Урок алгебры в 8 классе по теме: "Квадратные уравнения"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Учитель: Страмаус Евгения Александровна

Тема урока: “Квадратные уравнения и способы их решения” (8 класс)

Цели:

Деятельностная: организовать деятельность учащихся по изучению и первичному закреплению квадратных уравнений и способов их решения.

Содержательная: способствовать умению решать квадратные уравнения по общей формуле (через дискриминант).

Воспитательная: обеспечить условия для воспитания положительного интереса к изучаемому предмету; создать условия, обеспечивающие формирование у учеников навыков самоконтроля.

Ход урока:

Организационный момент.

Здравствуйте! Садитесь! Проверьте свою готовность к уроку. Сегодня к уроку алгебры предлагаю следующий эпиграф:

Кто ничего не наблюдает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(слайд 1)

А нам скучать не придется! Вы знаете, что во время торжеств и праздников вечернее небо озаряется цветными огнями. Немцы называют это зрелище фейерверк, а у нас в России – это салют. Сегодня на уроке вы создадите свой праздничный салют, закрашивая различными цветами искры взрывов после выполнения каждого задания. Я напоминаю, что означают цвета: зеленый – все понравилось и удалось, желтый – возникли трудности, красный – много непонятного.

Объявление темы урока и постановка цели:

-Ребята, что вы видите на экране? (дорожные сумки) (слайд 2)

-Их всегда берут с собой в путешествие. А в путешествие по жизни, что мы в сумках повезем? Конечно – знания! Предлагаю распределить уравнения в соответствующие сумки.

2-3(x+2)=5-2x

4x-5,5=5x

х2+3x-5=0

10x2+5x=0

25-100x2=0

х2-5=0

3x2-27=0

х2+6x-7=0

Т.к. мы с вами уже решали линейные и рациональные уравнения, значит тема сегодняшнего урока будет какая? (Квадратные уравнения)(слайд 3)

Т.к. тема «Квадратные уравнения», значит перед нами стоит какая задача? (научиться их решать). Правильно, но мы сможем частично решить эту задачу и рассмотреть несколько способов.

Каждый получил лист-тутеводитель в котором вы будете сегодня работать на протяжении всего урока, а дома его вклеите в тетрадь № 1.

В рабочих тетрадях запишите число и тему урока. (Я на доске)

Актуализация знаний:

Для того, чтобы научиться решать квадратные уравнения мы должны вспомнить:

-Что значит решить уравнение? (найти все его корни или установить, что их нет)

-Что называется корнем уравнения? (значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство)

-Повторим свойства уравнений (два свойства)

-Вспомним формулы сокращенного умножения (найди пару)

a2-b2=(a+b)(a-b)

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2= a2-2ab+b2

Изучение нового материала:

(слайд 4)- Вернемся к третьей дорожной сумке, где вы выписали квадратные уравнения. А что общего у этих уравнений? (в правой части стоит ноль, а в левой многочлен, есть слагаемое, где х2)

Можно сделать вывод, какое уравнение называется квадратным? И дать ему определение. Попробуйте сформулировать его самостоятельно. Откройте учебник на странице 123 и сравните ваше определение и в учебнике. (Один ученик читает и появляется на экране)(слайд 5)

Запишите определение в лист-путеводитель. Рассмотрим пример и назовем коэффициенты.

(слайд 6) В квадратном уравнении три слагаемых, а сравните с теми, что мы выписали. Ведь есть уравнения в которых меньше слагаемых. В таких уравнениях хоть один из коэффициентов b или с равен нулю. (слайд 7) Эти уравнения называются неполными квадратными уравнениями. Таким образом неполные квадратные уравнения – это уравнения одного из следующих видов:ах2=0,ах2+с=0,ах2+bх=0. Впишите в лист-путеводитель.

Выполним задание в листе-путеводителе: (слайд 8)

Назовите коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

5х2-14х+17=0

2/3х2+4=0

-х2+х+1/3=0

-7х2-13х+8=0

x2+25х=0

-х2-х=0

х-4х2-1=0

4/3х2+3+1/9х=0

Закрасили взрыв салюта(1)

 (слайд 9) Из списка выберите неполные квадратные уравнения. На самом деле мы уже решали уравнения такого вида, хотя и не говорили, что они квадратные. Предлагаю их решить.

(слайд10)

10x2+5x=0

5x(2x+1)=0

5x=0 или 2х+1=0

х1=0          2х=-1

                  х2=-1/2

Ответ: х1=0,х2=-1/2

УЭ (учебный элемент)

1)Разложить на множители;

2)Каждый множитель приравнять к нулю;

3)Решить два уравнения.

Закрасили взрыв салюта (2)

1 способ:

(слайд 11)

3x2-27=0 |: 3

х2 -9 =0

(x-3)(х+3)=0

х-3=0 или х=3=0

х1=3             х2=-3

Ответ: х1=3,х2=-3

УЭ

1)Свойство уравнения;

2) Разложить на множители

3)Каждый множитель приравнять к нулю;

4)Решить два уравнения.

Закрасили взрыв салюта (3)                            2 способ:

(слайд12)

3x2-27=0

3x2=27 |: 3

х2 =9 

х1,2=±

х1=3;  х2=-3

Ответ: х1=3,х2=-3

УЭ

1)Свойство уравнения;

2) Делим на коэффициент х;

3)Решаем уравнение вида х2=d.

Закрасили взрыв салюта (4)

А будут ли квадратными уравнениями данные? (слайд 13)

(х+5)2=4

(х-6)2=-9

(х+7)2=0

(да, т.к. если раскрыть скобки, то х будет в квадрате)

А нужно ли при их решении раскрывать скобки? Если понаблюдать, то эти уравнения похожи на уравнения вида х2=d. Скажите, как решаются такие уравнения? (извлечь корень из d.)  Можете предположить сколько корней имеет уравнение? (если d>0, то два различных корня, если d=0, то два равных корня, если d<0, то действительных корней нет) Решаем данные уравнения.

(слайд 14)

(х+5)2=4

х+5=±

х+5=2        х+5=-2

х1=-3        х2=-7

Ответ: х1=-3,х2=-7

(слайд 15)

(х+5)2=-9

Ответ: действительных  
                корней нет

(слайд 16)

(х+7)2=0

х+7=0

Х1,2=-7                

Ответ: х1,2=-7

Закрасили взрыв салюта (5,6,7)

Физминутка: (слайд 17)

А теперь, ребята встали

Быстро руки вверх подняли,

Повернитесь вправо, влево,

Тихо сядьте и за дело

(слайд 18) Как же нам решить оставшиеся уравнения? Существует метод выделения полного квадрата. В чем он состоит.(слайд 19)

х2+2x-3=0

х2+2х=3

х2+2х+1=3+1

(х+1)2=4

х+1=2   х+1=-2

х1=1          х2=-3

Ответ: х1=1          х2=-3

УЭ

1)Перенести свободное слагаемое в правую часть;

2) (х+1)2, значит к обеим частям прибавить 1;

3)Записать квадрат двучлена;

4) Решить уравнение вида х2=d

Закрасили взрыв салюта (8)

Но есть способ, который поможет решить любое квадратное уравнение. Для этого существует общая формула, она выглядит так:   (слайд 20)

Проверим вашу наблюдательность. Что вы заметили особенного в этой формуле?  Как видим, для нахождения корня, мы используем коэффициенты квадратного уравнения.

Особое место в формуле занимает выражение, стоящее под знаком корня. Оно называется дискриминант. Обычно дискриминант обозначается буквой D. Запишите в лист-путеводитель общую формулу и формулу дискриминанта . D=b2-4ac 

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чем его смысл?

Все очень просто. При решении уравнения по этой формуле мы можем определить количество коней. Возможны три случая: (слайд 21)

D>0 Уравнение имеет  два различных корня

D=0 Уравнение имеет  два равных корня

D<0 Уравнение не имеет действительных корней

Рассмотрим решение уравнения по этой формуле.(слайд 22)

2х2+3x-5=0

а=2, b=3, с=-5

D=b2-4ас

D=32-4·2·(-5)=9+40=49>0

х1,2=

х1,2=

х1=        1        х2=-2.5

УЭ

1)Определить
коэффициенты  а, b, с;

2) Вычислить дискриминант и определить количество корней;

3) Найти корни уравнения по общей формуле.

Закрасили взрыв салюта (9)

Обучающий тест:

Предлагаю закрепить полученую информацию, выполнив тест на листе № 2. (слайд 23)

1) Какое из данных уравнений не является квадратным?

а)2х-х2-8=0;                        в)3-х2=0;

б)4х2+х=4х-2;                г)х2-8х=х2.

2) Какие из данных уравнений являются неполными квадратными?

а)5х2-7х+12=0;                 г)х2-7=0         

б)х2+6х-7=0;                        д)х2+3х+5=0

в)2х2=0;                         е)х2-6х=0

3) Найдите коэффициенты а,b, с квадратного уравнения   х-2х2+7=0.

а)1,-2,7;                 в)0,-2,7;

б)-2,1,7;                г)другой ответ.

4) Найдите дискриминант уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение?

а)2х2-7х+12=0;   D= (-7)2-4*2*12=49-96=-47<0 действительных корней нет                 

б)х2+5х+2=0.   D= 52-4*1*2=25-8=17>0 два различных корня

Поменяйтеся с соседом тетрадями, сверьтесь с ответами на экране и поставьте оцену. Все правильно-«5», одна ошибка-«4», две ошибки-«3». Поднимите руку у кого «5», «4», «3». Закрасьте оставшийся 10 взрыв салюта.

Историческая справка: (слайд 24)

Обатите внимание на портреты математиков. Они здесь не случайно. Уравнения второй степени умели решать еще в Древненм Вавилоне во втором тысячилетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте. Среднеазиатский ученый Аль-Хорезми получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации.А как изучали квадратные уравнения остальные математики вы узнаете на последующих уроках.

Рефлексия :

Пришло время посмотреть на ваши фейверки. Могу сказать, что они оказались разноцветными. Это значит, что нам еще есть над чем работать.

Как вы считаете, мы справились с поставленной задачей на уроке?

Как думаете, сложно будет запомнить общую формулу корней квадратного уравнения?

Сколько спосов решения квадратного уравнения  вы узнали на уроке?

Предлагаю оценить вцелом, как прошел сегодня урок? Отлично, хорошо или неочень. Значит порадуем себя общим салютом. (слайд 25)

Домашнее задание:

Запишите домашнее задание: Т№1, № 423, № 426

                                Л-п решить ур-е 2 способа

Спасибо, дети, за урок! (слайд 26)

Лист-путеводитель

Тема урока:___________________________________________________________________

О: Квадратным уравнением называется уравнение вида_____________________________
______________________________________________________________________________

Пример:  2х2-х-1=0  а=____
                        b=____
                        с=____

О: Квадратное  уравнение ax2+bx+c=0 называется_______________, если хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю, а≠0.                           Пример

ах2=0

ах2+с=0

ах2+bx=0

5х2=0

2х2+7=0

-3х2+5x=0

№1 Назовите коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

5х2-14х+17=0                а=_____;b=_____;с=_____

х2+4=0                 а=_____;b=_____;с=_____

-х2+х+=0                 а=_____;b=_____;с=_____

-7х2-13х+8=0                а=_____;b=_____;с=_____

x2+25х=0                а=_____;b=_____;с=_____

-х2-х=0                 а=_____;b=_____;с=_____

х-4х2-1=0                 а=_____;b=_____;с=_____

х2+3+х=0                а=_____;b=_____;с=_____

№ 2 Решить неполные квадратные уравнения:

1)10x2+5x=0 (вынесение общего множителя)

2) 3x2-27=0 (разложение на множители или привести к уравнению вида х2=d)

№ 3 Решить уравнения:

1)(х+5)2=4

2)(х-6)2=-9

3)(х+7)2=0

№ 4 Решить уравнение методом выделения полного квадрата:

х2+2х-3=0

х2+2х=3

х2+2х+1=3+1

(х+1)2=4

х+1=2   х+1=-2

х1=1     х2=-3

Ответ: х1=1, х2=-3

Учебный элемент

1)Перенести свободное слагаемое в правую часть;

2) (х+1)2, значит к обеим частям прибавить 1;

3)Записать квадрат двучлена;

4) Решить уравнение вида х2=d.

Общая формула корней квадратного уравнения

Дискриминант  D=__________

D   0 Уравнение имеет  _________________________корня

D   0 Уравнение имеет  _________________________ корня

D   0 Уравнение _________________________________________корней

№ 5 Решить уравнеие используя общую формулу корней квадратного уравнения

2х2+3x-5=0

а=__, b=__, с=__

D=

D=

х1,2=

х1,2=

х1=                х2=

Учебный элемент

1)Определить
коэффициенты  а, b, с;

2) Вычислить дискриминант и определить количество корней;

3) Найти корни уравнения по общей формуле.

Ответ: х1=___, х2=___

Д.з: Решить квадратное уравнение х2+6х-7=0 двумя способами.

Ф.И.____________________________________________

Обучающий тест

1) Какое из данных уравнений не является квадратным? (ответ подчеркните)

а)2х-х2-8=0;                        в)3-х2=0;

б)4х2+х=4х-2;                г)х2-8х=х2.

2) Какие из данных уравнений являются неполными квадратными? (ответ подчеркните)

а)5х2-7х+12=0;                 г)х2-7=0        

б)х2+6х-7=0;                        д)х2+3х+5=0

в)2х2=0;                         е)х2-6х=0

3) Найдите коэффициенты а,b, с квадратного уравнения   х-2х2+7=0. (ответ подчеркните)

а)1,-2,7;                 в)0,-2,7;

б)-2,1,7;                г)другой ответ.

4) Найдите дискриминант уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение? (ответ напишите)

а)2х2-7х+12=0; ___________________________________________________________________  б)х2+5х+2=0.  ____________________________________________________________________

Оценивание: все правильно-«5», одна ошибка-«4», две ошибки-«3».

Ф.И.____________________________________________

Обучающий тест

1) Какое из данных уравнений не является квадратным? (ответ подчеркните)

а)2х-х2-8=0;                        в)3-х2=0;

б)4х2+х=4х-2;                г)х2-8х=х2.

2) Какие из данных уравнений являются неполными квадратными? (ответ подчеркните)

а)5х2-7х+12=0;                 г)х2-7=0        

б)х2+6х-7=0;                        д)х2+3х+5=0

в)2х2=0;                         е)х2-6х=0

3) Найдите коэффициенты а,b, с квадратного уравнения   х-2х2+7=0. (ответ подчеркните)

а)1,-2,7;                 в)0,-2,7;

б)-2,1,7;                г)другой ответ.

4) Найдите дискриминант уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение? (ответ напишите)

а)2х2-7х+12=0; ___________________________________________________________________  б)х2+5х+2=0.  ____________________________________________________________________

Оценивание: все правильно-«5», одна ошибка-«4», две ошибки-«3».

Ф.И.____________________________________________

Обучающий тест

1) Какое из данных уравнений не является квадратным? (ответ подчеркните)

а)2х-х2-8=0;                        в)3-х2=0;

б)4х2+х=4х-2;                г)х2-8х=х2.

2) Какие из данных уравнений являются неполными квадратными? (ответ подчеркните)

а)5х2-7х+12=0;                 г)х2-7=0        

б)х2+6х-7=0;                        д)х2+3х+5=0

в)2х2=0;                         е)х2-6х=0

3) Найдите коэффициенты а,b, с квадратного уравнения   х-2х2+7=0. (ответ подчеркните)

а)1,-2,7;                 в)0,-2,7;

б)-2,1,7;                г)другой ответ.

4) Найдите дискриминант уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение? (ответ напишите)

а)2х2-7х+12=0; ___________________________________________________________________  б)х2+5х+2=0.  ____________________________________________________________________

Оценивание: все правильно-«5», одна ошибка-«4», две ошибки-«3».