11 класс. Тема: «Показательные уравнения».
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

11 класс.

Тема: «Показательные уравнения».

Цели урока: 

1. Образовательные: Обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала темы, создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.
2. Развивающие: Способствовать формированию умений, применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти, т.е. активизация познавательной деятельности и формирование творческого подхода к решению задач.
3. Воспитательные: Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям.

Методическая цель: Продемонстрировать применение дифференцированного разно уровневого обучения, логика смысловой модели.

Оборудование: Плакат с графиком показательной функции.

У учащихся на партах:

1). Оценочные листы;

2). Шкала оценок;

3). Тесты;

4). Раздаточный материал с разно уровневыми заданиями;

5). Плакаты с заданиями.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Повторение:

а). Задание с ошибкой.

б). Тестирование.

в). Рейтинговый опрос.

3. Изучение темы:

а). Монотонность.

б). Метод оценок.

4. Самостоятельная разно уровневая работа.
5. Подведение итогов урока.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель: Ребята, на прошлых уроках мы с Вами изучили показательную функцию, знаем свойства этой функции и ее график, умеем вычислять производную этой функции, рассмотрели разные виды и способы решения этих уравнений.

На уроке выполнили маленькую самостоятельную разно уровневую работу, Ваши оценки совпали с моими оценками Ваших работ.

Обратимся к логико-смысловой модели «Показательные уравнения».

Давайте вспомним, какие координаты мы заполнили (рассмотрели).

Определение: Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение a^x= b;

[a^f (x)= 1; a^f (x)= a^    ; a^f (x)= a^g (x)

[f (x)= 0;     f (x)=     ;         f (x)= g (x)                  

a^f (x)= b^g (x) –  простейшие примеры показательных уравнений.

Повторение по логико-смысловой модели.

К2 – уравнения, приводимые к простейшим;

К5 – показательно-иррациональные уравнения.

Ребята, еще какой способ решения рассмотрели:

• Графический способ – К6 

К6 (Уравнение вида a^y (x)= f (x) решается графически).

Учитель: Ребята, сегодня на уроке мы повторим способы решения показательных уравнений и продолжим изучение этой темы. Для решения рассмотренных уравнений применяются стандартные способы решения уравнений, но на практике часто встречаются более сложные уравнения, для решения которых применяются нестандартные способы решения уравнений. Сегодня на уроке мы заполним две оставшиеся координаты:

К7 – нестандартные способы решения;

К8 – смешанные уравнения.

I задание: «Проверь себя».

На доске записано уравнение:             2^  x= (1/2)^(2 – x)

Абитуриент дал такое решение. Согласны ли Вы с ним?

Проверьте задание.

О.Д.З. x > 0

2^  x= 2^(- (2 – x)) ⬄ 2^  x= 2^(x-2) ⬄   x= x – 2 ⬄ x= (x – 2)^2;  [x= (x – 2)^2

                                                                                                               [x – 2 > 0 => x > 2

⬄ x= x^2 – 4x + 4 ⬄ x^2 – 5x + 4= 0 ⬄ [x1= 4; x2= 1

Ответ: {1;4}

• При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Поэтому найденные корни следует проверить подстановкой в исходное  уравнение   Проверка: 2^  4= (1/2)^(2 – 4), 4= 4, что верно

2^  1= (1/2)^(2 – 1) => 2= ½, что не верно.

Ответ: {4}

Распространенной ошибкой является появление посторонних корней и отсутствие проверки.

2. Тестирование.

( по 4-м вариантам)

Правильные ответы: 

1). 2  

2). 3

3). 2 

4). 1

5). 4

Вариант I.

Задание №1.

В заданиях 1 – 3 укажите промежуток, содержащий все корни уравнения.

1. 5^(2x – 1)= 5^(3 – x)                         1б

Ответ: 1). (-4;0]  2) (1;2)  3). [2;4)  4). [4;5]  5). (6;8]

2. 3^(3x)= 1                                            1б

Ответ: 1). (-     ; -2)  2). (-2;0)  3). [0;3)  4). [3;4]  5). (5;6]

3. (4/3)^(4x – 1)= ¾                               1б

Ответ: 1). [-5;0)  2). [0;1]  3) (2;4)  4). [4;5)  5). [5; +     )

В заданиях 4 и 5 напишите значения выражения 5x – 1, где x – корень уравнения.

4. 2^(2x)= 128^(x – 1)                            2б

Ответ: 1). 6  2). 1  3). 34  4). 0  5). 20.

5. 2^(x + 3) + 2^x= 36                            2б

Ответ: 1). 4  2). –1  3). 0  4). 9  5). 5.

Задание №2.

Решите уравнения сведением их к квадратному уравнению.

1. 2 * 2^x + 4^x= 80                                2б

2. 2^(2x + 3) – 2^x= 7                             3б

Вариант II.

Задание №1.

В заданиях 1 – 3 укажите промежуток, содержащий все корни уравнения.

1. 3^(3x + 1)= 3^(x – 3)                         1б

Ответ: 1). (-     ;-2)  2). [-2;2]  3). (3;4]  4). [5;6)  5). [6; +     ]

2. (5/4)^(2x + 3)= 4/5                             1б

Ответ: 1). (-     ; -4]  2). (-3;-2)  3). [-2;0]  4). (1;7]  5). (8;9]

3. 5^(2x)= 1                                            1б

Ответ: 1). (-     ;0)  2). [0;5]  3). [5;7]  4). (8;9)  5). [9; +     )

В заданиях 4 и 5 напишите значения выражения 5x – 1, где x – корень уравнения.

4. 3^(3x)= 243^(x – 1)                            2б

Ответ: 1). 11,5  2). 0  3). 4,5  4). 8  5). – 4,5

5. 3^(x + 2) + 3^x= 90                            2б

Ответ: 1). 2  2). 0  3). 5  4). 9  5). 0.

Задание №2.

Решите уравнения сведением их к квадратному уравнению.

1. 4^x + 3 * 2^x - 4= 0                                2б

2. 2^(2x) – 5 * 2^(x +1) + 16= 0                3б

Рейтинговый опрос

Задания записаны на доске. Если вы готовы ответить на вопрос, то вы передаете мне  листочек с вашей фамилией, а я выберу, кого буду спрашивать .Цена вопроса: число учащихся – число листочков с фамилией. Отвечающий получает *** баллов.

1. Какие из данных функций являются монотонно воозрастающими, а какие – монотонно  убывающими?   Докажите свое утверждение в двух случаях  

а). y= 2^(1 – x);

б). y= 1 + 2^x;

в). y= (1/3)^(1 – x);

г). y= (2 -   3)^x;

д). y= (1/ (2 -   3))^x.  

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции (если они существуют).

а). y= 2 + 3^(1 + 2 * sin x);

б). y= (1/2)^(x^2 – 4x).

3. Выясните, какие из данных уравнений имеют решение, а какие не имеют  решений .

а). 2^ | x |=   3 – 1;

б). 3^ sin x= 1/ П;

в). 2^ (x^2 – 4x + 5)=   3;

г). 3^   3= tg 1.

Учитель: Некоторые показательные уравнения удается решить, используя свойство монотонности показательной функции. Это свойство применяется для всех монотонных функций.

Вспомним, какие функции являются монотонными (линейная, логарифмическая, показательная и т.д.).

Использование монотонности функций, входящих в уравнение, сильно упрощает техническую часть решения, а порой без него просто немыслимо решить задачу.

Обратимся к логико-смысловой модели, заполним I узелок координаты К7 – это монотонность.

Рассмотрим уравнения.

1. а). 2^x= 11 – x               Как можно решить это уравнение?

• Графически. Корень уравнения равен 3.

Для решения таких уравнений применяют теорему о корне.

Теорема (А). Пусть функция f возрастает (убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке, тогда уравнение f (x)= a имеет единственный корень в промежутке J.

б). 2^x + ½= -x               Перепишем в виде: 2^x= -1/2 – x,    x= -1.

в). 5^x= 27 – x

Теорема о «встречной» монотонности (А*). Пусть функция y= f (x) возрастает на промежутке I, а функция y= g (x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнения       f (x)= g (x) имеет на I не более одного корня.

Левая часть уравнения монотонно возрастает на R, а правая часть монотонно убывает на R, то по теореме о «встречной» монотонности уравнение имеет единственный корень x= 2.

2. Сумма и разность монотонных функций.

1). Сумма возрастающих (убывающих) функций – функция возрастающая (соответственно, убывающая) на их общей области определения.

2). Разность возрастающей и убывающей (убывающей и возрастающей) функций – функция, возрастающая (соответственно, убывающая) на их общей области определения.

а). 3^x + 4^x= 7,  x= 1

б). (1/25)^x – 36^x= 0,  x= 0

3). 3^x + 4^x= 5^x => Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Корень x= 2 «виден» сразу, но доказать единственность корня аналогично предыдущим случаям не удается, ведь в уравнении и левая, и правая части возрастают.

Разделив обе части на 5^x (при любых значениях x    5^x > 0), приходим к уравнению (3/5)^x + (4/5)^x= 1. По теореме «О корне» уравнение имеет не более одного корня.

Задания по вариантам:

1. 7^x + 24^x= 25^x, x= 2;
2. 12^x + 5^x= 13^x, x= 2.

4). 4^x – 3^x= 1. Одно решение легко найти подбором.

Докажем, что нет других корней.

Перепишем в виде:

4^x= 1 + (3^x)/(4^x)

1= (1/4)^x + (3/4)^x

Левая часть константа, а правая часть – убывающая функция, то x= 1 – единственный корень.

5). 2^x + x^3 – 12= 0

Методом подбора находим, что x= 2.

Рассмотрим функцию y= 2^x + x^3 – 12.

Ее производная y= 2^x * ln 2 + 3 * x^2 положительна при любых значениях x. Это значит, что на всей области определения функции функция возрастает. Следовательно, ее график пересекает ось x не более чем в одной точке.

Следующий способ -  Метод оценок.

Этот способ часто применяется при решении смешанных уравнений (показательно – логарифмических, показательно-тригонометрических и других уравнений).

Рассмотрим решение одного из них.

2 * cos x= 2^x + 2^ (-x);

Оценим левую часть: 2 * cos x < 2, т.е. не превосходит 2, а правая – не меньше 2, т.к. 2^x + 2^ (-x) > 2 (по неравенству Коши о среднем арифметическом и геометрическом).

Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2.

{2 * cos x= 2                                  

{2^x + 2^ (-x)= 2                    x= 0 – решение данного уравнения.

Самостоятельная разно уровневая работа.

После решения этого задания учитель дает правильные ответы, учащиеся меняются тетрадями и оценочными листами (взаимопроверка).

Решения заданий III уровня рассматриваются на доске.

Шкала оценок: 20 и более баллов – «5» («Молодец»).

                          18 – 19 баллов – «4» («Так держать»).

                          15 – 17 баллов – «3» («Подтянись»).

                          Менее 15 баллов – «2» («Должно быть стыдно»).

Подведение итогов урока.

а). Выставление оценок;

б). Примеры применения показательной функции в природе и технике:

в физике – радиоактивный распад, изменение атмосферного давления с изменением высоты, охлаждение тела;

в химии – цепные реакции;

в биологии – рост колоний живых организмов (в частности, бактерий)

• удержание корабля тросом;

• выбрасывание адреналина в кровь и его разрушение.

в). Задание на дом:   II уровень - №188*, 189* (VI раздел, Колмогоров)

                                   III уровень - №6.4.53, 6.4.54, 3.4.4, 3.4.42 (из сборника для поступающих в УГНТУ).

Резервный материал.

1. (  3)^ tg x= (3 *   3)/ (3^tg x);

2. (  2)^ (2 * cos x)= 1/ (2 * 2^cos x);

3. 2^ (3 * cos2x)= 4/   2;

4. 3^ (5 * sin (x/2))=   3/27.