Проет по алгебре "Иррациональные уравения"
проект по алгебре (9 класс) на тему

                       Муниципальное бютжетное общеобразовательное                                                                                                                                            

                          учреждение Зайцевская основная школа

                    Ярцевского района Смоленской области

Проект по учебному курсу «Избранные вопросы математики»

на тему

«Иррациональные уравнения»

                                Выполнила: ученица 8 класса      Элисова Елизавета 

                                Руководитель: Матюхова О.А.

 2018год

     Актуальность:

         В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, иррациональные и другие. Данная работа посвящена иррациональным уравнениям, методам их решения.

        С иррациональными уравнениями мы знакомимся в 8 классе на нескольких уроках, для более подробного знакомства с иррациональными уравнениями этого времени мало, поэтому я решила более детально познакомиться с такими уравнениями и методами их решения.

Цель исследования - обобщить и систематизировать информацию о приёмах решения иррациональных уравнений.

Предмет исследования - иррациональные уравнения, включенные в школьный учебник 8 класса, сборники задач.

Гипотеза исследования умение решать иррациональные уравнения.

Цель, предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:

1.Изучить литературу по данной теме.

2.Провести исследование и анализ имеющихся способов решения.

3.Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные.

4.Провести обобщение и систематизацию имеющего материала.

Методы:

1. Изучение различной литературы на данную тему.
2. Анализ теоретических источников.
3. Систематизация знаний по решению уравнений.
4. Обобщение материалов в литературе.

История иррационального числа

Термин “рациональное” (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин “соизмеримый” (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.

Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих “Началах” Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, “алогос” – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые,

 в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: “Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.”

Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя “Начала” Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли “арифметикой астрономов”. По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе “Ключ арифметики” ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих “приложениях к алгебре” (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление “Геометрии” Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

Методы решения уравнений:

1.Возведение обеих частей уравнения в степень.

               2.   Использование равносильных переходов.

               3.  Умножение левой части на сопряженное выражение.

               4.   Введение новой переменной.

Познакомимся с каждым из методов.

Возведение обеих частей уравнения в степень.

                   А  =  В           +    Проверка корней                                                                  

                                      (т.к. могут  появиться лишние корни)        

При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательна проверка.

При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Примеры:

 Примеры решения уравнений:

1.  =  х – 2                

2х – 1 = ( х – 2 )

2х – 1 = х - 4х + 4

х- 6х +5 = 0

Д = в- 4 ас = 36 – 4 ∙1∙5 = 16

х =  = 5                    х = = 1

 Проверка:  х = 1      = 1 – 2 неверно, т.к.  

                    х = 5        = 5 – 2  верно

  Ответ:       х = 5.

   2. Использование равносильных переходов.

    Примеры решения уравнений

1.     =  х – 2      

       Ответ:   х = 5.

   3.  Умножение левой части на сопряженное выражение.

 Если в левой части иррационального уравнения сумма или разность корней, а подкоренное выражение - линейная функция  одинаковыми линейными коэффициентами, а в правой  части некоторое число, то левую и правую части уравнения умножают на выражение,  сопряженное выражению в левой части  (  и    -  сопряженные)

Решить уравнение:                  

                             ()() = 4()

                                       х + 7 - х + 1 = 4()

                                         4() = 8

                      тогда  имеем    

                                                   2 

                                                       х + 7 = 9     х = 2

                Проверка:    

                                          3  + 1 = 4 верно      Ответ :      х = 2

  4.   Введение новой переменной.

1.         Решить уравнение:  ( х + 1) + 2

  Введем новую переменную  ,   t  0

                                                     х + 1 = t,       тогда

                                          t + 2 t = 15

                                          t + 2 t – 15 = 0   решая, получим  t = - 5     t = 3

                                                                х + 1 = 9

                                          х = 8  

                                            х  =

                                            х = -

                                      Ответ:       х  =

                                                        х =  

2.          Найти корни уравнения:    х -3х – 18 + 4

                                         Пусть    = t ,    t 0,   тогда

                                                       х -3х – 18 = t - 12

данное уравнение имеет вид:          t  + 4 t - 12  = 0   решая его,  имеем:

                          Д = в- 4 ас = 16 + 4∙ 12 = 64

                                            t = 2   и        t =   - 6  

т. к.  t 0       то  t = 2 .    

Тогда имеем :  

                             х - 3х – 6 = 4

                             х - 3х – 10 = 0, решая квадратное уравнение получаем

                                 х = 5    х = 2

 Выполнив проверку, получаем корни уравнения.

                    Ответ:        х = 5;   х = 2

  5.   Решить уравнение:      

Ни один из корней  и  не может принимать отрицательных значений. Поэтому ни при каких действительных значениях переменной х  сумма корней не может равняться – 2.

                      Ответ:  корней нет.

    Заключение и выводы

Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в квадрат или введением новой переменной.

Данная  исследовательская работа  познакомила меня с новыми уравнениями, которые имеют название иррациональные. Также я узнала методы их решения и  научилась  решать иррациональные уравнения этими методами.

Надеюсь, что это мне пригодится для дальнейшей учебы в старших классах.

Используемая литература:

 1) А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений - Москва: Издательство “Мнемозина”, 2015

  2) А.И.Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство “Педагогика”, 1972.

  3) А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство “Педагогика”, 1989.

        4) А.И. Замыслова. Подготовка к экзаменам. Ростов - на –Дону «Феникс»

                                                                                            2005