Применение подобия при выполнении заданий по алгебре
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Сергеева Наталья Викторовна,

учитель математики МБОУ лицей «Технический» имени С.П.Королева,                   г. Самара

tasia-163@mail.ru

Применение подобия при решении «негеометрических» задач.

«В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии»

А.С.Пушкин

Аннотация. В статье предложено еще одно дидактическое средство обучения школьников искусству решения математических задач. На мой взгляд, нетрадиционные приемы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал учащихся, приобщить их к творчеству, к исследовательской деятельности и проиллюстрировать детям внутриматематические связи. Благодаря интеграции «негеометричности» условия задачи и ее геометрического решения математические знания предстают перед учащимися как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики. Действует двусторонний процесс обучения: обучение математике и обучение математикой.

Ключевые слова: текстовая задача на движение, геометрическая модель задачи, негеометрические задачи, геометрическое решение.

Задачи на движение.

В школьном курсе математики значимое место занимают текстовые задачи. Как известно, они вызывают немалые трудности у учащихся. Это касается, в частности, задач на движение. Облегчить решение таких задач помогают построение их геометрических моделей и работа с ними. Это предполагает составление геометрической модели, анализ построенной модели, работу с моделью (решение), запись ответа.

При решении задач на движение принимаются следующие допущения: 1) движение тел – прямолинейное и равномерное; 2) скорость – величина постоянная; 3) любой переход из одного режима движения в другой происходит мгновенно. Для описания зависимости координат тела от времени пользуются формулой прямолинейного равномерного движения:    , где   - координата тела в момент времени   ,   - координата тела в начальный момент времен ,–скорость тела.

  Пример 1.  Если два тела движутся в одном направлении со скоростями и  соответственно и в  раз, то за один и тот же промежуток времени первое тело преодолеет расстояние в  раз большее, чем второе. На рисунке изображены графики движения двух тел в случае, когда  .

Пример 2.  Если два тела движутся в противоположных направлениях из пунктов O и B, то закон движения описываются графиками, изображеннми на следующем рисунке.

Пример 3. На рисунке изображен график тела, которое, достигнув пункта B, повернуло в обратном направлении и вернулось в начальный пункт O.

Текстовую задачу на движение можно свести к геометрической задаче.

Задача №1.    Из пункта A в пункт B выехал грузовик. Через 1 час из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 часа после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 часа раньше грузовика. Сколько времени грузовик ехал от А до В?

Решение.    1) Построим графики движения грузовика и легкового автомобиля в системе xAt. Для грузовика, начавшего движение из пункта А первым, то будет отрезок AF прямой , выходящей из начала координат. Для легкового автомобиля, выехавшего на 1 час позже и приехавшего в конечный пункт на 3 часа раньше, графиком движения будет отрезок CG прямой , выходящей из точки C. Так как легковой автомобиль затратил на весь путь меньше времени, то точка G расположена левее точки F.

На рисунке точки A и C соответствуют началу движения грузовика и автомобиля, а точки F и G – окончанию движения первой и второй машин, О – точка, в которой автомобиль догнал грузовик. Таким образом, длина отрезка АС равна разнице во времени между началом движения грузовика и началом движения легкового автомобиля, АС = 1; длина отрезка СЕ равна времени движения легкового автомобиля до момента его встречи с грузовиком, СЕ = 2; длина отрезка GF равна  разнице во времени между окончанием  движениялегкового автомобиля и грузовика,  GF = 3; длина отрезка BF равна времени нахождения в пути грузовика.  Требование задачи заключается в том, чтобы установить длину отрезка BF.

2) Воспользуемся подобием треугольников в  ,отсюда соответственные стороны , а также проведенные к ним высоты пропорциональны:      В силу подобия треугольников   верна пропорция , т.е.  Учитывая, что AE=AC + CE, найдем DF: DF= 3(AC+ CE) = 9. Тогда BF = BD + DF= AE + DF = 12.

Ответ:  12 часов.

Задача №2.    Одновременно в одном направлении из пункта  А начали движение велосипедист и пешеход, а из пункта В, удаленного от А на 9 км, в том же направлении выехал мотоциклист. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист опережал пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

1. На рисунке геометрическая модель задачи.

Точка  А соответствует началу движения велосипедиста и пешехода, а В - началу движения мотоциклиста. Точка C – место встречи пешехода и мотоциклиста, а D – точка, в которой находился в тот момент пешеход.

AB = 9,  FE = 3. Требуется найти длину отрезка DC.

 Тогда получим:        Получим, отсюда DC=2,25.

Ответ:  2,25 КМ..

Алгебра,  

Пример 1. Решить систему уравнений

Рассмотрев каждое уравнение с точки зрения геометрии, можно заметить, что первые два уравнения представляют собой теорему Пифагора:

первое уравнение:

прямоугольный треугольник с катетами 2х и у,  с гипотенузой  - 4.

Второе уравнение:

прямоугольный треугольник с катетами 3z и у, и  гипотенузой -3.

Можно заметить, что в третьем уравнении поделив обе части на 2xy, получим

и треугольники прямоугольные (теорема о среднем геометрическом). Но тогда и у них попарно равные углы. Значит    тоже прямоугольный.

Все описанное выше изображаем:

.

Из  , а из   ,  значит = ,  т.е. .                           Используя теорему Пифагора получим :.

  Для подтверждения правильности полученных результатов произведем проверку:

                                                                                                                                  Ответ:  

                                                                                                                    Пример 2. Решить систему уравнений  

  Если  то существует   c прямым углом C, у которого x  и y – катеты, а z – гипотенуза.

  Периметр треугольника равен 60. Если в этом треугольнике провести из вершины прямого угла высоту CD, то получатся три попарно подобных треугольника, как в предыдущей задаче.

  тогда , отсюда   , значит CD = 12.

  Из первого уравнения получаем  , а из второго и третьего уравнений:   Приравняв правые части уравнений, получим 144z=, т.е. z =

Значит   x+y=35 и xy=300. Отсюда одно из неизвестных 15, а второе 20.

  В условии не оговаривается, что x, y и z – положительнее числа. Из третьего уравнения следует, что два из трех неизвестных могут быть отрицательны. Но в решении м получили, что , но тогда xи y должны быть одного знака. Оба отрицательными они не могут быть, т.к. x+y=35.

Ответ.   (15;20;25), (20;15;25).

Заключение.

Интегрированные уроки математики (алгебра + геометрия) полезны на этапах заключительного повторения. Важной составной частью культуры человека является широкий спектр его деятельности. Поэтому установление внутрипредметных связей в школьном курсе математики вносит большой вклад в развитие компетентности учащихся.