1. Решение экономических задач по материалам вариантов ЕГЭ

по математике  под редакцией Ященко И.В. профильного уровня.

Введение.

В условиях современных требований к выпускникам средней школы при поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.

С 2015 года в него добавлено задание №17 – это экономическая (банковская) задача. Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В заданиях №17 рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли. Эти сюжеты условно можно разделить на два типа, использующих соответственно дискретные модели (вклады, проценты, погашения кредитов, о прибылях и убытках) и непрерывные модели (различные производства, протяженные во времени, объемы продукции). За правильное решение задания № 17 на ЕГЭ можно получить три первичных  балла.

В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их решении на собственном опыте.

Задачей данной работы является рассмотрение разных типов заданий под № 17 и их способы решения.

Цель данной работы: помощь при подготовке к ЕГЭ учителям и ученикам 11 классов.

Теоретическая часть

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Попробуем в них разобраться.

Прежде всего, нужно разложить условия задачи на последовательные действия. Очень важен порядок этих действий!

Например:

1. Взял кредит – сумма на количество лет.
2. Банк начислил проценты.
3. Внес периодическую плату по кредиту.

Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

4. Внес остаток долга – погасил кредит.

Теперь нужно математически выразить каждое наше действие, и очень важно соблюсти порядок, в котором эти действия происходят.

Пусть размер кредита равен S, процент банка p, а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

        а) если величину S увеличить на p% получится S∙(1+p/100);

        б) если величину S уменьшить на p% получим S∙(1-p/100);

        в) если величину S дважды увеличить на p% получим                                                                                        S∙(1+p/100)²;  

        г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S∙(1+p/100)³;

        д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то S∙(1+p/100)n.

Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту. Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K, размер долга равен S∙(1+p/100)-K.Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим: Р=1+p/100, тогда S∙Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:

(SР-K)∙Р-K;

Через три года: ((SР-K)∙Р-K)∙Р-K;

Через четыре года: (((SР-K)∙Р-K)∙Р-K) Р-K;

Через n лет: SРⁿ-K(Рⁿ+ Рn-1+Рn-2+Р³+Р²+Р+1).

 В скобках мы видим геометрическую прогрессию. Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы Р членов геометрической прогрессии, где В1 равен 1, а q равен Р.

Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:

                        Kn=

В нашем случае размер долга через nлет равен:

                        SРⁿ-K

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

• размер денежной суммы  -  S
• процент банка  - p,
• периодическая выплата банку (транш) – K
• временной период происходящих действий (года, месяцы) - n

Типы экономических задач

             Проработав материалы сборника вариантов ЕГЭ  под редакцией Ященко, я условно разделила все задачи на следующие типы:

1. Погашение кредита равными долями (платежами) в течении всего срока погашения – аннуитетный платеж.  Структура аннуитетного платежа такова, что изначально банк вынуждает вас оплатить проценты за весь период, а лишь потом приступить к активному погашению задолженности по основному долгу. По сути, при аннуитетных платежах получается, что банк забирает свой заработок в виде уплаченных процентов заблаговременно, ранее чем истекает полный срок пользования этими деньгами.
2. Погашение кредита неравными долями (платежами, траншами);
3. Равномерное изменение величины долга (дифференцированный платеж);
4. Задачи на оптимизацию.

Разберём задачи первого типа на погашение кредита равными платежами. Основным признаком этого типа в тексте задачи являются фразы: «выплатил долг четырьмя равными платежами», «ежемесячные выплаты не более 200 тысяч».

Объяснения у доски.

            Для начала краткая вводная задача. Допустим, мы взяли  два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору мы должны платить X рублей в месяц. Допустим, что кредит мы взяли по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только мы вышли из банка у нас в кармане два миллиона, и это и есть наш долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

1. 2м

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

K%=1+20/100=1,2

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. X рублей в месяц:

2м⋅1,2−X

Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

(2м⋅1,2−X)⋅1,2−X

И вновь мы вносим платеж в размере Х рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма задолженности еще раз увеличивается на 20%:

((2м⋅1,2−Х)⋅1,2−Х)*1,2−Х

И по условию за три месяца мы должны полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа наш объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

((2м⋅1,2−Х)⋅1,2−Х)*1,2−Х=0

Давайте решать. Желательно в подробностях отработать вычисления первой задачи, именно на этом этапе происходит наибольшее количество вычислительных ошибок.

(2м⋅1,2^2−Х⋅1,2−Х)⋅1,2−Х=0,

2м⋅1,2^3−Х⋅1,2^2−Х⋅1,2−Х=0

2м⋅1,2^3=Х⋅1,2^2+Х⋅1,2+Х

2м⋅1,2^3=Х*(1,2^2+1,2+1)

Перед нами  геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

2m⋅1,2^3=(1+1,2+1,2^2)

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

b1=1;q=1,2

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

S3=1⋅(1,2^3−1)/(1,2−1)

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами (b1;q) считается по формуле:

Sn=b1⋅(q^n−1)/(q−1)

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

2м⋅1,2^3=1⋅(1,2^3−1)/(1,2−1)

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна 1,2^3.

1,2^3=1,728

Переписываем наше выражение:

2м⋅1,728=1⋅0,728/0,2

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

2⋅1,2^3=1⋅(1,2^3−1)/(1,2−1)

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

КРЕДИТ * (%)^n=ПЛАТЁЖ *(-1)/(%-1)

Вот она, самая главная формула этого типа задач, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нас  в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а в совсем сложных от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа мы сможем полностью расплатится с банком.

   У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год вручную, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

     Чтобы научить детей отличать задачи данного типа, я задаю на дом просмотреть все 36 вариантов и выбрать номера с задачами данного типа. Что и предлагаю сделать Вам, уважаемые коллеги (транслируется на ДК поочередно задачи из мастер-класса). Отобранные номера задач предлагаю Вам решить сначала со мной, потом самостоятельно.

Решаем реальные задачи из вариантов сборника ЕГЭ  под редакцией Ященко.

Вариант 6.

       31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

КРЕДИТ * (%)^n=ПЛАТЁЖ *(-1)/(%-1)

9289000⋅1,14=x⋅(1,14−1)/(1,1−1)

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно x, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение 1,14:

1,14=(1,12)2=1,4641

(Решение в приложении)

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 31.

        31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%, затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

(Решение в приложении)

Вариант 17.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

(Решение в приложении)

Заключение

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.