Решение задач на проценты
материал по алгебре на тему

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НИЖНЕЖИРИМСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

РЕФЕРАТ

Решение задач на проценты.

Выполнила: Овчинникова Надежда Иосифовна,

учитель математики и физики.

2017г.

В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, вкладчики интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. Именно в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредиты, налог на прибыль и т.д. – всё это проценты.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «со ста». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа.

Проценты были известны индийцам ещё в V в. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

Римляне брали с должника лихву (т.е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «на каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». Это можно назвать первым кредитом мира.

От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.

Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: cto.

В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо cto было набрано %. После этого знак % получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.

Умение выполнять процентные расчеты необходимо каждому человеку. Поэтому сюжеты задач взяты из реальной жизни.

1. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.

Решение:

Составим таблицу :

6,6 + х = (12+х)∙0,6
6,6 + х = 7,2 +0,6х
0,4х = 0,6
х = 1,5 кг

Ответ: 1,5 кг олова нужно добавить.

2. Морская вода содержит 8% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Решение:

Составим таблицу:

30∙0,08 = (30+х)∙0,05
2,4 = 1,5 + 0,05х
0,05х = 0,9
х = 18 кг

Ответ: 18 кг пресной воды.

3. Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей. После очистки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Решение:

Составим таблицу:

38∙0,25 – 8 = 30∙0,01х
9,5 – 8 = 0,3х
0,3х = 1,5
х = 5%

Ответ: 5% примесей.

4. Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба влажностью 45%?

Решение:

Составим таблицу:

255∙0,45 – х = (255-х)∙0,15
114,75 – х = 38,25 – 0,15х
х – 0,15х = 114,75 – 38,25
0,85х = 76,5
х = 90 кг воды
255 – 90 = 165 кг сухарей

Ответ: 165 кг сухарей.

5. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 4,5 кг сухих грибов?

Решение:

Составим таблицу:

(х+4,5)∙0,9 = х + 4,5∙0,2
0,9х + 4,05 = х + 0,9
х – 0,9х = 4,05 – 0,9
0,1х = 3,15
х = 3,15 : 0,1
х = 31,5 кг воды
31,5 + 4,5 = 36 кг свежих грибов

Ответ: 36 кг свежих грибов.

6. В два магазина по одинаковой цене поступил товар. Через неделю в первом магазине все цены были снижены на 10%, а через неделю подняты на 20%. Во втором магазине через две недели цены были увеличены на 10%. В каком магазине через две недели после поступления товара цена ниже?

Решение:

Пусть А – первоначальная цена товара. Через неделю в первом магазине все цены были снижены на 10%, то есть товар стал стоить 0,9А; а через неделю подняты на 20%, следовательно, новая цена товара 1,2(0,9А) или 1, 08А.

Во втором магазине через две недели цены были увеличены на 10%, значит, товар стал стоить 1,1А.

Ответ: в первом магазине цена товара ниже.

7. Цена входного билета на стадион составила 80 руб. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 25%, а выручка возросла на 12,5%. Сколько стал стоить входной билет?

Решение:

Пусть х − первоначальное число зрителей. Тогда 80х рублей – прежняя выручка. А – новая цена входного билета. Число зрителей увеличилось на 25%, то есть стало 1,25х. Тогда 1,25хА – новая выручка, и она возросла на 12, 5%, то есть 1,125(80х).

Получим уравнение 1,25хА=1,125(80х).

Или 1,25А=90, откуда А=72.

Ответ: 72 рубля.

8. Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта?

Решение.

Стоимость зонта в ноябре составила 85 % от 360 руб., т.е. 360∙ 0,85 = 306 (руб.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 руб., т.е. 306∙ 0,9 = 275,4 руб.

Ответ: 275 руб. 40 коп.

9. При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 руб. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Решение:

1) (4200 - 400)∙ 0,13 = 494 руб. - налог

2) 4200 – 494 = 3706 руб.

Замечание: при начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 руб., налог 13 % берется от оставшейся суммы.

Ответ: 3706 руб.

10.Заработок рабочего повысился на 20 %, а цены на продукты и товары снизились на 15 %. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

Решение:

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб. и пусть он покупает только какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20 % заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15 % 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить 12 : 0,85  14,1 (кг), т.е. на 4,1 : 10 = 0,41, т.е. на 41 % больше, чем прежде.

Ответ: на 41 % больше.

11. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 руб. 15 коп. вместо 2 руб. 27 коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %.

Решение: Разность тарифов составляет 0,4 руб., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545… Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5 %.

Ответ: да, соответствует.

12. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 руб. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение.

Так как 4 % от 250 руб. составляют 10 руб., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 руб. Если родители просрочат оплату на день, то им придется заплатить 250 + 10 = 260 руб., на неделю 250 + 10∙ 7 = 320 руб.

Ответ: 320 руб.