Открытый урок по теме "Теорема Виета", 8-й класс.
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

Открытый урок по теме "Теорема Виета", 8-й класс.

Шабанова Лариса Александровна,

учитель математики МБОУ СШ №11, г. Архангельск,

1 квалификационная категория.

Цель урока:  Формирование навыков применения теоремы Виета при решении квадратных уравнений.

Образовательные задачи:  

Закрепить умения решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Развивающие задачи:

 развитие познавательного интереса, внимания, памяти, логического мышления, умения анализировать условие задачи, развитие потребности и навыка совместного поиска решения, развитие устной речи.

Воспитательные задачи:

воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов, воспитание культуры работы с товарищем, воспитание умения выслушивать и уважать мнение других.

Оборудование: эпиграф урока на доске, портрет Ф. Виета, плакат «По праву достойна в стихах быть воспета…», рисунок светофора, черный ящик, витамины, сигнальные карточки, карточки для индивидуальной и групповой работы.

Тип урока: Урок закрепления изученного материала.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Целеполагание.

4. Устный счет.

5. Решение задач на применение теоремы Виета.

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие;

проверка готовности учащихся к уроку;

организация внимания учащихся. 

2. Этап проверки домашнего задания.

Выявление факта выполнения домашнего задания;

выявление причин невыполнения задания. Проверяют домашнюю работу консультанты на перемене, на уроке сообщают результат.

3. Целеполагание.

Ребята, вы любите решать кроссворды? Сегодня я вам приготовила кроссворд наоборот. На доске уже записаны слова по горизонтали. Вам надо придумать объяснение каждому слову.  После открытия ключевого слова (Виет) учащиеся формулируют цели и задачи урока. 

Кто же такой Виет? Писатель? Поэт? Может, это его стихи на доске записаны? Кому или чему посвящены эти стихи? Это мы узнаем на уроке, а сейчас послушаем рассказ о жизни Ф. Виета (сообщение учащегося). Приложение №1.

4. Устный счет.

На каждом уроке мы повторяем некоторые приемы устного счета. Сегодня вспомним умножение двузначных чисел на 11, возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 и интересный способ умножения древних индийцев (воздушный счет). Карточки для устного счета: 62·11, 48·11, 352, 852, 93·98.

5. Решение задач на применение теоремы Виета.

Вернемся к нашему кроссворду. Первое слово «квадратное». Дайте определение квадратного уравнения. Вся информация о квадратных уравнениях скрыта в коэффициентах. Многое нам уже открылось. Первое, на что мы обращаем внимание, это наличие или отсутствие корней. Что надо узнать для этого?

 Второе слово кроссворда «дискриминант». Расскажите все, что вы знаете о дискриминанте.  ( Этот термин ввел английский математик Д.Д. Сильвестр. Он назвал себя «математическим Адамом» за множество придуманных им терминов. Дискриминант по латыни –« различитель» ). Мы говорим, что дискриминант похож на светофор (На доске плакат светофора). Объясните. (Красный – корней нет, желтый – один корень, зеленый- два корня). Сколько корней имеет уравнение, записанное на доске? Каждый ответит с помощью сигнальной карточки. ( Зеленая, желтая или красная).

2x2+3x+8=0

2x2-9x+10=0

4x2+4x+1=0

Решите 2 и 3 уравнение. Поменяйтесь тетрадями. Взаимопроверка. Ответы на закрытой доске.

Третье слово кроссворда «приведенное». Дайте определение приведенного квадратного уравнения. Чосер, английский поэт средних веков, сказал: «Посредством уравнений, теорем, он уйму разрешил проблем». Выучив теорему Виета, мы тоже разрешили уйму проблем. Вы знаете, что решение некоторых уравнений требует сообразительности, а не формальных, так скажем «формульных» знаний. Их можно решить даже «в уме». Сформулируйте теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета. Решите уравнения, записанные на доске, ответы запишите в тетрадь. Самопроверка. Ответы на закрытой доске.

x2-6x+8=0         ( 2; 4 )

x2+9x+14=0      ( -2; - 7 )

x2-2x-15=0        ( 5; -3 )

Теорема Виета помогает устно решать не только приведенные квадратные уравнения. Посмотрите на уравнения, записанные на плакате.

2x2-3x+1=0

10x2+2x-12=0

-15x2+13x+2=0

55x2-485x+430=0

В чем особенность таких уравнений? (а+в+с=0). Как найти корни таких уравнений?

( x1=1, x2= c/a).

Устно решите данные уравнения, ответы запишите в тетрадь. Взаимопроверка. На следующем уроке мы научимся «в уме» решать квадратные уравнения, коэффициенты которых обладают свойством: а+с=в.

 А сейчас настало время для  физкультминутки.

 Мы знаем, что теорему Виета можно применять и для квадратных уравнений общего вида  ax2+bx+c=0.

Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:

 Чему будут равны сумма и произведение корней?

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе. Вывод этой теоремы запомним ещё лучше, если заполним пропуски в следующем стихотворении:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойстве корней теорема ____________

Что лучше, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни, и дробь уж готова:

В числителе “_________”, в знаменателе “а”.

И сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда

В числителе “_________”, в знаменателе “______”.

Теперь вы знаете, что эпиграф нашего урока посвящен теореме Виета.

Четвертое слово кроссворда «коэффициент».

Теорема Виета позволяет определять коэффициенты квадратного уравнения, зная его корни. Запишите квадратное уравнение, корни которого 11 и 25. Объясните, как это выполнить?

x1+x2=-p;   11+25=36

x1x2=q;     11·25=275

Искомое уравнение: x2-36x+275=0.

А теперь, внимание! (Ученик выносит черный ящик).

В этом черном ящике лежит уравнение, корни которого -4 и 5, а первый коэффициент равен 3. Запишите в тетрадях данное уравнение. Для проверки достанем карточку из черного ящика 3x2-3x-60=0.

У кого верный ответ? На другой стороне карточки написано слово «vita». Что обозначает это слово? (Латинское слово «жизнь»). А какое слово произошло от данного слова? (витамины). Витамины - это жизненно важные для организма вещества. Эти вещества содержатся в продуктах питания животного и растительного происхождения. Их достаточно много и каждый имеет свое название, иногда длинное и трудночитаемое. Поэтому в медицинской практике приняты буквенные обозначения этих веществ. Решите уравнения, записанные  на желтых карточках. Используя найденные множества решений и данные таблицы (зеленая карточка), соотнесите названия витаминов и их обозначения. Ознакомьтесь с другой полезной информацией о происхождении витаминов и их влияния на организм человека. Работаем в парах. Проверяем (самопроверка). Вы хорошо поработали, поэтому из черного ящика я достаю вам полезное угощение. Что это может быть? Правильно, витамины, которые повышают устойчивость организма к неблагоприятным факторам окружающей среды. Это аскорбиновая кислота. Крепкого вам здоровья.

6. Домашнее задание.

Сегодня на уроке почти все уравнения мы решали, используя теорему Виета. Мы знаем и другие способы. Перечислите их (разложение на множители, выделение квадрата двучлена, использование формулы корней).

 Дома решите квадратное уравнение, записанное на красной карточке, разными способами: х2+8х-9=0 . На следующем уроке мы проведем аукцион и узнаем, кто больше способов решения нашел.

7. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Продолжите фразу:

“ На уроке я узнал, что...”;

“ На уроке я повторил ...”

“ Я запомнил...”

А теперь оцените свою работу по следующим критериям:

Решил сам и помог товарищу – 5 (зеленая карточка)

Решил сам, но консультировался у товарища – 4 (желтая карточка)

Решил с помощью учителя – 3 (красная карточка)

Учащиеся сдают тетради, каждый получает оценку.

Завершим урок еще одним стихотворением:

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение q.

Приложение № 1.

Виет Франсуа.

1540 год - 14 февраля 1603 год.

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери.  Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Главный замысел ученого замечательно удался, началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».

   Мог ли ученый оказаться вне событий, которыми жило общество того времени? Конечно, нет! Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. Будучи хорошим ученым, он давал уроки знатным вельможам, поэтому оказался приближенным к королевской власти. Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового взгляда на строение солнечной системы не могли не увлечь его как  ученого. Для научного обоснования точки зрения ученых необходимо было сделать расчеты. Вот, поэтому, попутно с астрономией Виет углубился в математику. И достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные обозначения для известных чисел, так называемых параметров. До него процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме, т. е. без записи формул. Правда,  записи Виета были громоздкими, их позже облегчил также французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв принадлежала Виету, именно поэтому его называют «отцом математики».

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр  для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти  во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением его теоремы. Лучшего памятника ученому трудно придумать.