«Математическая индукция»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

«Математическая индукция»

          Секция: математика

       Автор:

                  Толмачева Ольга Герольдовна, учитель

                   математики МБУ "Лицей  №67"

Тольятти,  2017 г.

Введение.

«Индукция широко применяется в математике, но применять её надо умело»; «… как пользоваться в математике индукцией, чтобы получать только верные выводы?». Что же все это собственно значит? Не следует ли понимать дело так, что среди математических методов есть «достоверные», действующие, так сказать, безотказно  (дедуктивные), и « не вполне надежные», дающие подчас, особенно в неумелых руках осечку (индуктивные)? Если бы это было действительно так, то где же искать критерии надежности таких «индуктивных» методов? Как вернуть себе уверенность в непреложной обязательности математических выводов? Или это безнадежная затея, и достоверность математических заключений – той же природы, что и опытные обобщения экспериментальных наук, так что любой доказанный факт неплохо было бы ещё «проверить» (подобно тому  как школьникам часто рекомендуется «проверять» правильность выполнения арифметических действий или решения уравнения по общей формуле)? В действительности дело обстоит не так. Индукция, то есть «наведение» (на мысль, на догадку, на гипотезу) играет в математике, безусловно, очень большую, но чисто эвристическую роль: она позволяет догадываться о том, каким, по всей видимости, должно быть решение. Устанавливаются же математические предложения только дедуктивно. Ни один математический результат не может претендовать на достоверность, истинность, коль скоро он не выведен из исходных посылок.

Индукция в математике.

Индукция (лат. inductio – наведение) – переход от частного к общему; дедукция (лат. deductio – вывод) – переход от общего к частному. Всем известна роль процессов обобщения результатов отдельных наблюдений и опытов (т.е. индукции) для экспериментальных наук. Математика же издавна считается классическим образцом осуществления чисто дедуктивных методов, т.к. явно или неявно всегда подразумевается, что все математические предложения (кроме принятых за исходные – аксиом) доказываются,  а конкретные применения этих предложений выводятся из доказательств, пригодных для общих случаев (дедукция). Индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.

Метод математической индукции, по самому существу своему связанный с понятием числа, имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел. Но понятие целого числа является основным не только в теории чисел, специально занимающейся изучением его свойств, но и вообще во всей математике. Поэтому метод математической индукции применяется в самых разнообразных областях математики.

В математике очень мало примеров и задач геометрического содержания с применением индукции, но использование этого метода в геометрии особенно интересно и эффектно.

Рис.

Пример 1.    Указать правило вычисления радиусов rи R вписанной и описанной окружностей правильного 2 –угольника, имеющего данный периметр Р.

Решение. 1˚. r =, R = .

2˚. Зная радиусы r и R вписанной и описанной окружности правильного 2 – угольник периметра Р, вычислим радиусы r и R вписанной и описанной окружностей 2 – угольника того же периметра. Пусть АВ (рис.) – сторона правильного 2 – угольника периметра Р, О – его центр, С – середина дуги АВ и D – середина хорды АВ; далее, пусть ЕF – средняя линия треугольника АВС и G – её середина. Так как  ЕОF= ЕОС + FОС = АОС + +ВОС=АОВ, то ЕF равно стороне правильного 2 – угольника, вписанного в круг радиуса ОЕ, причем периметр этого 2 –угольника равен 2ЕF= 2=2АВ, т.е. тоже равен Р. Таким образом,

r= OG и R= ОЕ.

Далее, ясно, что ОС – OG= OG – OD, т.е. R– r = r– r, откуда r = . Наконец, из прямоугольного треугольника ОЕС имеем  ОЕ = ОС* OG, т.е. R = Rr и R =.

Рассмотрим последовательность r,R,r,R,…,r,R, … Члены этой последовательности стремятся к радиусу окружности длины Р, т.е. к  . В частности, при Р=2 имеем r= и R=. Полагая ещё r=0 и R=1/2, получаем следующую теорему:

Если составить последовательность чисел

0,,,,,,,…, первые два члена которой равны 0 и, а каждый из остальных попеременно равен среднему арифметическому и среднему геометрическому двух предшествующих, то члены этой последовательности стремятся к .

Более широко математическая индукция применяется в алгебре, я хочу привести пример доказательства алгебраической теоремы методом математической индукции.

Рассмотрим задачу на нахождение геометрических мест с помощью метода математической индукции.

Пример 2. На сторонах выпуклого n- угольника А отложены отрезки  Найти геометрическое место внутренних точек М этого многоугольника, для которых сумма площадей треугольников  постоянна (равна сумме где М- определенная точка внутри многоугольника).

Решение. 1˚. Пусть n=3 (рис.1). На сторонах  и  треугольника  отложим отрезки .

Тогда

+

И, следовательно,

Аналогично,

Мы видим, что искомое геометрическое место определяется условием

Пусть теперь N – точка пересечения прямых ( если эти прямые параллельны, искомое геометрическое место будет отрезком параллельной им прямой). Отложим на  сторонах угла  отрезки NR=PQ и NS=B; тогда  и аналогично

Следовательно искомое геометрическое место состоит из тех точек М, лежащих внутри треугольника, для которых ,то есть представляет собой отрезок XY прямой, проходящей через точку М ( и параллельной прямой RS).

2˚. Пусть мы уже знаем, что для n-угольника искомое геометрическое место представляет собой отрезок прямой (проходящей, разумеется, через точку М). Рассмотрим теперь (n+1)- угольник  - заданные отрезки, отложенные на его сторонах, и М - точка внутри (n+1)-угольника. На сторонах угла  от вершины  отложим отрезки  и .

Тогда

Следовательно, для точек М искомого геометрического места

В силу индуктивного предположения искомое геометрическое место представляет собой отрезок прямой, проходящей через точку М. Из решения задачи нетрудно усмотреть также метод построения этого геометрического места.

Рис.1

Теорема.   Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной со всевозможными их удвоенными попарными произведениями, т.е.

.                        (1)

     1˚. Для п=2 формула (1) может быть доказана непосредственным умножением.

     2˚. Допустим, что формула (1) верна для n=k-1, т.е.

,

где S-сумма всевозможных попарных произведений, составленных из   Докажем, что  где S-  сумма всевозможных попарных произведений, составленных из  

.

Действительно,

Пример 3.      Доказать, что  1*2+2*3+…+(n-1)n=.

Решение. 1˚. 1*2=.

2˚. Если 1*2+2*3+…+(n-1)n= , то

1*2+2*3+…+(n-1)n+n(n+1)= +n(n+1)= .

Пример 4.      Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение. 1˚. Сумма 1+2+3 делится на 9. Значит, утверждение справедливо, когда первым из трех последовательных натуральных чисел является 1.

2˚. Пусть сумма k+(k+1)+(k+2), где k-некоторое натуральное число, делится на 9. Сумма

(k+1)+(k+2)+(k+3)= (k+1)+(k+2)+k+9k+27k+27=[k+(k+1)+(k+2)]+9(k+3k+3)

Представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 9, а потому тоже делится на 9.

Пример 5.      Доказать,что sinx+sin2x+…+sinnx=.

Решение. 1˚.При n=1 утверждение справедливо.

2˚. Пусть sinx+sin2x+…+sinkx=.

Тогда sinx+sin2x+…+sinkx+sin(k+1)x=+sin(k+1)x=+2sincos==, ибо  2cossin=sin-sin.

Пример 6.       Доказать, что при любом натуральном n1    

.

Решение. Обозначим левую часть неравенства через S.

1˚. , следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

2˚. Пусть  при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем S=, .

Сравнивая S и S, имеем

, т.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .

Метод математической индукции применяется для раскраски карт. Я хочу рассказать об этом. Пусть на плоскости задана некоторая карта. Мы будем говорить, что она правильно раскрашена, если каждая её страна закрашена определенной краской, причем любые две страны, имеющие между собой общую границу, закрашены в разные цвета. Примером правильно раскрашенной карты может служить любая географическая карта. Всякую карту можно правильно раскрасить, например, закрасив каждую её страну в особый цвет, однако такая раскраска неэкономна.          Естественно, возникает вопрос, каково то наименьшее число красок, которым можно правильно раскрасить заданную карту. Ясно, что, например, карту, изображенную на рис. 2, можно правильно раскрасить двумя красками; для правильной раскраски карты изображенной на рис. 3, необходимы уже три краски. До сих пор не найдено ни одной карты, которую не удалось бы правильно раскрасить четырьмя красками. Впервые, по-видимому, обратил внимание на это обстоятельство известный немецкий математик Мёбиус более ста лет назад. С тех пор многие крупные ученые пытались решить эту проблему четырех красок, т.е. либо доказать, что четырех красок достаточно для раскраски любой карты, либо найти пример карты, которую четырьмя красками раскрасить нельзя, однако до сих пор этого никому не удалось сделать.

                           Рис.2                                                                                                      рис.3

Пример 7. На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.

Решение. 1˚. При n=1 утверждение очевидно.

2˚. Предположим, что наше утверждение справедливо для любой карты, образованной n окружностями, и пусть на плоскости задано n+1 окружностей. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу сделанного предположения можно правильно раскрасить двумя красками, например, черной и белой (рис.5). Восстановим затем отброшенную окружность и по одну сторону от неё (например, внутри) изменим цвет каждой области на противоположный (т.е. черный - на белый и наоборот); легко видеть, что при этом  мы получим карту, правильно раскрашенную двумя красками (рис.6).

                        Рис.5                                                                                     рис.6

Заключение.

В заключении я хочу сказать, что в своей работе я ставила задачи показать и разобрать на примерах широкое применение математической индукции в математике, причем не только в алгебре, но и в геометрии.  Я считаю, что поставленные задачи я выполнила.

Список  используемой литературы:

1.Тучнин Н.П. Как задать вопрос,1993.

2.Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?,1967.

3.Сборники «Математическое просвещение»,1957-961.

4.Соминский И.С. О математической индукции,1967.

Заявка

                 на участие в  Конгрессе молодых исследователей

1. Личные данные

А) Трофимова Мария Александровна

Б)  3.10.1990

В) Степана Разина,75-126, г.Тольятти, 445051

Г) паспорт серия 3605 №099298 выдан Автозаводским РУВД г.Тольятти Самарской обл. дата выдачи 21.01.2005

Д) МОУ лицей №67  класс 11 А

2. Информация о представленной работе

А) Название работы «Математическая индукция»

Б) секция: математика

В) ФИО соавторов (полные личные  данные)-

Г) Толмачева Ольга Герольдовна, учитель математики МОУ лицея №67.