Авторская программа "Решение уравнений с параметрами" для 9 класса
рабочая программа по алгебре (8, 9 класс) на тему

Авторская программа

Тема: «Решение уравнений с параметрами»

(Элективного курса по математике в 9 классе)

Учитель первой квалификационной категории

Касаева Нурия Салаховна.

Пояснительная записка

              В учебниках по математике мало внимания уделяется решению задач с параметрами, в то время как для сдачи экзамена необходимо умение решение данных задач.

             Курс по выбору для предпрофильной подготовки учащихся 8-9х классов основной школы посвящен решению задач с параметрами. Этот курс является пропедевтическим по отношению к профильному курсу, который имеет более высокий уровень. Наличие такого курса в учебном плане повышает вероятность того, что выпускник после 9-го класса сделает осознанный и успешный выбор профиля, связанного с математикой.

            Программы предметно ориентированных курсов по выбору включают расширение отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки. Поэтому целесообразно включение предметно ориентированного курса по выбору «Уравнение с параметрами» в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике. Он дополняет базовую программу, не нарушая ее целостности.

            Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам. Это и неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами. Но таким задачам следует уделять больше внимания. Они представляют математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

             Представляется целесообразным начинать изучение уравнений с параметрами с решения простых уравнений без ветвлений. Такие упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

             В качестве второго шага на пути изучения уравнений с параметрами можно выделить решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.

             Несложные уравнения с параметрами, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляют следующий шаг в изучении уравнений с параметрами.

             Иногда различным значениям параметра соответствуют уравнения различной сложности. Этим обстоятельством можно воспользоваться для дифференцированного подхода к учащимся.

             Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический – этому будет посвящен следующий блок программы.

             На заключительном этапе рассматривается блок решений задач с параметрами, сводящихся к квадратным уравнениям.

             Содержание курса позволяет ученику любого уровня подготовки активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

           Технологии, используемые в организации предпрофильной подготовки по математике, должны быть деятельно-ориентированными, чтобы способствовать процессу самоопределения учащихся и помочь им адекватно оценить себя, не занизив уровня своей самооценки.

          Основой проведения занятий может служить технология деятельного метода, которая обеспечивает системные включения ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение.

        Цель курса – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с параметрами.

        Задачи курса:

1. Познакомить учащихся с видами уравнений с параметрами.
2. Развивать способности учащихся к исследованию параметра.
3. Предоставить учащимся возможность проанализировать свои способности при решении задач с параметрами.
4. Учить ребенка соединять воображение с логикой.
5. Предоставить учащимся возможность самим придумывать уравнения с параметрами.

       Курс ориентирован на предпрофильную подготовку учащихся по математике. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными вопросами алгебры, проверить способности к математике.

        Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет школьнику оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

        Административной проверки усвоения материала курса «Решения задач с параметрами» не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные контрольные работы.

        В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный курс. В свою очередь, учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень подготовки по следующим вопросам: решение линейных уравнений с параметрами, решение квадратичных уравнений с параметрами, решение уравнений с параметрами графическим методом.

        Формой итогового контроля может стать обучающая самостоятельная  работа, тесты или защита задач с параметрами, придуманных самими учащимися.

        Данный элективный курс предполагает 18 тематических занятий.

Учебно-тематический план

Содержание курса и дидактические материалы

Тема 1. Линейные уравнения с параметрами

          Прежде, чем ввести понятие «параметры», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре, обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.

          Предлагаем учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим заданиям надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодиться при решении задач по физике, где требуется сначала составить буквенное выражение и только затем подставить численные значения.

           Повторить на простых примерах, что такое уравнение.

            При решении уравнений типа 2х - х = - 1; 14х =  - 4; 3- 3х = 1 обратить внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти через число. Запишем все рассмотренные нами уравнения в общем виде.

            Покажите, что в уравнение помимо неизвестного могут быть введены и другие буквы и буквенные выражения, например: ах = а – 1; (b+2)x=(b+2)- 1; k2x= k2 – 1.

            При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения.

Тема 2. Решение квадратных уравнений с параметрами

1.Предварительные замечания

            Уравнения вида mx2+px+q=0,

Где х – неизвестное, m,p,q – выражения, зависящие только от параметров и m≠ 0, называется квадратным относительно х.

             Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых m,p,q – действительны.

             Например, уравнение mx2+3mx – (m+2)=0

Имеет смысл при любых вещественных значениях параметра m. При m=0 оно принимает вид 0x2 +0x-2=0  и не имеет корней. При m≠0 оно является квадратным. И если при этом m(13m+8)≥0, т.е. m≤ - 8/13 или m>0, то оно имеет два действительных корня:

x=1/2m [- 3m±√m(13m+8)].

Допустимыми значениями параметра c в уравнении

√c-2x2- (c-1)x+ √c-2=0

служат все числа, удовлетворяющие  условно с ≥2.

При с=2 оно имеет корень х=0.

При с>2 оно является квадратным и имеет два корня:

  х1 = √с-2; х2=√с-2/с-2. 

2. Теорема Виета

Между корнями х1  и х2 квадратного трехчлена ах2+bx+с и коэффициентами существуют соотношения:

 х1+х2=- b/а;                     х1х2=с/а.

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

Теорема 1.

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

D=b2-4ac≥0,                              х1х2=с/а>0,

При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

 х1+х2=- b/а>0,

и оба корня будут отрицательны, если х1+х2=-b/а<0.

Теорема 2.

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

D=b2-4ас>0,                                   х1+х2=с/а<0,

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если х1+х2=- b/а >0, если же х1+х2= - b/а<0, то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

Тема 3. Графический способ решения уравнений с параметрами.

                Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

                При решении задач с параметрами иногда удобно, а иногда просто необходимо строить графики. Иногда рассматриваются графики в обычной плоскости, а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а а – параметр. Это прежде всего возможно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того, эскизы графиков помогают наглядно увидеть и «ход» решения (задача 244).

Список используемой литературы

1. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена . М.: Айрис-пресс, 2006.-272 с.
2. Тырымов А.А. Методическое пособие для поступающих в ВУЗы по математике. Часть 3. Волгоград: Издательство «Учитель», 1997. – 55с.
3. Фадеева О.М. Сборник программ курсов по выбору по математике и информатике для предпрофильной подготовки учащихся. М.: Глобус, 2007. – 152 с.
4. Юрченко Е.В. Тематическая рабочая тетрадь для восстановления базовых знаний. Линейные уравнения и линейные выражения. Системы линейных уравнений. М.: Айрис-пресс, 2007. – 48 с.
5. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей. М.: «Просвещение», 1972. – 128с.