Урок_Обратные тригонометрические функции арксинус и арккосинус
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

N п/п

Этапы урока

Содержание

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

 Разбор сложных заданий у доски.

Формулировка цели урока.

Сегодня на уроке мы изучим понятие обратных функций и познакомимся с такими обратными тригонометрическими функциями как арксинус и арккосинус.

Повторение.

Вспомним понятие обратной функции.

Функция f (с областью определения X и областью значений Y) называется обратимой на некотором промежутке, если каждому значению х на этом промежутке соответствует единственное значение у, и наоборот каждому у соответствует единственное значение х.

а) если g – функция, обратная к функции f, то и функция f – обратная к функции g; области определения и области значений взаимно обратных функций f и g взаимно обратны, т.е. область определения функции g совпадает с областью значений функции f и наоборот;

б) графики функций y = f(x) и y = g(x) симметричны относительно прямой y = x;

в) функция, обратная нечетной функции, тоже нечетна;

г) любая монотонная функция обратима, причем функция, обратная к возрастающей (убывающей), – возрастающая (убывающая).

Новый материал.

Функция арксинус.

На доске презентация, слайд 1.

Функция  монотонна на каждом из следующих отрезков: ,, и т.д. и принимает на них все значения от -1 до 1. Значит на каждом из указанных промежутков функция  имеет обратную. Обычно обратную функцию рассматривают на промежутке , это связано с удобством построения её графика и поиска значений по числовой окружности.

Обозначают обратную функцию  (читается «арксинус икс»).

Определение. Если синус которого равен .

Для чего же нужна обратная функция и как она работает?

Давайте вспомним, как работает сама функция . Мы подставляем вместо  угол в радианах, функция синуса выдает нам число, которое соответствует этому углу. Например . Обратная функция работает наоборот. Мы ей даем число, а получаем – угол.

Пример.

1. Если
2. Если
3. Если

То есть, вычисляя , мы ищем такой угол из отрезка ,  синус которого равен .

Чтобы найти , задаем себе вопрос: синус какого угла из отрезка   равен ?

Очень просто находить значения арксинуса по числовой окружности.

(Объяснение тех же примеров по презентации на экране )

Ученики срисовывают себе числовую окружность и слушают пояснения учителя.

Чтобы лучше усвоить материал, выполните задание: (пять минут на работу самостоятельно, далее разбор с учителем, желающих сдать решенные задания оценить и поставить отметку в журнал)

Задание 1. Вычислите:

Дать возможность учащимся самим объяснить свое решение. Особое внимание уделить проговариванию правила «Чтобы найти , задаем себе вопрос: синус какого угла из отрезка   равен ».

ОТВЕТЫ И ОБЪЯСНЕНИЯ

1.     т.к.  
2.    т.к.    
3.    т.к.  
4.  ,  т.к.  
5. ,  т.к.  
6.  не существует, т.к. не существует угла, синус которого равен 2.

Теперь перейдем к построению графика функции . Слева нарисуйте график  в пределах , справа постарайтесь нарисовать график обратной функции. (можно оценить первых трех человек, кто самостоятельно и правильно нарисовал график)

По окончанию 5 минут, ученикам показывается правильный вариант графика на презентации, делаются необходимые пояснения, они срисовывают его в тетрадь.

Давайте опишем свойства этой функции:

()свойства.

Функция арккосинус.

А теперь давайте перейдем к графику косинуса (на экране).

Как вы думаете, какой промежуток удобнее всего выбрать для обратной функции косинуса? Промежуток .

Определение. Если косинус которого равен .

Пример.

На экране числовая окружность, студенты перерисовывают ее в тетрадь и слушают пояснения учителя.

Чтобы найти , задаем себе вопрос: косинус какого угла из отрезка   равен ?

Попробуйте самостоятельно выполнить задание, использую числовую окружность и определение арккосинуса (по желанию можно взять несколько тетрадей на проверку).

Задание 2. Найдите значение выражения.

ОТВЕТЫ.

1.   т.к.  
2.    т.к.  
3.    т.к.  
4.  не существует
5.    т.к.  
6.    т.к.  
7.    т.к.  

График функции арккосинус и его свойства.

Ученики срисовывают график с презентации и записывают его свойства.

Домашнее задание.

Выучить определение арксинуса и арккосинуса, выучить правила нахождения значений арксинуса и арккосинуса.

№1.

Подведение итогов, рефлексия.

–Что такое арксинус и арккосинус?

-По какому правилу их можно найти?

– Что вызвало наибольшее затруднение на уроке?

(Оцениваю работу студентов на уроке).