвоился?  

      ●  В учебнике  А.Г.Мордковича  «Алгебра и начала анализа,10-11»   задачи на процентные вычисления отсутствуют.  

     Поскольку в школьных учебниках алгебры и начала анализа практически полностью отсутствует  задачный  материал по  теме «Проценты», то учитель математики кроме основного учебника, должен использовать дополнительный дидактический материал, а также те учебники, которые содержат эти задачи в наибольшем количестве.

Глава II:  Из опыта организации обучения учащихся

теме «Проценты»

2.1 Организация обучения учащихся 5-6 классов теме «Проценты»

      Одной из актуальных проблем методики преподавания математики     является реализация преемственности в обучении между пропедевтическими и  систематическими   курсами,  в  частности,  между  курсами  арифметики и

алгебры.

    Линейно-концентрическое    построение     курса    математики    позволяет

 систематически возвращаться к материалу, составляющему основу фундаментальных разделов.

      В Российской педагогической энциклопедии читаем: «Концентризм в обучении - это принцип построения изучения наук, характеризующийся тем, что часть учебного материала повторно, но с разной степенью углубления, изучается на нескольких ступенях обучения».

      В практике своей работы мною используется концентрическая форма обучения при изучении учащимися темы «Проценты». Такой подход дает хорошие результаты обученности учащихся, формирует устойчивые знания, умения и навыки определять вид задач и методы их решения, развивает математическое мышление учащихся, память, внимание, представления о взаимосвязи учебного процесса.

      Учебники «Математика 5»и «Математика 6» под редакцией Н.Я.Вилен-кина, по которым я работаю последние годы, предполагают первичное знакомство с понятием «процент» в конце курса пятого класса и более глубокое в шестом классе. Далее в учебниках задачи на проценты встречаются редко и только в рамках повторения, поэтому выпускники школ относят эти задачи к группе «риска».

      Мною был проведен эксперимент: учащимся 6-х и 11-х классов была предложена задача: «Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?»  Анализ показал, что ученики шестых классов (88%) справились с задачей лучше, а среди 52 старшеклассников ее решили только 12, что составляет  23%.

       Все эти факты побудили меня пересмотреть методику обучения учащихся теме «Проценты». Суть моего метода состоит в том, что с учащимися пятых классов изучение темы «Проценты» я начинаю досрочно, за полгода до момента введения понятия «процент», предусмотренного Программой общеобразовательных учреждений.

       ● Изучая содержание тем главы II «Дробные числа» , учащиеся  пятых классов знакомятся с понятием «числитель» и «знаменатель» дроби. С учащимися необходимо рассмотреть следующие задачи:

    1) Какая часть фигуры закрашена:

2) Закрасьте 4/5         фигуры:        

        3/5      фигуры:

     Эти упражнения позволяют подготовить учащихся к введению нового понятия «Процент» как 1/100 от числа.

     Ознакомление учащихся с новым понятием может быть организовано следующим образом:

   Фрагмент урока:

 На доске записаны дроби:

       Учитель:  Как называются эти дроби?

       Ученик: 1/2-половина;

                     1/3-треть;

                    1/4-четверть.        

( Далее у ученика возникают затруднения, так как он не знает, как называется дробь 1/100).

       Учитель:      Вы столкнулись с проблемой?

                          Большую роль в нашей жизни играет 1/100 числа или любой

        величины. Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть

        метра - сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой.

        Принято называть одну сотую часть числа - процентом. Для слова

        « процент»  в математике есть специальный знак  %.

(Учитель прописывает на доске слово «процент», а также следующую запись, которую учащиеся записывают в тетрадь).

        Учитель: Слово “процент” произошло от латинского названия “ на сто”.

         поэтому, чтобы «найти один процент от величины, нужно ее

         разделить на сто». Давайте проговорим это определение и закрепим

                         полученные знания, выполнив следующие задания.

                                 1) Продолжим предложения:

                Одна копейка - это ..................................... (один процент от рубля);        

                   Один сантиметр - это............................... (один процент от метра);

                   Один ар -это.................................................(один процент от гектара).

                                2) Найдите и покажите:

                      (На каждой ученической  парте лежат заготовленные заранее портные сантиметры ,учебники и ученические линейки).  

                             1% от 1м                                    (на портном сантиметре)

        1% от 1дм2                                 (на обложке учебника)

        1% от 1 дм                                (с помощью настольной линейки)

    Замечание: учитель следит за математической  грамотностью учащихся.

      Учителю важно четко провести идею, что «процент-это та же часть числа, только записанная по-другому и ей всегда можно вернуть «первичный вид».

    Далее целесообразно рассмотреть с учащимися способы решения следующих задач:

1) Перевести обыкновенные дроби   5/100;  17/100;  85/100  в проценты.

2) Перевести проценты  25%;  68%;  89%  в обыкновенные дроби.

       Первый ученик:  Так как 1/100=1%, то легко заметить, что 5/100=5%, тогда

                    17/100=17%,   85/100=85%.

        Второй ученик:  Так как 1%=1/100, то 25%=25/100, 68%=68/100,

                     89%=89/100/

    В последствии, изучив с учащимися алгоритмы решения трех видов задач на дроби (нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби, какую дробь составляет одно число от другого), можно  осуществить переход к рассмотрению задач на проценты по следующему плану:

  1) Подготовка к восприятию.

 а) Учащимся предлагается рассмотреть две задачи:

 Решение первой задачи: 900:5*1=180(км/ч) - скорость электровоза.

 Решение второй задачи: 180:1*5=900(км/ч) - скорость самолета.

Получившиеся ответы являются своего рода  проверкой решения задач.

 б) Далее учащимся предлагается рассмотреть еще две задачи, которые позволяют создать проблемную ситуацию.

 2) Восприятие.

 Чтобы ответить на вопрос первой задачи, учащиеся должны выполнить последовательно следующие действия:

  -первый шаг - выражаем проценты обыкновенной дробью (80%=80/100) и тем самым сводим задачу к уже известной - нахождение части от числа;

  -второй шаг - находим часть от числа (15000:100*80=12000).

 Чтобы ответить на вопрос второй задачи, учащиеся выполняют следующие действия:

 -первый шаг -  переводим проценты в обыкновенную дробь (80%=80/100) и тем самым получаем задачу на нахождение числа по его проценту;

 -второй шаг - находим число по его проценту (12000:80*100=15000).

    3) Осознание, осмысление, закрепление проходит через решение учащимися следующих задач:

Задача 1: Найти:  1% от 800.

        Решение:  1%=1/100

        800:100*1=8

                Ответ: 1% от 800-это 8.

  Задача 2:   Найти 17% от 800.

        Решение: 1%=1/100

        17%=17/100

        800:  100*17=136

        Ответ: 17% от 800- это 136.

  Задача 3: Найдите число, один процент которого равен 4.

        Решение: 1=1/100

        4 : 1 * 100=400

        Ответ: число 400- это число, 1% которого равен 4.

  Задача 4: Найдите число, 3% которого равны 18.

        Решение: 3%=3/100

        18:  3 * 100=600

        Ответ: число 600- это число, 3% которого равен 18.

  Задача 5: В школе 1000 учащихся. Из них 58% -девочки. Сколько в школе обучается девочек?

                     Решение: 58%=58/100

                                     1000:100*58=580 (дев.)

                    Ответ: в школе обучается 580 девочек.

  Задача 6: Ученик прочитал 60 страниц, что составляет 15% числа всех  страниц в книге. Сколько страниц в книге?

                      Решение: 15%=15/100

                           60:15*100=400(стр.)

                     Ответ: в книге 400 страниц.

     В   заключении   вместе  с учащимися   создается  «опорный»    конспект, в

котором   отображены   типы  задач  на   проценты   и   методы   их    решения

(см. табл.1,2)

                  Таблица №1                                Таблица №2

   Такое изменение материала позволяет досрочно ознакомить учащихся с понятием «Процент», но предварительное введение темы «Проценты» связано с определенными трудностями, так как в учебнике не содержится  необходимый задачный материал. (Но мною накоплен дидактический материал, позволяющий преодолеть данную методическую проблему).

    Особый интерес вызывают у учащихся задачи практического характера:

Замечание:  Числа в задачах подбираются так, чтобы все “делилось” и “умножалось”.

    Далее на простых примерах, на уровне представления, с учащимися рассматривается вопрос  «Сколько процентов одно число составляет от другого?»
Задача: Сколько  процентов составляет число 6 от числа 200?

  Образец объяснения и решения:

        Узнаем, сколько единиц от 200 приходится на 1/100:

        200 : 100*  1 =2.

        Так как 1%=1/100,  следовательно, 2 единицы составляют 1% от   200, тогда 6  *2 =3.

   Ответ: число 6 составляет 3% от числа 200.

    Для закрепления с учащимися желательно  рассмотреть алгоритм решения следующих задач:

        1) Сколько процентов составляет число 108 от числа 3600?

        2) Сколько процентов от числа 9400 составляет число 940?

        3) Как в процентном отношении измеряется скорость мухи и скорость ворона от скорости стрижа, если скорость мухи 25км/ч, скорость ворона 50 км/ч, а скорость стрижа 100 км/ч?

     Позже при изучении темы «Сравнение дробей» [1], целесообразно включить задания на «сравнение процентов».

    Задача:  Сравнить 40% и 42%.

  Образец объяснения и решения:

        40%=40/100

                      42%=42/100

Так как 40/100 < 42/100, следовательно, 40% < 42%.

    А в теме «Правильные и неправильные дроби» [1] внимание учащихся

обращается на то, что любой процент меньше 100 представляет собой правильную дробь, а процент больше 100 - неправильную дробь.

    Следующая возможность у учащихся « вспомнить  проценты»  появляется при изучении темы « Десятичные дроби» [1].

       Фрагмент урока:

                  Задача: Переведите проценты в обыкновенную дробь:

        1%,  2%,  45%, 89%.

        Переведите обыкновенные дроби в десятичные дроби:

        1/100,   2/100,   45/100,   89/100.

  Ученики делают вывод; так как  1%=1/100, а 1/100=0,01, то  

1%=0,01

   Аналогично ученики доказывают, что 2%=0,02,  45%=0,45,  89%=0,89.

    Достаточно определить 1% как 1/100 или 0,01 часть числа и далее можно работать с процентом как в виде десятичной дробь , так и в виде обыкновенной.

   Для того, чтобы закрепить, заполняем с учащимися таблицу:

 На последних уроках, исходя из подготовленности класса, можно обратить внимание учащихся на задачи, где часть выражена десятичной дробью.  Целесообразно предложить учащимся следующие задания:

        1)  Найти 0,4 от 300.

        Решение:

        0,4=4/10

        300:  10 * 4=120

        Ответ: 120 есть 0,4 от 120.

        2) Найти число, 0,8 которого составляет число 200.

        Решение:

        0,8=8/10

        200: 8 * 10=250

        Ответ:250-есть число, 0,8 которого составляет 200

   Подобные задачи можно предложить учащимся в другой формулировке.

        Задача:   Перевести десятичную дробь 0,4 в процент и найти,  

        сколько этот процент составляет от числа 300.

        Решение:

        0,4=0,40=40/100=40%

        300 : 100 * 40=120

        Ответ: число 120 составляет 0,4 или 40% от числа 300.

В результате накопленных знаний и умений учащимися по теме «Проценты», первоначальный опорный конспект (См. табл.№1,2) несколько изменяется (См. табл.№3,4).

Таблица № 3

Таблица №4:

Особое внимание   уделяется созданию нового опорного конспекта    (См.табл. № 5)

Таблица №5:

    Таким образом, к моменту изучения пункта 40 «Проценты» [1], мои  учащиеся уже владеют алгоритмами решения типовых задач на проценты. Теперь остается только закрепить навыки при решении различных по тематике и уровню сложности задач. Многократное повторение алгоритмов

решения всех типов задач развивает логику, формирует умения решать задачи, узнавать их типы.

    В гимназию № 2 г. Ярославля, где я работаю, пятиклассники поступают с достаточно высокой степенью подготовленности, с высоким уровнем восприятия новых знаний. Этот факт, а также выбранная мною концентрическая форма обучения этой темы, позволяют мне во время отведенных по программе пяти часов рассмотреть с учащимися ряд более сложных задач.

        Задача №1: Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

        Решение:

   «Концентрацией раствора называют число, показывающее, какую часть массы раствора составляет растворённое вещество.  Концентрацию обычно записывают в процентах.  Например, если в 100 г раствора йода содержится 5 г йода, то концентрация равна 5%».

     I способ:  Вместе с учащимися создаем наглядную иллюстрацию текста задачи:

                1) 40: 100 *18=7,2 (кг) - масса сахара в исходном растворе.

                2)    7,2кг - содержание сахара в 15%  растворе.

                      7,2: 15  *100=48 (кг) - масса 15% раствора.

               3) 48-40=8 (кг) - нужно добавить воды.

               Ответ: нужно добавить 8 кг воды.

   II способ: Содержание сахара в новом растворе в 18/12=1,2  раза меньше, чем в исходном. Следовательно, масса нового раствора должна быть больше в 1,2 раза, то есть 40 * 1,2=48(кг).

Масса добавленной воды равна 48-40=8(кг).

   III способ: Данную задачу можно решить также алгебраическим способом, поэтому я возвращаюсь к  данной задаче   в шестом классе после изучения темы  «Подобные слагаемые» , «Решение уравнений»  .

   Задача №2: Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

      Решение: Данный тип задач вызывает затруднения у многих учащихся,  поэтому я не требую «стопроцентного» усвоения.

Наглядная иллюстрация текста задачи помогает учащимся  быстрее найти решение:

1) 100-12=88(%) - содержание сухого вещества.

2) 2,5:100*  88=2,2 (кг) - масса сухого вещества.

3)2,2:22 * 100=10(%) - содержится сухого вещества в свежих грибах

4) 100-10=90(%) -  воды в свежих грибах.

Ответ: в свежих грибах содержится 90 % воды.

   Задача № 3: Имеется творог двух сортов. Жирный творог содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога.

  Решение: Иллюстрацию к тексту задачи создаем вместе с учащимися.

1) 2: 100 * 20=0,4 (кг)- масса жира в жирном твороге.

2) 3: 100*  5=0,15 (кг)- масса жира в нежирном твороге.

3) 0,4+0,15=0,55 (кг)- общая масса жира.

4) 2+3=5 (кг)- общая масса жира.

5)0,55:  5 * 100=11 (%) –процент жирности.

Ответ: получившийся творог имеет 11% жирности.

    ●  Вначале курса шестого класса, во время обобщающего повторения, мы с учащимися повторяем опорный конспект, типы и методы решения задач на проценты.

        Выполнение задач для повторения  №134, 258, 404, 464-468, а также постоянное включение в устную работу задач на проценты развивает у учащихся логику, помогает формированию умения решать задачи, узнавать их типы, подбирать методы решения.

      Большой интерес, а иногда и затруднения, вызывают у учащихся задачи следующего типа:

     1) Какую часть числа составляют

    50%, 100%, 75%, 10%?

     2) Записать в виде десятичной дроби:

     1/2 % ,  1/4 % , 1/8% ,  1/25% .

    3) Найти, сколько единиц составляют:

     1/2  % от 400,  1/4 %  от  400.

4) Записать в виде обыкновенной дроби:

     1/2 % ,  1/4 % , 1/8% ,  1/25% .

    Систематическое повторение ранее пройденного материала помогает учащимся подойти к дальнейшему изучению темы «Проценты» достаточно подготовленными.

    В учебнике данных авторов [2]  изучение темы  «Проценты» включено в пункт 14  «Нахождение дроби от числа» и в пункт 18  «Нахождение числа по его дроби».  Учащимся предлагается рассмотреть другие способы решения процентных задач.

    Понятие о проценте, типы и способы решения задач на проценты вытекают из объяснительного материала  следующим образом:

Задача 4(пункт 14) .  Огород занимает 8 га. Картофелем занято 45 % площади этого огорода. Сколько гектаров занято картофелем?

Решение: Так как 45%=0,45, то для решения задачи надо умножить 8 на   0,45. Получим 8 * 0,45=3,6. Значит, картофелем занято 3,6га.        

Задача 3 (пункт 18).Увеличив производительность труда на 7%, рабочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был сделать по плану?

Решение: Так как 7%=0,07, а 98: 0,07=1400, то рабочий по плану должен был сделать 1400 деталей.

   Изучив с учащимися решения задач на проценты через умножение и деление  на десятичную дробь, учащиеся возвращаются к опорному конспекту  «Проценты», несколько изменив его. (См. табл.6)

                        Таблица №6:

Старый опорный конспект:         Новый опорный конспект:

     Учащимся предоставляется возможность через рефлексию увидеть динамику своих знаний, сравнить рациональность старых и новых  способов вычислений при решении задач.

     Далее в пункте 22 шестиклассники знакомятся с совершенно новым  методом в решении задач на проценты - методом «отношений или пропорций».

     Этот метод широко используется учителями физики и химии при решении задач по своему предмету, поэтому необходимо довести применение метода до сознательного понимания  учащимися. В результате у учащихся появляется новый опорный  конспект «Пропорции и проценты» (см. табл.7).

Таблица №7

    Данный опорный конспект помогает продемонстрировать учащимся общность математических методов и приемов, показать взаимосвязь различных школьных курсов. Конспект можно использовать на протяжении всех лет обучения на всех предметах.

    В учебнике [2] не содержится объяснений решения и оформления  задач на проценты через пропорцию, поэтому очень важно обратить внамание учащихся, что «в правом верхнем углу всегда 100% и в схеме проценты записываются под процентами».[45]         

Задача: Коровье молоко содержит 4% жира. Сколько жира

        Содержится в 368 кг молока ?

        Решение:

        368 кг   -   100 %

         x  кг     -     4 %

        Отношение процентов равно отношению

            соответствующих значений массы.

        368/x = 100/4        

        368:x =100:4

        x=368 * 4: 100=14,72 (кг)-содержится жира

        Ответ: в 368 кг молока содержится 14,72 кг молока.

     В качестве устной работы можно предложить учащимся составить и решить обратные задачи по схемам:

                   Задача №1:       368  кг    -   100 %

                                                  14,72 кг    -    x %

                                                 Найти х.

                       Задача  №2:          y   кг    -   100 %

                                                 14,72 кг    -     4 %

                                               Найти у.

       Особое внимание решению задач мною уделяется  в период изучения тем

 «Подобные слагаемые» и  «Решение уравнений», так как появляется возмож-

ность  рассмотреть еще один способ (алгебраический) решения задач данного типа.

      На одном из уроков мы возвращаемся к задаче, рассматриваемой в пятом классе, и решаем ее с помощью уравнения.

      Фрагмент урока.

   Учитель: Ребята, в пятом классе мы решали следующую задачу:

    Давайте вспомним решение:

                1) 40: 100 *18=7,2 (кг) - масса сахара в исходном растворе.

                2)    7,2кг - содержание сахара в 15%  растворе.

                      7,2: 15  *100=48 (кг) - масса 15% раствора.

               3) 48-40=8 (кг) - нужно добавить воды.

               Ответ: нужно добавить 8 кг воды.

  А теперь рассмотрим решение задачи с помощью уравнения.

        Пусть Х кг- количество воды, которое надо добавить. Так как исходное количество сиропа 40 кг, то новое количество сиропа- (40+Х) кг.

       Количество сахара в исходном сиропе  составляет 18% от 40 кг, то есть  0,18*40 кг.

       Количество сахара в новом растворе составляет 15% от (40+Х) кг, то есть  0,15*(40+Х)г.

       Так как количество сахара от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Поэтому можно записать равенство:     0,18*40=0,15*(40+Х).

       Решим составленное уравнение

        0,15*(40+x) =  7,2

        6 + 0,15*x = 7,2

        0,15*x =1,2

        x =8

Ответ: нужно добавить 8 кг воды.

      Учащимся предоставляется возможность выбрать для себя более понятный способ решения задач.

     В дальнейшем, до конца учебного года, мною систематически  предлагаются учащимся  различные упражнения и задачи для повторения и закрепления пройденного материала по теме «Проценты».

     Выбранная мною концентрическая форма обучения учащихся теме «Проценты» в пятых - шестых классах показала, что учащиеся к концу шестого класса достаточно прочно владеют понятием «процент», легко применяют полученные знания, умения и навыки при решении трех типов «задач на проценты». Анализ проверочных и контрольных работ учащихся убеждает меня, что выбранная мною форма обучения учащихся теме «Проценты» удачна.

2.2 Организация обучения учащихся 7-9 классов теме «Проценты»

          Задачи на проценты традиционно представляют трудность, как для учащихся, так и для учителей. Причин этому несколько.

   - Проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, их роли в повседневной жизни. В результате школьники получают лишь поверхностные и примитивные знания.

  -  Возвращаться к процентам достаточно часто у учителя нет возможности.

  - Отсутствие мотивации у школьников.   Ученики на уроках математики сегодня упражняются в решении «текстовых задач на проценты» с надуманными и малоосмысленными ситуациями - вроде той, когда «пешеход на 23% увеличил свою скорость на второй половине пути по сравнению с первой». Но если попросить учащихся объяснить смысл фразы «Инфляция за год составила 4%», то связный ответ прозвучит очень редко. Практика доказывает, что интерес учащихся к задаче зависит от ее сюжета – чем он ближе к реальной жизни, тем интерес выше.

  - Отсутствие в школьных учебниках достаточного методического материала по теме «Проценты».

     Все эти причины приводят к тому, что проценты «мстят» на выпускных и вступительных экзаменах. Поэтому в практике своей работы мною используется концентрическая форма обучения учащихся теме «Проценты» на протяжении всего школьного курса математики. Считаю необходимым не просто возвращение к теме «Проценты» в старшей школе, а систематическое, регулярное повторение и закрепление знаний, умений и навыков по данной теме, а также постоянное  развитие интереса школьников к предмету через демонстрацию взаимосвязи математики с разными областями повседневной жизни.

        При изучении курса алгебры в 7-9 классах теме «Проценты» необходимо уделять особое внимание, так как процентные вычисления широко представлены в новой форме государственной (итоговой) аттестации и в повседневной жизни. Учитель по - возможности должен чаще включать задачи на проценты в устную работу, в работу на повторение раннее изученного материала, в работу при изучении нового материала.

        Комплект учебников для 7-9 классов под редакцией С.А. Теляковского , по которым я работаю, содержит достаточно мало задач по теме «Проценты», поэтому на практике мною используются различные сборники задач.[см.библ.спис.]  

    ●  В начале курса седьмого класса, во время обобщающего повторения, учащиеся повторяют опорный конспект «Проценты», типы и методы решения задач на проценты. Выполнение упражнений для повторения №16-20, 44-46, а также постоянное включение в устную работу задач на проценты помогает формированию умения решать задачи, узнавать их типы, подбирать методы решения.

     Задания для устной работы:

    1) Представьте в виде десятичной дроби:

     а) 80%; б) 0,2%; в) 1256%.

    2) Представьте в виде процентов:

    а) 0,225; б) 0,0024; в) 35;  1400.

    3) Найдите:

    а) 6% от 600; б) 17% от 170; в) 120% от 2;

   4) Найдите число, если:

    а) 7% этого числа равны 84;

   б)350% этого числа равны 7.

   5) Сколько процентов составляет:

   а) число 31,2 от 62,4;

   б) число 62,4 от 31

   7) Записать в виде десятичной дроби:

     а) 1/2 % , б) 1/8% .

   8) Найти, сколько единиц составляют:

     а)1/2  % от 400, б)  1/4 %  от  200.

   9) Записать в виде обыкновенной дроби:

     а)1/2 % ,б)  1/4 % .

     Далее при организации деятельности учащихся, в зависимости от их уровня обучаемости и сложности решаемых задач, мною используются такие виды деятельности:

  - фронтальная форма работы, когда выполнение заданий происходит с сопоставлением каждого действия с записанными правилами в опорном конспекте;

  - комментирование действий вслух, когда ученики решают и обосновывают каждый свой шаг;

  - работу в парах, когда ученики объясняют решение друг другу;

  - индивидуальная работа.

      В первой четверти учащиеся продолжают изучение темы «Линейные уравнения», с которой впервые познакомились в шестом классе. Данная тема позволяет значительно расширить спектр задач на проценты. Но так как в учебнике не содержится задачного материала, мною предлагается учащимся  свой список задач для решения в классе и дома.

      Задача 1: Два завода вместе за один год получили  432,9 млн.руб. прибыль, причем второй завод получил 85% того, что получил первый. Какова прибыль каждого завода?

        Решение:

   Пусть х- прибыль первого завода, тогда 0,85х- прибыль второго завода.

              х + 0,85х = 432,9

              х = 234(руб.) – прибыль первого завода

             0,85 * 234 = 198,9(руб.) – прибыль второго завода.

Ответ: 234 руб., 198, 9 руб.

      Задача 2: Сумма подписки на газету больше суммы подписки на журнал на 182,4 руб, причем первая сумма составила 160% от второй суммы. Какова стоимость подписки на газету и журнал в отдельности?

   Ответ: стоимость подписки на журнал -304руб., на газету-486,4руб.

     Задача 3: В треугольнике один из углов на 20% больше второго, а третий на 44 меньше второго. Найдите углы треугольника.

   Ответ: 84, 70, 26.

     Задача 4: Три человека в течение дня пользовались мобильной связью одного оператора. Первый звонил вечером, второй днем по увеличенному на 50% тарифу  и третий в ночное время со скидкой в 75%. Все они говорили по пять минут. Телефонная станция прислала общий счет на 66 руб. Сколько должен заплатить каждый?

   Ответ: 24, 36, 6.

    Опыт работы показывает, что целесообразно при изучении темы «Линейные уравнения» ознакомить учащихся с приемами решения   задач на «смеси, растворы и сплавы», которые имеют большую практическую направленность и реализуют межпредметные связи. Прежде, чем ознакомить учащихся с приемами решения этих задач, необходимо провести с учащимися беседу.

   Учитель: Когда мы пьем чай, то кладем в чашку сахару столько, чтобы не пересластить, то есть создаем нужную нам концентрацию, а если пересластим, то добавляем воды, то есть, изменяем концентрацию. Летом мы ходим за грибами, затем

их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них останется воды, при этом масса сухого вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази,  микстуры, настойки с определенной концентрацией лекарственных веществ.

    Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Процентным содержанием чистого вещества(концентрацией) в смеси называют его долю, выраженную процентным отношением. Рассчитать концентрацию смесей (сплавов)  можно по формуле: n=mb+mp

        n- концентрация;

                                                     mb- масса вещества в растворе (сплаве);

                                                     mp – масса всего раствора (сплава).  

       Уже в 6-ом классе мною предпринимаются попытки обучения учащихся решению задач на смеси (сплавы) арифметическим способом, но опыт показывает, что в силу психолого-возрастных особенностей учащихся лучшее усвоение   данной темы происходит, начиная с 7-ого класса, с использованием алгебраического способа решения задач.

      При ознакомлении с приемами решения задач, необходимо приучить учеников с первой задачи записывать условие  в виде таблицы, так как опыт работы свидетельствует, что  использование таблицы позволяет улучшить знания, умения и навыки при решении задач на «смеси, растворы, сплавы». Важно обратить внимание учащихся на формулировки в верхней строке:

                    -доля основного вещества:

                    -общая масса смеси;

                    -масса основного вещества.

     Задача 1: Какую массу воды надо добавить к водному раствору соды массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?

 Решение: Пусть надо добавить х кг воды.

  Заполним таблицу по условию задачи:

  Так как масса соды (основного вещества) не изменилась, то составим уравнение:            0,03 * ( 90 + х )= 4,5

        х = 60 (кг) – нужно добавить воды.

     Ответ: 60кг.

     Задача 2:  В 5%-й раствор соли добавили 55г соли и получили 10%-й раствор .  Сколько граммов 5%-го раствора было?

  Решение: Пусть было х г   5%-го раствора.

                 Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим уравнение:  0,05 * х + 55 = 0,1 * ( х + 55 )

        х = 990 ( г ) – было 5%-го раствора.

                Ответ: 990г.

     Задача 3: Сколько килограммов 5%-го раствора кислоты надо добавить к 15кг  10%-го раствора той же кислоты, чтобы получить 8%-ый раствор?

    Решение: Пусть надо добавить х кг  5%-го раствора.

        Заполним таблицу по условию задачи:

   Составим и решим уравнение:  0,1*15 + 0,05*х = 0,08*(15+х)

        Х=10 (кг)- нужно добавить 5%-го раствора.

                     Ответ: 10кг.

     Задача 4: Имеется руда из двух пластов с содержанием меди  6%  и  11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20т руды с содержанием меди 8%?

    Решение: Пусть взяли х т «бедной» руды.

           Заполним таблицу    по условию задачи:

 Составим и решим уравнение:   0,06*х + 0,11*(20-х) =1,6

        х=12 (т)- нужно взять «бедной» руды.

            Ответ: 12т.

      Следующая возможность вернуться к  теме «Проценты» предоставляется при изучении темы «Линейная функция». Учащиеся могут ознакомиться с еще одним способом проведения процентных расчетов – графическим, а также узнать, что такое «пеня», «простой процентный рост».

    Работа учителя с учениками происходит в виде лекции, беседы или демонстрации презентации.

  Учитель: Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т.п., то на него может налагаться штраф, который называется «пеня».

          Пусть S-ежемесячный платеж;

                     р%-пеня за каждый день просрочки уплаты;

                     n-число просроченных дней;

                     Sn- сумма, которую должен заплатить человек после n дней

                            просрочки.

           Тогда S*p*n/100 –пеня за n дней просрочки от суммы S.                      

                 S+ S*p*n/100 –придется всего заплатить.

 Таким образом  Sn=S (1+p*n/100)

 Данная формула называется формулой простого процентного роста.

Задача:  Сколько надо заплатить, если платеж на сумму 5000 руб. просрочен, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой а) на 5 дней; б) на 4 месяца.                                                                                                                                                                              

Решение:

а) ( 1+1*5/100)*5000=5250 (руб.)

б) ( 1+1*30*4/100)*5000=11000 (руб.)

Формула простого процентного роста используется также при начислении простых банковских процентов.

Задача: На банковский счет положили 300 тыс. руб. под 10% годовых от первоначальной суммы. Какова будет сумма на счете через пять лет?

Решение: I способ:

               1)300*0,1=30 (тыс. сруб.)-увеличение вклада за один год.

               2)30*5=150 (тыс.руб.)-увеличение вклада за пять лет.

               3)300+150=450 (тыс.руб.)-сумма на счете через пять лет.

               II способ:

      Воспользуемся формулой простого процентного роста:

              300( 1+5*10/100)=450 (тыс.руб.)

Формула простого процентного роста показывает зависимость величины Sn от n, и если представить ее в виде  Sn=S*p*n/100+S, то можно заметить, что Sn является линейной функцией от n. Если к некоторой сумме, скажем 300 тыс. руб., ежемесячно прибавлять по 10% от нее, то такая зависимость выражается формулой простого процентного роста:

        Sn = (1+10 * n / 100 ) * 300 = 30 * n + 300.

  Линейная функция-это функция вида y=k*x+b, где х- аргумент функции, а k и b – некоторые действительные числа. У нас обозначения несколько иные:

вместо х - n,  вместо y - Sn,  вместо k -  S*p/100, вместо b – S. Отличие: х- это любое число, n – натуральное число.

  В некоторых случаях графики помогают наглядно   представить процесс изменения тех или иных величин.

    Задача: На первый счет положили 100 тыс. руб. под  30% годовых, а на второй 300 тыс. руб. под 10% годовых. На каком счете через 50 лет сумма будет больше?

    Решение: Составим формулы и рассмотрим линейные функции, описывающие данные процессы:

 Первый счет: Sn = (1 + 30 * n / 100) * 100

        y = 30 * x + 100

 Второй счет: Sn = (1 + 10 * n / 100) * 300

        y = 30 * n + 300

 По виду формул видно, что прямые параллельны, и через 50 лет, как и через 50 млн.лет, сумма на втором счете будет больше, хотя скорость увеличения вкладов одинакова.

        В результате проделанной работы учащиеся видят, что некоторые задачи можно решить различными способами:

     - графическим способом;

     - с помощью формул;

     - арифметическим способом;

     - алгебраическим способом.

      У учащихся появляется возможность выбрать тот способ, который им более понятен и комфортен.

           Большие возможности при решении задач на «Проценты» открывает тема «Решение систем линейных уравнений». При изучении данной темы знания учащихся по теме «Проценты» получают новую возможность для закрепления и систематизации.

       При решении задач на «Проценты»  с помощью систем уравнений, учащиеся знакомятся с новым приемом решения задач, что позволяет дальше расширить список предлагаемых задач для решения в классе и дома.

      Задача 1: Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20% ,и в результате за эту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.

    Решение: Пусть х - стоимость факса, у - стоимость телефона. По условию

   3*х + 4*у=1470. Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть 0,8*у - стоимость телефона после снижения цены. По условию 3*х +4*0,8*у = 1326.

 Составим и решим систему уравнений:

    х=250

 Ответ: факс стоит 250 долларов.

     Задача 2: Смешали 30%-ый и  10%-ый растворы соляной кислоты и получили 600г  15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

  Решение: Пусть взяли х г  30%-го раствора и у г  10%-го раствора.

  Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим систему уравнений:

Ответ: нужно взять 150г 30%-го и 450г  10%-го растворов.

Следующие две задачи целесообразно рассмотреть в классах с высоким уровнем обучаемости.

    Задача 3: Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг растворов кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

    Решение: Пусть концентрация одного раствора х % , а другого у % , р- массы растворов во втором случае.

 Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим систему уравнений:

                                                                                                                                        Ответ: концентрации данных растворов 60% и 34%.

     Задача 4: Имеются три слитка латуни. Масса первого 5 кг, масса второго- 3 кг, и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток? содержащий 56% меди. Если сплавить второй и третий , то получится сплав , содержащий 60% меди. Каким будет процентное содержание  меди в сплаве из всех трех слитков?

  Решение: Пусть третий слиток имеет массу х кг, меди в нем у%.

  Составим таблицу по условию задачи:

  Составим и решим систему уравнений:

  Вернемся к исходной задаче и ответим на поставленный вопрос. Имеем: 1, 5 кг меди в 5 кг первого слитка, 0,9 кг меди  в 3 кг второго слитка, 6,9 кг меди в 10 кг третьего слитка.  Соединив три слитка вместе, получим сплав с массой 18 кг, в котором будет 9,3 кг меди, что составляет .

  Ответ: .

      Для определения  качества знаний, умений и навыков учащихся по теме «Проценты», целесообразно включать «задачи на процентные вычисления»  в самостоятельные и контрольные работы по темам «Уравнения с одной переменной», «Решение систем линейных уравнений», в домашние контрольные работы, а также использовать при проведении математических диктантов, тестов, проверочных работ в рамках повторения.

       ●В начале курса 8-го класса, во время обобщающего повторения, учащиеся вновь возвращаются к опорному конспекту «Проценты», для повторения и закрепления полученных ранее знаний и умений.

      При изучении содержания темы « Квадратные уравнения» необходимо  расширить список задач по теме «Проценты» и ознакомить учащихся с новым приемом решения задач на процентные вычисления.

       Поскольку задачи на «смеси, сплавы и концентрацию» вызывают у учащихся при решении наибольшие трудности, то необходимо возвращаться к ним на уроках математики как можно чаще.

      Задача 1: Имеются два сплава меди. Содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Из них получили новый сплав, содержащий 36% меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в первом сплаве было 6 кг меди, а во втором - 12 кг.

  Решение: Пусть х % - процентное содержание меди в первом сплаве.

   Заполним таблицу по условию задачи:

  Составим и решим уравнение:

   6:( 0,01*х) + 12:(0,01*(х+40))=18:0,36

    х1=20

    х2=-24 – не удовлетворяет условию задачи (x>0)

Значит, в первом сплаве было 20% меди, а во втором – 60%.

 Ответ: 20%, 60%.

  Задача 2: В сплаве олова и меди содержалось 11 кг меди. После того как в сплав добавили 7,5кг олова, концентрация олова повысилась на 33% . Какова первоначальная масса сплава?

 Решение: Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем содержалось 11 кг меди и (х-11) кг олова.

  Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим уравнение:

 (х-3,5):(х+7,5)*100 – (х-11):х*100=33

х1=12,5

х2= -20- не удовлетворяет условию задачи (х>0).

Значит, первоначальная масса сплава 12,5 кг.

 Ответ: 12,5 кг

   Задача 3: В прямоугольном треугольнике один из катетов составляет 75% другого катета, а гипотенуза равна 10 см. Найти периметр прямоугольного треугольника.

Решение: Пусть один из катетов х см, тогда другой 0,75х см. По теореме Пифагора:                                                                                х2 + (0,75х)2=102

   х=8 (см) - один из катетов.

   0,75*8=6 (см) - другой катет.

   Р =6+8+10=24 (см) - периметр треугольника.

     Ответ: 24 см.

      Содержание курса алгебры за седьмой класс не позволяет  использовать задачи по теме «Проценты» при организации обучения учащихся, поэтому необходимо постоянное и регулярное включение задач на процентные вычисления в классные и домашние работы в рамках повторения ранее изученного материала, что позволит учащимся совершенствовать свои умения и навыки по данной теме.  Целесообразно в контрольную работу по теме «Квадратные уравнения»  включить задачу на процентные вычисления, а конце учебного года предложить учащимся домашнюю контрольную работу, в которую включить «задачи, в которых известно, сколько процентов одно число составляет от другого», «задачи, в которых известно, на сколько процентов одно число больше (или меньше) другого», «задачи на банковские проценты», «задачи на смеси, сплавы и концентрацию» (см.Прил.5). Данные работы позволят выявить уровень овладения учащимися понятия «Процент» и уровень навыков при решении задач на процентные вычисления.

      ● В 9-ом классе, начиная с первой четверти, необходимо проводить систематическое и  регулярное повторение ранее пройденного материала по теме «Проценты» в виде решения задач в классе и дома, устных счетов, тестов, математических диктантов, так как учащимся предстоит в конце учебного года принять участие в Государственной Итоговой Аттестации, где проценты занимают не последнее место.

      Особое внимание необходимо уделять проверочным работам в виде тестов, так как навыки подобной работы очень полезны для учащихся в качестве подготовки к ГИА.

     «Существенно расширить класс содержательных текстовых задач» [4] позволяет содержание темы «Уравнения с двумя переменными и их системы», не последнее место среди которых должны занимать задачи на процентные вычисления.

         Задача№1: В прошлом году на два факультета университета было подано 1100 заявлений. В текущем году число заявлений на первый из этих факультетов уменьшилось на 20%, а на второй увеличилось на 30%, причем всего было подано 1130 заявлений. Сколько заявлений было подано на каждый их этих факультетов в этом году?

        Задача№2: В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 15%, а от второй партии уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после выборов, если всего было выбрано 55 депутатов?

        Задача№3: Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты      за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3ч, а второй -12ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

     При изучении содержания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» целесообразно рассмотреть на уроках формулу сложного процентного роста (формула простого процентного роста была предложена учащимся в 7-ом классе:  Sn=S(1+pn/100)).

       Фрагмент урока.

  Учитель: Ребята, в седьмом классе мы с вами рассматривали формулу простого процентного роста. Давайте решим следующую  задачу двумя способами.

 Задача: На банковский счет положили 300 тыс. руб. под 10% годовых от первоначальной суммы. Какова будет сумма на счете через пять лет?

Решение: I способ:

               1)300*0,1=30 (тыс. руб.) - увеличение вклада за один год.

               2)30*5=150 (тыс. руб.) - увеличение вклада за пять лет.

               3)300+150=450 (тыс. руб.) - сумма на счете через пять лет.

               II способ:

      Воспользуемся формулой простого процентного роста:

              300(1+5*10/100)=450 (тыс. руб.).

Рациональность применения формулы простого процентного роста очевидна.

   А теперь рассмотрим другую ситуацию.

Пусть внесенная сумма в банк S руб. и банк начисляет р%  годовых.  Тогда:

р*S/100 (руб.) – это р% от S

Через год на счете будет S1= S+ р*S/100=S*(1+р/100), то есть начальная сумма увеличилась в (1+р/100) раз.

За следующий год сумма увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма S2= S*(1+ р/100)(1+р/100), а через n лет

        Sn=S(1+p/100)n

Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

           При решении следующей задачи, учащиеся смогут опять увидеть преимущества применения формул простого и сложного процентного роста.

     Задача: Банк начисляет 20%  годовых и внесенная сумма равна 5000руб. Какова будет сумма на счете клиента через 5 лет:

а) при начислении банком простых процентов;

б) при начислении банком сложных процентов?

 Решение: I способ ( арифметический):

а) 1) 5000*0,2=1000(руб.) - проценты за один год.

    2) 1000*5=5000(руб.) - проценты за 5 лет.

    3) 5000+5000=10000(руб.) -  сумма на счете через пять лет.

б) 1) 5000*1,2=6000(руб.) -  сумма на счете через один год.

    2) 6000*1,2= 7200(руб.) -  сумма на счете через два года

    3) 7200*1,2=8640(руб.) -  сумма на счете через три года.

    4) 8640*1,2=10368(руб.) - сумма на счете через четыре года.

    5)10368*1,2=12441,6(руб.) -  сумма на счете через пять лет.

        II способ  (с помощью формул простого и сложного процентного роста):

а) (1+20*5:100)*5000=10000

б) (1+20:100)5*5000= 12441,6.

        В зависимости от уровня подготовленности класса можно рассмотреть связь формул простого и сложного процентного роста с формулами арифметической и геометрической прогрессиями.

      Учитель: Главное различие между простым и сложным процентным ростом:  при простом росте величина в каждый период времени увеличивается на одно и то же количество по сравнению с предыдущим значением, а при сложном росте - в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением. Если записать друг за другом, по порядку все значения рассматриваемой величины для n=1,2,3,….: S1,S2, S3,….., то получим последовательность, которая в двух рассматриваемых случаях строится по разным правилам. Обе последовательности являются прогрессиям, первая-арифметическая прогрессия с разностью d=S*p/100, вторая- геометрическая прогрессия со знаменателем g=1+p/100. Поэтому для решения некоторых задач можно использовать формулы  арифметической и геометрической прогрессий.

      Задача 1: Сколько надо заплатить, если платеж 5000 руб. просрочен, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на а) 5 дней; б) 4 месяца?

  Решение: 5000:100=50 (руб.)- составляет 1%.

                  5050, 5100, 5150,…..- арифметическая прогрессия, где первый член равен 5050, разность- 50.

 Найдем пятый член прогрессии:

  S = 5050+ (5-1)*50=5250(руб.)- нужно уплатить через 5 дней просрочки платежа.

 Найдем 120-ый член прогрессии:

  S=5050+ (120-1)*50=11000(руб.)- нужно уплатить через 120 дней просрочки платежа.

    Ответ: 5250 руб., 11000 руб.

       Задача 2: Техническое обслуживание производства включает 4 этапа. Стоимость первого-20% от стоимости всего обслуживания, каждый из следующих трех - на 5% больше предыдущего. Сколько процентов от общей стоимости составляют первые четыре этапа?

    Решение: Пусть 1 – стоимость производства, тогда стоимость первого этапа-0,2. Стоимости обслуживания второго, третьего и четвертого этапов образуют геометрическую прогрессию, где первый член равен 0,2*1,05=0,21, а знаменатель 1,05.

 Найдем сумму: 0,2+ (0,21*(1,05-1)3):(1,05-1)=0,862024≈0,862≈86% -

составляет от общей стоимости первые четыре этапа.

     Ответ: примерно 86%.

          Задачи на процентные вычисления целесообразно включать к самостоятельные и контрольные работы по темам «Уравнения с двумя переменными и их системы» и «Арифметическая и геометрическая прогрессии», что позволит определить уровень знаний, умений и навыков учащихся по теме «Проценты».

       ● На подготовку учащихся 9-ых классов к итоговой аттестации по алгебре за курс основной школы в конце учебного года отводится 15 часов, кроме того, дается еще несколько дней на консультации к экзамену (после 25 мая). Среди задач, предлагаемых к аттестации, обязательно есть текстовые задачи. Это задачи на движение, на работу, на части, задачи геометрического содержания и, обязательно, задачи на проценты. На повторение способов решения задач на проценты  мною отводится три урока.

Урок 1: «Основные действия с процентами»

  Цель: устранение пробелов в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по проценту, нахождение процентного отношения.

Содержание  урока

  I.  Повторение  раннее изученного материала.

      Учащиеся повторяют содержание опорного конспекта «Проценты», написанного в шестом классе.

 II.  Математический   диктант.

  (Два ученика работают у доски, остальные – на своих местах).

      1) Запишите проценты в виде дроби:

10%;  20%;  75%;  125%; 450%.

      2) Запишите дроби в виде процентов:

  1/20;   1/;  0, 08;  0, 4;  1, 35.

      3) Вычислите:

 50% от 400;  10% от 20;  25% от 16;  175% от 8.

      4) Найдите число, если:

 10% равны 40;  50% равны 250;  200% равны 20.

      5) Сколько процентов число 50 составляет от числа 200?

      6) Сколько процентов число 200 составляет от числа 50?

   ( Учащиеся меняются тетрадями, а учащиеся, работающие у доски, меняются местами – идет взаимопроверка и оценка выполненной работы).

III. Решение  задач.

        Учащимся предлагается ряд задач. Организация данного вида деятельности на уроке может происходить по-разному, в зависимости от уровня подготовленности учащихся.

  Задача 1:  Квартплата составляла 2000 руб. Какой стала квартплата после ее повышения на 20%?

 Решение: 1) 2000 * 0,2 = 400 ( руб. ) - составляет повышение.

                  2) 2000 + 400 = 2400 ( руб. ) - новая квартплата.

  Ответ: 2400 руб.

  Задача 2: Цена изделия составляла 1000 руб. и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара? На сколько процентов произошло понижение цены от первоначальной?

  Решение: 1) 1000 * 0,1 = 100 (руб.) - первое снижение.

                   2) 1000 – 100 = 900 (руб.) - цена после первого понижения.

                   3) 900 * 0,2 = 180 (руб.) - второе снижение.

                   4) 900 – 180 = 720 (руб.) - цена после второго снижения.

                   5) 720: 1000 * 100 =  72 ( % ) -  составляет новая цена от                                              первоначальной.

                   6) 100 – 72 = 28 (%) - понижение цены.

  Ответ: 720 руб., 28%.

    Задача 3: Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10%и, наконец, после перерасчета произвели повышение еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

  Решение: Обозначим первоначальную цену товара за х руб., тогда

        0,25х - первое повышение,

                   1,25х - цена товара после первого повышения,

                   0,1*1,25х - второе повышение цены,

                   1,25х+0,1*1,25х=1,375х - цена товара после второго повышения,

                   0,12*1,375х=0,165х - третье повышение,

                   1,375х+0,165х=1,54х - цена товара после третьего повышения.

  Цена была повышена на 1,54х - х=0,54х, что составляет 54% от первоначальной цены.

 Ответ: 54%.

     Задача 4: Две бригады вместе скосили 432,9га луга, причем вторая бригада скосила 85% того, что скосила первая бригада. Сколько гектаров скосила          каждая бригада?

  Решение: Пусть первая скосила х га, тогда вторая скосила 0,85х га. Зная, сколько две бригады скосили вместе, составим и решим уравнение:

                     х+0,85х= 432,9

                     х=234(га)- скосила первая бригада.

                      0,85* 234= 198,9(га)- скосила вторая бригада.

  Ответ: 234га, 198,9га.

    Задача 5: Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день, а в третий день - оставшиеся 28кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

   Решение: I способ:

                 Пусть х кг-вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х (кг) овощей, а за второй день- 0,8*0,4х (кг). Зная, что в третий день было продано 28кг, составим и решим уравнение:

                  0,4х + 0,8 * 0,4х + 28 = х

                   х = 100 (кг)- было в магазине первоначально.

                  II способ:

 По условию задачи в первый день было продано 40%  всех овощей, тогда во второй день продано 0,8*0,4=0,32, что составляет 32% всех овощей. Всего за два дня было продано 40+32=72% всех овощей. Значит, в третий день было продано 100-72=28% всех овощей, что составляет 28 кг.

     28%=0,28

     28:0,28=100(кг)- было в магазине первоначально.

 Ответ 100 кг.

    Задача 6: Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличится площадь квадрата?

    Решение: если сторона квадрата 1, то его площадь 1 кв.ед. Сторона увеличенного квадрата 1,2, тогда его площадь 1,2*1,2-1,44 (кв.ед.).

Площадь квадрата увеличилась на 1,44-1=0,44=44%.

 Ответ: на 44%.

    Задача 7: Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 20 см, а один из катетов составляет 75% другого.

 Решение: Пусть один из катетов х см, тогда другой 0,75х см. По теореме Пифагора:                  х2  +  (0,75х)2 = 202

х = 16 (см) - один из катетов

 0,75 * 16 = 12 (см) - другой катет.

                    S = 16 * 12: 2 = 96 (см2)

 Ответ: 96 см2.

       Следующие задачи можно предложить учащимся решить самостоятельно, с последующей проверкой. Это позволит учащимся дать самооценку своим знаниям, «спрогнозировать» свои шансы на экзамене.

     Задача 8: Ячмень содержит 60% крахмала по массе, а рис – 75%. Сколько килограммов риса надо взять, чтобы получить столько же крахмала, сколько из 30 кг ячменя?

 Решение: 1)  30 * 0,6 = 18 (кг) - получают крахмала из 30 кг ячменя.

        2) 18:  0,75 = 24 (кг) - нужно взять риса.

  Ответ: 24кг.

     Задача 9: 50% площади огорода заняли картофелем, 15%- огурцами, а оставшуюся часть огорода - помидорами. Какие площади заняли картофель и  огурцы, если помидоры посадили на 17,5 а?

 Решение:  1) 100 - ( 50 + 15 ) = 35 ( % ) - занято помидорами.

        2) 17,5 : 0,35 = 50 (а) - общая площадь.

                  3)  50 * 0,5 = 25 (а) - занято картофелем.

                  4)  50 * 0,15 = 7,5 (а) -  занято огурцами.

 Ответ: 25 а, 7,5 а.

     Задача 10: За первый день скошенная трава потеряла 10% влаги, а за второй день- 5%, после чего осталось 1710 т травы. Сколько тонн травы было скошено?

 Решение: Пусть всего было скошено х (т) травы, тогда 0,1х (т)- потерянная влага в первый день; осталось х - 0,1х = 0,9х (т).

Во второй день было потеряно 0,05 * 0,9х = 0,045х (т) влаги, после чего осталось   0,9х - 0,045х = 0,855х, а это по условию 1710т.

                             0,855х = 1710

                             х = 2000 (т)- было скошено травы.

    Ответ: 2000 т.

  IV. Подведение итогов урока.

  V.  Домашнее  задание.

     Задача 1: Цену на товар дважды понижали на 10%, а затем повысили на 20%. Как изменилась цена товара в сравнении с первоначальной?

                                                                Ответ: понизилась на 2,8%.

    Задача 2: При переработке в сахар сахарный тростник теряет 90% своей первоначальной массы, а свекла- 85%. Сколько килограммов тростника надо взять, чтобы получить столько же сахара, сколько из 400 кг свеклы?

               Ответ: 600 кг.

    Задача 3: На первый танкер было погружено 94% того количества нефти, которое было погружено на второй танкер. Всего на оба танкера было погружено 9700 т нефти  Сколько тонн нефти было погружено на каждый танкер? На сколько тонн нефти больше погружено на второй танкер, чем на первый?

                            Ответ: 5000, 4700, 300.

Урок 2: «Простые и сложные проценты. Банковские операции»

                Цель: систематизация знаний учащихся, связанных с понятием процента; повторение понятий «простой процентный рост», «сложный процентный рост»; решение основных задач на проценты;

Содержание урока.

    I.  Проверка  домашнего задания.

Фронтально проверяется выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, решаются у доски.

   II. Устная  работа.

1. Что больше:  20% от 750 или 750% от 20;                                   (равны)

                           50% от 2000 или 2000% от 50?         (равны)

     2) Продолжить:

50% числа х - это………        (половина)

25% числа х - это………        (четверть)

20% числа х - это………        (пятая часть)

75% числа х - это………        (три четверти)

100% числа х - это………        (все число)

     3) На сколько процентов

500 больше 400        (на 25%)

400 меньше 500        (на 20%)

3000 меньше 6000        (на 50%)

6000 больше 3000        (на 100%)

   III. Повторение  раннее  пройденного  материала.

Учитель повторяет с учащимися понятия «простой» процентный рост и «сложный» процентный рост.

   IV. Решение  задач.

     Первые две задачи можно предложить учащимся решить самостоятельно с последующей самопроверкой (ответы записаны на переносной доске) или с комментированием у доски двумя учениками.

     Задача 1: Цена нереализованного товара через каждые 5 дней уменьшается на 3% от первоначальной цены. Считая первоначальную цену равной 200 руб., вычислить цену этого товара а) на 6-ой день;

                      б) на 15-ый день.

 Решение: а) На 6-ой день уменьшение цены товара произойдет один раз

                      200 – 200 * 0,03 = 194 (руб.) - цена товара на 6-ой день.

                  б) На 15-ый день уменьшение цены товара произойдет два раза

        200 – 200 * 0,03 * 2 = 188 (руб.) - цена товара на 15-ый день.

           Ответ: 194 руб., 188 руб.

      Задача 2: В одной камере хранения содержание багажа в течении первых суток стоит 85 руб., а за каждые следующие на 10% меньше первого взноса. В другой  камере хранения – 100 руб. в первые сутки и на 25% меньше первого взноса за каждые следующие. В какой из камер хранения содержание багажа в течение десяти суток обойдется дешевле?

  Решение: 1) 85 * 0,9 * 9 + 85 = 773,5 (руб.) - обойдется в первой камере.

2. 100 * 0,75 * 9 + 100 = 775 (руб.) - обойдется во второй камере.
3.  775 – 773,5 = 1,5 (руб.) - разница.

Ответ: в первой камере обойдется дешевле.

  Следующие две задачи предлагаются учащимся решить двумя способами и выбрать для себя наиболее удобный и понятный.

    Задача 3: Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находящейся на счету. На сколько руб. увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

 Решение:   I способ:

1. 1000*0,03=30 (руб.)- начисленные проценты после первого года.
2. 1000+30=1030 (руб.)-по окончании первого года на счету.
3. 1030*0,03= 30,9 (руб.)- начисленные проценты после второго года.
4. 1030+30,9=1060,9 (руб.)- по окончании второго года на счету.
5. 1060,9-1000=60,9(руб.)- составит увеличение вклада.

          Ответ: 60,9 руб.

        II способ:

6.  1000* (1+0,03)2 - 1000= 60,9 (руб.) - составит увеличение вклада.

      Ответ: на 60,9 руб.

     Задача 4: После истечения двух лет сумма банковского вклада, положенного под 3% годовых, выросла на 304,5 руб. Найдите первоначальную сумму вклада.

  Решение: I способ:

 Пусть х – первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма составила

        х+ 0,03х=1,03х.

  За второй год проценты составили 0,03*1,03х, а сумма вклада станет равной 1,03х+0,03*1,03х=0,0609х. Получаем уравнение: 0, 0609х=304,5

                                                                                     х=5000(руб.)

        II способ:

Пусть х – первоначальная сумма вклада.

  х*(1+0,03)2=х+304,5

  х=5000(руб.)- первоначальная сумма.

Ответ: 5000 руб.

       Задача 5: В первый год фермер обработал 25 га земли. Затем в течение трех лет ежегодно сокращал    посевные площади      на 5% по сравнению с предыдущим годом, переходя к интенсивным способам земледелия. Сколько гектаров составили  посевные площади через три года?

 Решение: 1) 25*0,95= 23,75 (га) - посевные площади через год.

                  2) 23,75*0,95= 22,5625 (га) - посевные площади через два  года.

                3) 22,5625*0,95= 21,4 (га) - посевные площади через три года.

 Ответ: посевные площади через три года составят 21,4 га.

      Задача 6: Фирма в течение пяти лет увеличивала товарооборот на 7,2% в год. На сколько процентов за эти пять лет возрос ее товарооборот?

  Решение: Пусть товарооборот в первый год составил х руб.

  Через пять лет: х* (1+ 7,2:100)5≈1,42 х

        Разница 1,42х – х = 0,42х, то есть увеличение произойдет на 42%.

   V. Работа в парах.   Учащимся предлагается решить ряд задач, а затем сравнить полученные результаты с ответами, записанными учителем    на переносной доске.

    Задача 1:  Банк предлагает вклад «Студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 руб. и в течении 2-х лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько  процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

         Ответ: 10%.

    Задача 2: Банк выплачивает каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет; 10 лет?

          Ответ: 280000 руб., 360000 руб.

   Задача 3: Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся на вкладе суммы.   Вкладчик положил на этот вклад 30000 рублей и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная им сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный»?                      

Ответ: на 10%.

VI. Подведение итогов урока.

 V. Домашнее  задание.

    Задание: Продолжить решения задач, которые вызвали затруднения.

    Задача 1: Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 руб. на вклад, годовой доход по которому      составляет 12% , и решил в течении 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

        Ответ: 3947,65 руб.

    Задача 2: Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га угодий. После увеличения площади посевов пшеницы на 10% и уменьшения площади посева ячменя на 8% занимаемая ими площадь стала равна 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля?

        Ответ: 50 га.

   Задача 3: Наталья за зиму похудела на 10%, за весну еще на 20%, за лето поправилась на 30%, за осень похудела на 20%. Как изменился вес Натальи по сравнению с первоначальным?

        Ответ: похудела на 8,48%.

Урок 3: «Концентрация, смеси и сплавы»

         Цель: сформировать умение работать с законом сохранения массы вещества; обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора; обобщение полученные знания и проверка качества знаний, умений и навыков учащихся при решении задач на процентные вычисления.

Содержание урока.                                                                                                                                                                                      

1. Проверка домашнего задания.
2. Повторение раннее пройденного материала.

     Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в новый раствор (сплав), то выполняются равенства:

  В задачах на «концентрацию», «смеси и сплавы» обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:

  - концентрация (доля основного вещества);

  - общая масса смеси (сплава);

  - масса основного вещества в смеси (сплаве).

Учащиеся должны четко усвоить соотношение между этими величинами:

3. Решение задач.

       Задача 1: Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

 Решение: Пусть надо добавить х кг чистого лова.

Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим уравнение: 0,4*(12+х)= 0,45*12

                                                       х=1,5 (кг)- надо добавить чистого олова

ответ: 1,5 кг.

    Задача 2: Один раствор содержит 20% соляной кислоты, а второй -70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л  50%-го раствора соляной кислоты?

  Решение: Пусть надо взять х л первого раствора.

Заполним таблицу по условию задачи:

 Составим и решим уравнение: 0,2*х+0,7*(100-х)= 0,5*100

        Х= 40(л )-надо взять первого раствора,

                                                       100-40=60(л)- надо взять второго раствора

Ответ: 40 л и 60 л.

    Задача 3: Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

Решение: Пусть х - масса первого сплава, которую надо взять,  а у - масса второго сплава, которую надо взять.

Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:         0,42*х + 0,65*у= 0,5*(х+у)

                                                              42х+65у=50х+50у

                                                                8х=15у

                                                                х : у=15 : 8

Ответ: первый и второй сплав нужно взять в отношении 15 к 8.

    Задача 4: Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй -26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаковое. Сплавив 150кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько  килограммов олова содержится в новом сплаве.

Решение:  Составим таблицу по условию задачи:

 Простые устные вычисления позволяют заполнить таблицу следующим образом:

     Ответ: в новом сплаве 170 кг олова.

    Задача 5: Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10% воды. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушенных?

 Решение: 1) 100-10=90(%)- составляет сухое вещество в сушеных яблоках.

        2) 6 * 0,9= 5,4 (кг)- масса сухого вещества в сушеных яблока

        3)100-80=20 (%)-составляет сухое вещество в свежих яблока

        4) 5,4: 0,2 = 27 (кг)- надо взять свежих яблок.

Ответ: 27кг.

4. Проверочная работа.  

5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.

    Задача 1: Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу  нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

                                                   Ответ: 13,5 кг.

    Задача 2: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.

 Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить     140 т стали с содержанием 30% никеля?

        Ответ: 40 т и 100 т.

     Как показывает опыт работы и анализ проверочной работы, содержание данных трех уроков позволяет учащимся систематизировать знания по теме «Проценты» и подготовится к ГИА по данной теме на достаточно хорошем уровне.

       ●  Во втором полугодии учащимся девятых классов предлагается посетить элективный курс «Проценты вокруг нас» (см.Прилож.2), предназначенный расширить и углубить базовую программу по математике. Целью курса является формирование у учащихся понимания необходимости процентных вычислений для решения большого круга задач, показывая широту применения процентных вычислений в реальной жизни. Задачи курса- совершенствование знаний, умений и навыков учащихся при решении основных задачи на проценты, при применении формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста, при решении задач на «смеси, сплавы и концентрацию»; прививание учащимся основ экономической грамотности; оказание помощи при оценке своего потенциала с точки зрения образовательной программы.

       Выбранная мною концентрическая форма обучения учащихся теме «Проценты» на уроках и проведение элективного курса показали, что учащиеся к концу девятого класса достаточно прочно владеют понятием «процент», достаточно легко применяют полученные знания, умения и навыки при решении задач на процентные вычисления.

2.3 Организация обучения учащихся 10-11 классов теме “Проценты”

      Чему бы ни учился человек на протяжении своей жизни, его всегда будет интересовать вопросы качества полученных знаний и умений. С пользой ли были потрачены на учебу время и усилия? Соответствуют ли приобретенные знания тем задачам, которые человек поставил перед собой? На эти и многие другие вопросы можно получить ответы, если стать участником специальной, особым образом организованной процедуры, называемой Единым Государственным Экзаменом (ЕГЭ).

      К успешной сдаче ЕГЭ нельзя подготовится быстро, за месяц-полтора. За такой срок в лучшем случае можно ликвидировать пробелы в расчете на 10-15 баллов. Нужна планомерная работа по развитию соответствующих качеств ума, сообразительности, творческих и аналитических способностей. Начинать эту работу нужно как можно раньше, практически с начала десятого класса.

      Среди задач, представленных на ЕГЭ, не последнее место отведено теме «Проценты», а поскольку в школьных учебниках алгебры и начала анализа практически полностью отсутствует  задачный  материал по   данной теме, то

 на школьного учителя математики ложится двойная нагрузка-это не только подготовка учащихся к успешной сдаче экзамена, но и кропотливый труд по подбору задачного материала из разных источников.

     В начале курса 10-го класса, во время обобщающего повторения, учащиеся вновь возвращаются к опорному конспекту «Проценты», для повторения, закрепления и систематизации ранее полученных  знаний.

     Содержание тем курса алгебры и начала анализа за десятый-одиннадцатый классы практически не позволяет использовать при организации обучения учащихся задачи на процентные вычисления, поэтому целесообразно регулярно и систематически включать  задачи на процентные вычисления, в рамках повторения ранее пройденного материала, в классные и домашние работы в виде тестов, математических диктантов, домашних контрольных работ. Это позволит учащимся совершенствовать свои знания, умения и навыки по теме «Проценты».  

     В 11-ом классе, помимо дальнейшего изучения курса алгебры и начала анализа, учащимся предлагается подготовка к Единому Государственному Экзамену.

          На начальном этапе подготовки к ЕГЭ учащиеся вновь повторяют опорный конспект «Проценты», типы и методы решения задач на проценты.

     Задания типа №1 не вызывают трудностей у старшеклассников, на чаще всего из-за своей «легкости» и приводят к тому, что учащиеся допускают непростительные ошибки. Поэтому на  уроках целесообразно использовать большое количество таких задач для устного решения. Времени на их решение уходит мало, а пользы много.

    Задача 1: Железнодорожный билет для взрослого стоит 590 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на группу? Ответ выразите в рублях.                                                (Ответ:5900).

    Задача 2: До снижения цен футболка стоила 1200 руб., а после снижения цен стала стоить 960 руб. На сколько процентов была снижена  цена? Знак в ответе не пишите.                                                                           (Ответ: 20).

    Задача 3: Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 руб. за штуку. Торговая наценка составляет 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1100 рублей?         (Ответ:6).

    Задача 4: Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 3050 руб. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?      

                                                                                                          (Ответ:2500).

    Задача 5: Розничная цена учебника 345 руб., она на 15% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 5000 рублей?                                                                      (Ответ:16).

    Задача 6: Сплав меди и цинка массой 12,5 кг содержит 40% меди. Сколько килограммов меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал меди и цинка поровну?                                       (Ответ: 2,2)

    Задача 7: К раствору соляной кислоты добавили 100г соли. В результате получили 600г  18%-го раствора соли. Сколько граммов соли содержалось в исходном растворе?        (Ответ: 8)

    Задача 8: Скорость скачивания файла с сайта 0,25 Мб/сек. Сколько процентов файла величиной 75 Мб скачается с сайта за 2 минуты?

                                                                                                            (Ответ:40)

    Задача 9: Файл 1,5 Мб скачивается за 27 сек. За сколько минут скачается файл величиной 80Мб, если скорость увеличили на 20%?           (Ответ:20)

    Задача 10: Операционист в банке обслуживает за день в среднем 30 человек. Какой процент клиентов от общего числа может обслужить операционист за 2 часа работы, если одному клиенту он уделяет 10 минут?

                                                                                                              (Ответ:40)

    Задача 11: В группе 3/5 владеют английским языком,  7/10 – немецким. Сколько процентов владеют обоими языками, если каждый студент владеет хотя бы одним из языков?                                                              (Ответ: 30)  

    Задания   типа   №10  являются  новыми  для учащихся. Необходимо уделить им особое внимание, так как у учащихся возникают трудности, связанные с взаимосвязью математики и физики. Учащиеся не имеют должного опыта применения знаний по физике для решения математических задач. Чаще всего учащиеся не могут вспомнить нужную формулу из школьного курса физики, хотя само математическое содержание задач не вызывает затруднений.  

    Задача 1: Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой  ŋ = (Т1 - Т2 ) : Т1 * 100%. При каком наименьшем значении температуры нагревателя Т1  КПД этого двигателя будет равно 20%, если температура холодильника Т2=400?

    Решение:     Составим и решим уравнение:

                           ( Т1 - Т2) : Т1 * 100 = 40

                         При Т2 = 400 уравнение принимает вид:

                           ( Т1 – 400) : Т1 * 100 = 40

                            Т1 = 500

    Ответ: 500.

     Задача 2: Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой ŋ = (Т1 - Т2) : Т1 * 100%. При каком наименьшем значении температуры нагревателя Т1  КПД этого двигателя будет не меньше 70%, если температура холодильника Т2=150?

    Решение:     Составим и решим неравенство:

                           ( Т1 - Т2 ) : Т1 * 100

                         При Т2 = 150 неравенство принимает вид:

                           ( Т1 – 150 ) : Т1 * 100  70

                            Т1  500

    Наименьшее значение температуры-500.

    Ответ: 500.

    Задача 3: Радиус шара увеличили в три раза. На  сколько процентов увеличится объем?

     Решение: Пусть первоначальный радиус – 1. Тогда V = π R3 =  π.

 Новый радиус – 3, тогда  V = π R3 = 36 π.

 Найдем процентное отношение 36π : 4/3π * 100%=2700%, следовательно увеличение произойдет на 2600%.

    Ответ: 2600.

   Задача 4: Траектория полета мяча описывается по формуле   х ( t ) = 4t – t 2     ( где х- высота в метрах, t- время в секундах). В какой момент времени мяч будет находиться на высоте, равной 75% максимальной высоты полета?

    Решение: 1) Траекторией полета мяча является парабола, ветви которой направлены вниз и с координатой вершины (2;4), следовательно, максимальная высота полета равна 4м.

                     2) 4 * 0,75 = 3 (м)

                     3) 4t – t2= 3

                         t2 - 4t + 3 = 0

                         t1 = 1

                         t2 = 3

    Ответ: в момент времени t=1сек и t=3сек мяч будет находиться на высоте, составляющей 75% от максимальной высоты полета.

    Задача 5: Спортсмен выполняет прыжки в воду с вышки. Уравнение траектории его движения, пока он не коснулся воды, описывается по формуле  h ( t ) = -2 t2+ 8 ( где h-высота в метрах, t-время в секундах) .Через сколько секунд с начала прыжка спортсмен преодолеет 25% всего расстояния от вышки до воды?

   Решение: 1) h (0)= 8 (м)- высота вышки.

                    2) 8*0,25=2(м)-на столько сократится расстояние от вышки до

                                              воды.

                    3) 8-2=6(м)- останется спортсмену преодолеть до воды.

                    4) -2t2+8=6

                         t=1

                         t1= -1- не удовлетворяет условию задачи (t>0)

                         t2=1 (сек)

   Ответ: через 1 секунду с начала прыжка спортсмен преодолеет 25% всего пути.

      При подготовке учащихся к решению задач типа  №12  мною используется задачный материал из различных пособий, предназначенных для подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ, а также задачи предпрофильного курса «Проценты вокруг нас» для 9-го класса. Но если уровень обучаемости учащихся высокий, то обязательно предлагаю  на  уроках или на внеурочных занятиях  «сложные задачи», которые способствуют развитию более глубоких знаний и умений по теме «Проценты».

       Учащиеся относят чаще всего к разряду «сложных задач» те задачи, в которых данные величины представлены не в виде чисел, а в виде букв. В новом текстовом содержании ЕГЭ подобные задачи не предлагаются учащимся для рассмотрения, но разбор решений таких задач значительно повышает качество знаний учащихся по теме «Проценты».

     Задача 1: Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

     Решение: Пусть исходная зарплата составляла х руб. Тогда после первого повышения  на р%  она стала    равна    х + х * р/100 = х * ( 1 + р/100 ) руб.  После второго повышения на 2р%  зарплата стала равна

  х * ( 1 + р/100 ) +  х * ( 1 + р/100 ) * 2р/100 =  х * ( 1 + р/100 ) * ( 1 + 2р/100 ).

 По условию задачи эта величина равна  1,32 х.

 Получаем уравнение:  х * ( 1 + р/100 ) * ( 1 + 2р/100 ) = 1,32 х.

 Корнями уравнения являются числа  -160 и 10. По условию р>0, следовательно, подходит р=10. Тогда 2р=20%.

    Ответ: 20%.

     Задача 2: Цену товара дважды повышали: первый раз на р%, затем новую цену повысили на 2р%. После этого цену товара снизили на 15%. В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 12,2%. На сколько процентов была повышена цена товара в первый раз?

    Решение: Пусть исходная цена товара составляла х руб. Тогда после первого повышения  на р%  она стала    равна    х + х * р/100 = х * ( 1 + р/100 ) руб.  После второго повышения на 2р%  цена товара  стала равна

  х * ( 1 + р/100 ) +  х * ( 1 + р/100 ) * 2р/100 =  х * ( 1 + р/100 ) * ( 1 + 2р/100 ).

   После понижения на 15% цена товара стала равна

  0,85 х * ( 1 + р/100 ) * ( 1 + 2р/100 ), и по условию оказалась равной 1,122 х.

    Составим уравнение:

  0,85 х * ( 1 + р/100 ) * ( 1 + 2р/100 ) = 1,122 х

   Корнями уравнения являются числа  -160 и 10. По условию р>0, следовательно подходит р=10.

    Ответ: 10%.

  Задача 3: Вкладчик положил в банк деньги под 10% годовых. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После второго начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

   Решение: Пусть х- исходная сумма, внесенная вкладчиком в банк, а

                     kх – сумма, изъятая им после первого начисления процентов.

                       Составим уравнение:

( х ( 1 + 10/100 ) – kх )  ( 1 + 10/100 ) = х ( 1 - 10/100 )

   1,21 -  1,1k = 0,99

    k=0,2

 Таким образом, после первого начисления процентов вкладчиком было изъято 20% от первоначальной суммы.

  Ответ: 20%.

    Задача 4: Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой m г и n г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего процентное  содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?

    Решение: Заполним таблицу по условию задачи:

  Составим уравнение:

[ рх/100 + ( n – р ) у /100 ] / n = [ рх/100 + ( m – р ) у/100 ] / m

 m(px+ny-py)=(py+mx-px)n

 mpx+mny-mpy=npy+nmx-pnx

 (m+n)px+mn(y-x)-(m+n)py=0

 (m+n)p(x-y)-mn(x-y)=0

 (x-y)((m+n)p-mn)=0

 p(m+n)=mn

 р = mn : (m + n )

Ответ: mn : (m + n )

    Задача 5: Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 3 : 7 : 10. Массу первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась?

   Решение:  Пусть коэффициент пропорциональности равен х.

Заполним таблицу по условию задачи:

  Так как масса набора не изменилась, то можно составить следующее уравнение:               10,52х + 10рх = 20х

                                   р = 0,948 = 94,8%

                                   100% - 94,8% = 5,2% - на столько процентов нужно уменьшить массу третьего набора.

   Ответ: 5,2%.

    Задача 6: Бак заполняется керосином за 2часа 30 минут с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как      3 : 5 : 8. Сколько процентов объема будет заполнено за 1час 18 минут совместной работы второго и третьего насосов?

  Решение:

   Пусть объем бака равен 1,а коэффициент пропорциональности – х, тогда производительности насосов равны 3х, 5х, 8х. Время наполнения бака при совместной работе всех трех насосов равно =  или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.

    Решим уравнение: =2,5

                                     х=

 Производительность второго насоса равна   * 5= .

 Производительность второго насоса равна   * 8=.

 Совместная производительность второго и третьего насосов равна

                                                                          +=.

 За 1час 18 минут второй и третий насосы наполнят  * 1,3=0,4225  объема бака.

 Итак, при совместной работе второго и третьего насосов за 1 час 18 минут будет заполнено 0,4225*100%=42,25% объема бака.

  Ответ: 42,25%.

      Особый интерес вызывают у учащихся задачи, решаемые с помощью неравенств, которые можно предложить учащимся на внеурочных занятиях.

Это позволит расширить границы знаний учащихся по теме «Проценты».

   Задача 1: Группа студентов решила купить магнитофон стоимостью от 170руб. до 195руб. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и поэтому каждому оставшемуся студенту пришлось внести на 1руб больше. Сколько было студентов? Сколько стоит магнитофон?

   Решение: Пусть х -  количество студентов, первоначально желающих участвовать в покупке, а  у - первоначальный взнос на покупку магнитофона. Тогда  (х*у)-стоимость магнитофона.

    После того, как двое студентов отказались принять участие в покупке, то количество студентов стало (х-2), а первый взнос на магнитофон составил (у+1)руб., тогда стоимость магнитофона становится (х-2)(у+1)руб.

     Рассмотрим систему с одним неравенством и одним уравнением:

 Решим неравенство:   х2 - 2х

        х2 - 2х – 390

        1-   x  1 + .

 Решим неравенство:   х2 - 2х

        х   1 +  

                                        x 1 -

 Учитывая, что х - количество студентов, а у- первоначальный взнос, получаем:                1 +   x  1+

                                         19 < x < 21,

                    следовательно,  х = 20, тогда у = 9.

                 20 * 9 = 180 (руб.) - стоимость магнитофона.

     Ответ: 20 студентов, 180 рублей.

   Задача 2: В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 2,9%  до  3,1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе.

  Решение: Пусть n - количество учеников в таком классе,  m - количество учеников, повысивших успеваемость.

Тогда процент учеников, повысивших успеваемость, равен m : n * 100.

По условию     2,9  <  m : n * 100  <  3,1  (*)

                            29 <  m : n * 1000  <  31

                       29/1000 < m : n < 31/1000

                    1000/29 < n : m < 1000/31

                        32,26 <  n : m < 34,48

                 32,26 * m <  n < 34,48 * m

    Итак, в классе, о котором сообщается в газете, учеников не меньше, чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное число учеников может быть в классе. Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и один из них повысит успеваемость, то есть если n=33 и m=1, то такая пара чисел удовлетворяет  неравенству (*). Значит, в классе минимально возможное число учеников 33.

  Ответ: 33.

       При организации деятельности учащихся в рамках подготовки к экзамену, в зависимости от уровня подготовленности учеников и сложности решаемых задач, целесообразно использовать такие виды деятельности:

  - фронтальная форма работы, когда выполнение заданий происходит с сопоставлением каждого действия с записанными правилами в опорном конспекте;

  - комментирование действий вслух, когда ученики решают и обосновывают каждый свой шаг;

  - работу в парах, когда ученики объясняют решение друг другу;

  - индивидуальная работа;

  - проведение классных и домашних контрольных работ.

      В качестве контроля и проверки уровня подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ возможно использование демонстрационных вариантов контрольных измерительных материалов (КИМов) по математике ЕГЭ, а также экзаменационные варианты ЕГЭ прошлых лет. Это позволит не только  учителю математики определить уровень знаний, умений и навыков учащихся, но и выпускникам определить свои шансы на экзамене.

       Помимо     посещений   уроков   и   внеурочных   занятий,   целесообразно  

предложить учащимся самостоятельное повторение элективного курса «Проценты вокруг нас» за курс девятого класса.

      Предполагаемая мною организация обучения учащихся 10-11 классов теме «Проценты», как показывает личный опыт, дает положительные результаты. У старшеклассников исчезает страх, появляется уверенность, а это приводит к тому, что все мои ученики на экзамене решают задачи на «Проценты» без ошибок.  

Заключение

      Долгое время считалось, что единственный метод формирования умения решать задачи - это практика в решении большого количества задач. Но это не так при изучении темы «Проценты». Важно не количество решенных учащимися задач, важно глубокое изучение и понимание сюжета задачи, сущности ее решения, грамотное выявление методов  и приемов, используемых при решении, а также систематическое и регулярное повторение и закрепление знаний, умений и навыков по данной теме.

     В пятых- шестых классах при изучении содержания темы «Проценты» полностью и в полном объеме вводится понятие «процента», способы и методы решения основных задач на процентные вычисления. В седьмых-восьмых классах постепенно вводятся новые фабулы задач (задачи на смеси, сплавы, концентрацию, на простой и сложный процентный рост), новые способы решения задач (алгебраический, графический), а в девятых классах происходит обобщение, систематизация, контроль знаний, умений и навыков учащихся. В десятых- одиннадцатых классах продолжается обобщение и систематизация знаний и навыков учащихся.

    В результате анализа содержания школьных учебников математики разных авторов, изучения нормативных документов для общеобразовательных учреждений, обобщения личного опыта преподавания математики в средней общеобразовательной школе, систематизации имеющегося в моем распоряжении дидактического материала, мною была продумана методика обучения учащихся решению задач по теме «Проценты». В основу методики положена идея линейно-концентрического обучения, а именно систематическое, регулярное возвращение к ранее пройденному  учебному материалу, но с разной степенью углубления,  

     На будущее мною будет уделяться больше внимания изучению не только  темы «Проценты», но и других основных тем школьного курса математики.

Библиографический список.

  1) Алгебра и начала анализа. Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк./А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.: Под ред. А.Н.Колмогорова.-2-е изд.-М.:Прсвещение ,2006.-320с.:ил.

   2) Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики/Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд.-3-е изд. – М.:Просвещение, 2007.-288с.:ил.

   3) Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики/Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд.-3-е изд. – М.:Просвещение, 2008.-292с.:ил.

   4)Алгебра. 9-й класс. Подготовка к государственной аттестации-2010:учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион-М.,2009.-240с.(Итоговая аттестация).

  5) Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл./ [Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.].-2-е изд.-М.: Просвещение, 2007.-191с.:ил.

  6) Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,  К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под. Ред. С. А. Теляковского.- 11-е изд.-М.:Просвещение, 2006.-223 с.: ил.

  7) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,  К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под. Ред. С. А. Теляковского.- 13-е изд.-М.:Просвещение, 2007.-238 с.: ил.

  8) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,  К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под. Ред. С. А. Теляковского.- 10-е изд.-М.:Просвещение, 2007.-270 с.: ил.

   9) Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл.сред.шк.-3-е изд.-М.:Просвещение,1993.-351 с.:ил.

  10)Боровских А.В., Розов Н.Х., О бедном проценте замолвите слово./ Математика в школе.-2010.-№3.

  11) Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений/Математика в школе.-2001.-№4.

  12) Денищева Л.О., Миндюк М.Б., Седова Б.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа.10-11 класс.-М.: Издательский дом «Генжер», 2001.

  13) Епифанова Н. М., ШароваО.П. Методика обучения алгебре основной школы ( Материпалы к лекционным занятиям): учебно-методическое пособие.-Ярославль: Изд-во ЯГПУимени К.Д.Ушинского.2006.-с.

  14) Епифанова Н.М., Меньшикова Н.А. Элементы истории и краеведения в математических задачах для учащихся 5-6 классов. Ярославль,1995.

  15) Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса.-М.:Илекса, 2003,-176с.

   16) Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса.-М.:Илекса, 2003,-160с.

   17) Жохов В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах: По учебникам: Математика/Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов,А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. Методические рекомендации для учителя.-3-е изд.-М.:Мнемозина, 2001.-156с.:ил.

   18) Задачи на смеси и сплавы / Н.И.Прокопенко.-М.: Чистые пруды, 2010.-32с.: ил.-(Библиотека «Первого сентября», серия «математика».Вып.31).

   19) Канашева Н.А., О решении задач на проценты./ Математика в школе.-1995.-№5.

   20) Кац М., Проценты.11 класс./ Математика в школе.-2002.-№20.

   21) Кац М., Проценты.11 класс./ Математика в школе.-2002.-№21.

   22) Кац М., Проценты.11 класс./ Математика в школе.-2002.-№22.

   23) Кац М., Проценты.11 класс./ Математика в школе.-2002.-№23.

   24) Левитас Г.Г., Об изучении процентов в школе./ Математика в школе.-1991.-№4.

   25) Математика.  Арифметика. Алгебра.  Анализ данных. 7 класс:  Учеб.  для общеобразоват. учеб. заведений/ Г. В. Дорофеев, С. В. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2007. - 288с.

   26)  Математика.  Арифметика. Алгебра.  Анализ данных. 8 класс:  Учеб.  для общеобразоват. учеб. заведений/ Г. В. Дорофеев, С. В. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева,- 2 – изд. – М.: Просвещение,  2008. – 256с.

    27) Математика.  Арифметика. Алгебра.  Анализ данных. 9 класс:  Учеб.  для общеобразоват. учеб. заведений/ Г. В. Дорофеев, С. В. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2007. - 352с.

    28) Математика. 6 класс:Учеб. для общеобразоват. Учеб. заведений/Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд.-М.:Дрофа, 2007.-416с.:ил.

   29) Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып.1/авт.-сост. В.Н.Студенецкая,  Л.С.Сагателова. - Волгоград: Учитель, 2007.-205с.

   30)Математика: Учеб. – собеседник для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков - М.:Просвещение, 1996.-319с.:ил.

   31)Математика: Учеб. для 5-6 кл. сред. шк. /Эрдниев П.М. - М.: Просвещение, 1993.-383с.: ил. - (Материалы для знакомления).

   32) Математика: Учеб. для 5кл.общеобразоват.учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов,А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд-М.:Мнемоза, 2005.-280 с.:ил.

   33) Математика: Учеб. для 6кл.общеобразоват.учреждений / Н.Я Виленкин,

В.И.Жохов,А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд-М.:Мнемоза, 2006.-288 с.:ил.

   34) Минаева С.С., Рослова Л.О., Шевкин А.В. Математика. 5-6 кл.:Тематические зачеты: Вариант 2. - М.:Образование для всех., 1995.-36с

   35) Мордкович А. Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., до раб. – М.: Мнемозина, 2000. – 160 с.: ил.

   36) Мордкович А. Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 223 с.: ил.

   37) Мордкович А. Г. Алгебра. 9кл.: В двух частях.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 192 с.: ил.

   38) Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 7 классе: методические материалы. - М.: Просвещение, 2002.

   39) Петров В.А., Задачи на проценты с газетной полосы./ Математика в школе.-2009.-№6.

   40) Процентные вычисления. 10-11 кл.: Учебно-метод. Пособие / Г.В.Дорофеев, Е.А.Седова.-М.: Дрофа, 2003.-144с.:ил. - ( Темы школьного курса).

   41) Сборник нормативных документов / сост. Э.Д.Днепров, А.Г.Аркадьев.-М.-Дрофа 2007.-443.

   42) Симонов А.С., Сложные проценты./ Математика в школе.-1998.-№5.

   43) Ситникова О., Задачи на смеси и сплавы./ Математика в школе.-2004.-№17.

    44) Страницы русской истории на уроках математики: Нетрадиционный задачник. V-VI классы. - М.: Педагогика - Пресс, 1994. - 288с.: ил.

    45) Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии. Ярославль, 2003.

   46) Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1990.-144с.:ил.

   47) Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 6 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1991.-160с.:ил.

  48)Эрдниев П.М. Математика: Учеб. для 5-6 кл. сред. шк.-М.Просвещение, 1993.-383 с.: ил. - (Материалы для ознакомления).