Решение задач с помощью систем уравнений
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему
Школьник учится составлять мат.модели (выбор удобных переменных, их обозначение, точное словесное описание, составление уравнений или их сиситем в соответствии с условием задачи)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок: Решение задач с помощью систем уравнений (математические модели реальных ситуаций)
(Учитель первой квалификационной категории Лемехова Г. М.)
Тип урока: урок общеметодологической направленности.
Цели урока:
- Сформировать умение применять системы уравнений при решении задач;
- Развитие познавательной деятельности учащихся на основе систематизации теоретических основ.
Задачи урока:
- Научить решать задачи с применением систем уравнений.
- Обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме.
Ход урока
- Организационный момент.
- Определение темы и задач урока.
Чтобы решать задачи, что мы должны знать?
Знать: как решать системы уравнений (алгоритмы решения), знать формулы
Что уметь?
Уметь: составлять системы уравнений, применять различные способы при решении систем уравнений.
3. Какие шаги надо выполнить при решении задач с помощью уравнений или систем уравнений?
Этапы решения текстовой задачи.
- Составление математической модели (выбор удобных переменных, их обозначение и точное словесное описание, составление уравнений или их систем в соответствии с условием задачи.)
- Работа с составленной моделью.(решение полученной математической задачи)
- Выбор тех решений, которые удовлетворяют условиям задачи (нахождение искомой величины и запись ответа).
Два подхода к решению задачи с помощью составления дробно-рационального уравнения или систем уравнения.
- В одном варианте менее сложный этап составления математической модели, но более сложная математическая модель, то есть более трудный этап решения полученной задачи.
- В другом варианте более сложный этап составления модели, но менее сложный этап решения.
- Поскольку объективно первый этап – этап составления модели труднее ( на этом этапе выполняется творческая работа, чем второй – этап решения модели ( на этом этапе выполняется техническая работа- работа по готовым алгоритмам), то более целесообразно упрощать именно первый этап – этап составления модели, то есть работать с двумя переменными.
Поскольку этап решения систем более простой (по алгоритму), то повторим алгоритмы решения систем уравнений .По принципу «от простого к сложному2
- Что повторить?
Решение систем: способом сложения, способом подстановки, графическим, способом замены переменных. Какой из этих способов дает погрешность, т.е. менее точный и поэтому нецелесообразно применять при решении задач?
Чтобы применить тот или иной способ, что надо знать?
Задание №1.
Повторим алгоритм, наиболее часто применяемый к решению систем уравнений.
Указать порядок выполнения в способе сложения и в способе подстановки
Карточка №1. | Карточка №1. | ||||
Вариант 1. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом подстановки | Вариант 2. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом сложения. | ||||
1 | А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | |
Б | Складывают левые и правые части уравнений. | 2 | Б | Складывают левые и правые части уравнений. | |
5 | В | Записывают ответ. | 5 | В | Записывают ответ. |
Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | 1 | Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | |
4 | Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную | 4 | Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную |
3 | Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. | 3 | Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. |
2 | Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | |
1-А, 2-Ж, 3-Е, 4-Д, 5-В | 1-Г, 2-Б, 3-Е, 4-Д, 5-В. | ||||
Взаимопроверка
1. Способ подстановки; 1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы; 2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы; 3). Решить получившееся уравнение с одной переменной; 4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную; 5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у). | 1. Способ подстановки; 1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы; 2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы; 3). Решить получившееся уравнение с одной переменной; 4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную; 5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у). |
Задание №2. Указать способ решения.
Карточка №2. Ф.И._________________________________________________________________________________________ | |||||
Задание . Указать способ решения. Поставить букву «С»-сложение или «П»- подстановка. (Возможен вариант –«С» и «П»), Что предпочтительнее? | |||||
1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
П | С и П | С и П | С и П | С и П | П |
Самопроверка.
*Что важно? Если можно выбрать и способ «сложение», и способ «подстановки», кто бы выбрал «сложение?» Почему?
Задание № 3. Решить в парах.
Решить систему уравнений методом подстановки:
| Решить систему методом сложения:
|
Самопроверка
5. Способы решения систем уравнений повторили. Переходим к подготовке первого этапа решения задач..
Какие типы задач нам встречались?
Исходя из этого ,что надо знать, чтобы составить мат. модель задач «на движение» или «на работу.?
Повторяем формулы, которые применяем при решении задач «на движение» и «на работу».
Задание №4. .
Указать «верно» или « неверно».
Карточка №3. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
- | ^ | ^ | - | ^ | - |
верно - « ^ « , неверно – « - » | |||||
Карточка №4. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
^ | - | - | ^ | - | ^ |
верно - « ^ « , неверно – « - » | |||||
Самопроверка
S | A | |||
V | t | p | t | |
Что может помочь при составлении математической модели?
Используем таблицу. Перед заполнением таблицы ответить на вопросы:
1. Какой процесс описывается в задаче? (движение, движение по реке, работа)
2. Какими величинами характеризуется процесс? (S,V, t, A, p)
3. Как связаны между собой величины? (S=Vt, A=pt)
4. Сколько реальных процессов описывается в задаче – столько строчек в таблице.
5. Значения каких величин известны?
6. Значения каких величин сравниваются?
7. Значения каких величин требуется найти.
8. Одну из неизвестных величин обозначить за х, другую через у. Выразить неизвестные величины через х и у, и известные величины. Используя одно из сравнений величин, составить систему уравнений.
Задание №5..
Заполнить таблицу и составить систему уравнений для задачи №1 или задачи №2 (на выбор)
К карточке №5
Задача №1 ( на «3»).
.Расстояние между пунктами по реке равно12 км. Лодка проходит этот путь по течению реки за 3 часа, а против течения реки за 4,5 часа. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.
.Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V |
| |||
1). по течению | x+y | 3 | 3(x+y) | 12 |
2). против течения | x-y | 4,5 | 4,5(x-y) | 12 |
К карточке №5. Задача №2 (на «5»)
Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, одновременно отправились 2 поезда и встретились через 6 часов. Если второй отправится раньше первого на 5 часов, то они встретятся через 3 часа. Найти скорость каждого поезда.
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 6 | 6х | 500 |
2 пешеход | у | 6 | 6у | |
Уравнение: 6х+6у=500 | ||||
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 3х | 3 | 500 |
2 пешеход | у | 8у | 3+5 | |
Уравнение: 3х+8у=500 | ||||
Взаимопроверка.
Задание №6..
Заполнить таблицу и составить и решить систему уравнений для задачи №1 или задачи №2 (на выбор)
К карточке №6.
.Задача №1.. «на 3».
Лодка прошла по течению реки 14 км за 2 часа, а против течения расстояние в 9 км.- за 3 часа. Какова собственная скорость лодки и скорость течения реки?
.Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1). по течению | x+y | 2 | 2(x+y) | 14 |
2). против течения | x-y | 3 | 3(x-y) | 9 |
Решение:
при х=5 у =7-5; у=2.
___________
3x = 6
x = 5
Ответ: 5 км/ч; 2 км/ч.
К карточке №6.Задача №2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | |||||
V | |||||
1 пешеход | х | 4 | 4х | 40 | 40- 4 |
2 пешеход | у | 4 | 4у | 40 | |
Уравнение: 4х+4у=36 | |||||
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 40 | 40:2 | |
2 пешеход | у | 40 | 40:2 | |
Уравнение: | ||||
Решение:
х=9-у у2-40у+180=0
Д=1681
-
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч.
Взаимопроверка.
Итог.
Кто удовлетворен своей работой?
В чем испытали трудности?
Что надо сделать?
Где сможем применить полученные знания7
Самоанализ:
Задание:
Продолжите предложение.
Мне важно правильно решать задачи, потому что…
Чтобы правильно решить систему нужно…
Домашнее задание. №7. 7., (7.14 на «4» или 7.17 «5» на выбор).,+ придумать задачу на движение (решаемую) .
Приложение.
Карточка №1 .Ф. И. _____________________________ | Карточка №1. Ф. И. _____________________________ | ||||
Вариант 1. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом подстановки | Вариант 2. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом сложения. | ||||
А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | ||
Б | Складывают левые и правые части уравнений. | Б | Складывают левые и правые части уравнений. | ||
В | Записывают ответ. | В | Записывают ответ. | ||
Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | ||
Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную | Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную | ||
Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. | Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. | ||
Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | ||
Ответ: | 1- , 2- , 3- , 4- , 5- | Ответ: | 1- , 2- , 3- , 4- , 5- | ||
Карточка №2. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
Задание . Указать способ решения. Поставить букву «С»-сложение или «П»- подстановка. (Возможен вариант –«С» и «П»), Что предпочтительнее? | |||||
Карточка №3. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
верно - « ^ « , неверно – « - » | |||||
Карточка №4. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
верно - « ^ « , неверно – « - » | |||||
Карточка №5. Задачи на выбор.
Ф,И,_____________________________________________________
Задание: составить систему уравнений.
Задача № 1.(на 3 )
Расстояние между пунктами по реке равно12 км. Лодка проходит этот путь по течению реки за 3 часа, а против течения реки за 4,5 часа. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки
V |
| |||
1). по течению | ||||
2). против течения | ||||
Система уравнений: | ||||
Задача №2.( на 5 )
Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, одновременно отправились 2 поезда и встретились через 6 часов. Если второй отправится раньше первого на 5 часов, то они встретятся через 3 часа. Найти скорость каждого поезда.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | ||||
2 пешеход | ||||
Уравнение: | ||||
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | ||||
2 пешеход | ||||
Уравнение: | ||||
Система уравнений: | ||||
Карточка №6. Задачи на выбор.
Ф,И,_____________________________________________________ Примечание: *Задача №1 (на «3») или задача №2 ( на «5») *Оценка «4» ставится, если полностью выполнена задача №1 и к задаче № 2 составлена система уравнений.
Задача.№1. «на 3».
Лодка прошла по течению реки 14 км за 2 часа, а против течения расстояние в 9 км.- за 3 часа. Какова собственная скорость лодки и скорость течения реки?
V | ||||
1). по течению | ||||
2). против течения | ||||
Система уравнений: | ||||
Задача №2. ( «на 5»)
Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый?
* Предварительно выполнить чертеж.
V | |||||
1 пешеход | |||||
2 пешеход | |||||
Уравнение: | |||||
V | ||||
1 пешеход | 40 | 40:2 | ||
2 пешеход | 40 | 40:2 | ||
Уравнение: | ||||
Система уравнений: | ||||
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок математики (алгебры) по теме: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».
Урок математики (алгебры) по теме: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени». Урок для учащихся 9 класса. Применение индивидуальных карточек на уроке помогает учащимся решать самостоят...
Решение задач с помощью систем уравнений с двумя переменными второй степени.
Презентация к уроку по математике 9 класс. Задачи на совместную работу и на использование формулы двузначного числа....
Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений
В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Для каждого...
Решение задач с помощью систем уравнений
Презентация "Решение задач с помощью систем уравнений", подготовленная по учебнику "Алгебра. 7 класс. Макарычев Ю.Н.". Прекрасно подходит учителям математики для использования на уроках. СКАЧАТЬ...
"Решение задач с помощью систем уравнений и систем неравенств"
Урок математики в 9 классе на тему "Решение задач с помощью систем уравнений и систем неравенств"....
Решение задач с помощью систем уравнений с двумя переменными.
Урок изучения нового материала в 9 классе....
Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9 класс . план-конспект.
План - конспект "Решение задач с помощью систем уравнений второй степени" составлен на основе требований ФГОС по математике для 9 класса. Урок познования нового материала с применением про...