Решение задач методом составления уравнений. Методические рекомендации.
статья по алгебре (7 класс) на тему

  МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА – ДЕТСКИЙ САД КОМБИНИРОВАННОГО ВИДА №6

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА»

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ

 СИМФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

«Решение задач методом

составления уравнений»

Подготовила учитель математики Снегирёва М.Ю.

Симферополь 2017

          Решение задач методом составления уравнений

В методической литературе, в практике лучших учителей большое внимание уделяется воспитательной задаче обучения математике, формированию и развитию мышления обучающихся, выработке рациональных качеств мышления (порядка точности, краткости, схематичности).

Особое значение при этом приобретает выработка общих и специальных методов решения задач, формирование умений и навыков математической обработки различных фактов реальной жизни.

Наука и жизнь требует от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества. Очень важно научить обучаемых необходимым приемам рассуждений.

Важно не только сообщить учащимся сведения об этих приемах и методах, но и добиться того, чтобы приобретенные знания о методах обучающиеся знали и умело применяли. В современных учебниках и сборниках для учащихся недостаточно указаний, касающихся обще логических и специальных методов познания, применяемых в школе.  

1.Идеи и принципы содержания и методики решения задач.

Обучение учащихся решению задач содержит в себе две важные составные части: выполнение подготовительных упражнений и решение текстовых задач.

В процессе обучения решению задач обучающиеся должны в известной мере овладевать основными идеями школьной математики, а именно:

функциональной зависимости;

равенства, неравенства;

тождественных преобразований;

соответствия, порядка, расположения;

непрерывности;

доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм и количественных соотношений в них;

применимости числа и меры к явлениям окружающегося мира.

Система работ по формированию у школьников умений и навыков выполнение подготовительных упражнений и решения задач должна строиться:

1.Гносеологический принцип познания- единство анализа и синтеза.

2. Методико-математические принципы: идейно-теоретическая направленность в обучении, особенно использование идей функциональной зависимости.

Овладение логическими и специальными методами познания, применяемыми при изучении математики в школе, особенно методами исследования различных процессов на основе учета всех возможных разновидностей данной ситуации, всех возможных соотношений между величинами, входящих в задачу.

Конструктивный подход к решению задач. Перспективный подход к решению задач, принцип обратной связи.

Повторяемость упражнений по спирали с постепенным усложнением, включением новых знаний в систему ранее приобретенных.

Самостоятельность выполнения упражнений, каждым учеником, внедрение элементов индивидуализации обучения детей в коллективе.

Самообучение и взаимное обучение в сотрудничестве.

Задачи школьной математики сводятся к небольшому числу зависимостей, которые приводят к нескольким типам уравнений.

Некоторые авторы указывают следующие виды уравнений, к которым сводится решение задач методом составления уравнений первой степени.

1-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнениям вида f(x)= c.Например, ах+в=с.

Задачи этого типа тесно связаны с арифметическими задачами на зависимость между компонентами и результатами действий. Сюда относятся и задачи на деление с остатком.

2-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнению вида: f(x)=g(x). Например, ах+в=сх+d.

Эти задачи алгебраического характера.

3-й тип задач. Задачи, приводящие к разностному и краткому сравнению величин путем сопоставления значений двух алгебраических выражений однородных величин. Решение таких задач приводит к уравнениям вида:

а) f(x)=g(x+m). Например, ах+в=(сх+d) +m;

б) f(x)=kg(x). Например, ах+c=k(сх+d);

В некоторых пособиях третий тип рассматривают как варианты второго типа.

Задачи школьной математики, приводящие к квадратным уравнениям, в своей основе содержат комбинации двух линейных функций и их произведений, а также соотношения между функциями второй степени, аналогичные соотношениям, приведенным в трех типах задач для уравнений первой степени.

Функциональный подход к решению задач будет содействовать формированию у обучающихся умений и навыков в исследовании процессов реальной жизни, развитию их функционального мышления, способностей в анализе и синтезе, в индукции и дедукции. Без функционального подхода мы волей-неволей будем учить лишь решению отдельных задач, в итоге учащиеся из-за этих задач не увидят математики, ее идей и методов. Особое значение в развитии функционального мышления имеет составление таблиц, схем, графиков, диаграмм и формул.

2.Организация процесса обучения школьников при решении задач.

Рассматривая содержание и методику подготовительных упражнений, мы должны ответить на вопросы:

1. Какие упражнения следует выполнять?
2. Зачем их выполнять?
3. Когда их выполнять?
4. Как при этом будут работать дети, какие качества при этом у них будут воспитываться?

Что и зачем выполнять? Подготовительные упражнения можно разбить на две группы:

1. Система упражнений, не связанных с изучением текущего материала. Цель таких упражнений- систематическое повторение основных фактов и теоретических положений, уяснение логики и структуры изучаемой дисциплины.
2. Система упражнений, преследующих подготовку обучаемых к решению составных задач, с которыми обучающиеся ранее не встречались.

Эти два положения отвечают на первые два вопроса, что выполнять и зачем выполнять.

Важное значение для составления уравнения по условию задач имеют навыки и записи алгебраических выражений, равенств, неравенств с целью уяснений основных понятий и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то, процент, отношение.

Для отработки этих понятий и соотношений между ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений во всех классах основного общего образования. Существенно важно, чтобы упражнения носили не только абстрактный характер, но и характер практически реальных задач.

Полезно, чтобы каждый ученик приобрел умения и навыки записи под диктовку учителя алгебраических выражений, соответствующих сущности основных понятий, зависимостей и соотношений. Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Упражнения такого рода важны для уяснения учащимися сущности функциональной зависимости, аналитического выражения этой зависимости, развития функционального мышления.

Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.

1. Скорость равномерного движения тела v, время движения t, путь s. Запишите формулы для определения s, v, t.
2. Цена товара К, количество m, стоимость c. Запишите формулы зависимости между c, m, К.
3. Производительность труда n, время работы t, объём выполненной работы А. Выразите зависимость между формулами для А, n и t.
4. Приняв объём работы за 1, запишите формулу зависимости между производительностью n, временем необходимым для выполнения этой работы, t и объёмом работы 1.
5. Мощность двигателя w, время работы t, работа А. Выразите зависимость формулами для А, w и t.
6. Расход горючего на 1км пути составляет n л/км, пробег машины s км, объём израсходованного горючего v л. Выразите зависимость формулами для v, s и n.
7. Резервуар объёмом V наполняется трубой за t ч, производительность трубы n л в час. Выразите зависимость между величинами V, n и t.
8. Вкладчик внес в кассу, а руб. по 3% годовых. Выразите его капитал через год формулой, обозначив этот капитал буквой А.
9. Вкладчик внес в банк, а руб. по р% годовых. Выразите его капитал через год обозначив этот капитал буквой К.
10. 10.Выразите зависимость между массой m, объёмом V и плотностью d. Запишите выражения для каждой величины.
11. При делении 20 на 6 в частном получается 3 и в остатке 2. Свяжите все эти числа формулой. Выразите каждое число через другие.
12. Выразите формулой зависимость между делимым, а, делителем в, частным g и остатком r.Выразите каждое число через остальные.
13. Составьте эскизы известных фигур и запишите формулы для вычисления их площадей, обозначив стороны основания   буквами, а и в, высоту буквой h, радиус r, площадь S с соответствующими индексами, например, площадь треугольника S3.
14. Запишите формулы для вычисления объёмов известных тел, составив предварительно эскизы и обозначив необходимые элементы.
15. Урожай с одного гектара a ц/га, площадь S га, вес урожая Р ц. Выразить зависимость между, а, S и Р формулой.

  В отдельных упражнениях целесообразно указывать наименование величин.

  Подготовительные упражнения полезно выполнять во всех разделах школьной математики в сочетании с изучением текущего материала.

  Перед решением сложных задач полезны постепенно усложняющиеся упражнения, приводящие в конечном итоге рассматриваемому типу задач. Главным в этих упражнениях следует считать выявление закономерностей, установление функциональной зависимости, выражение этой зависимости формулой.

  Рассмотрим несколько задач, при решении которых выявление закономерностей приводит к необходимому уравнению.

Задача. При выпечке ржаного хлеба припек составляет 0,3 массы взятой муки. Сколько муки нужно взять, чтобы получить 26 кг печеного хлеба?

   В задаче очень важно установить функциональную зависимость между весом муки, весом печеного хлеба и припеком.

В этих целях полезно составить следующую таблицу, отражающую своеобразный эксперимент по составлению задач.

   Во втором и последующих случаях результаты записываются на основании пропорциональности веса хлеба и муки.

В итоге проведенного исследования получается общая формула для решения прямой и обратной связи. Рх=1,3*Рм ,  Рм=Рх/1,3

 Она же дает возможность определить коэффициент пропорциональности и процент припека К из формулы Рх=К* Рх

Сам процесс решения таких задач способствует тому, чтобы учащиеся овладевали идеей функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, методами и техникой расчетов.

Можно высказать одно общее пожелание учителям: прежде чем приступить с учениками к решению составной задачи, целесообразно на уроке составить вместе с ними аналогичную   задачу из основных простых, комбинируя и усложняя последние. Тот, кто научился хорошо строить, будет хорошо разбирать построенное без лишних потеть времени и сил.

    Когда выполнять подготовительные упражнения?

Упражнения, не связанные с изучением текущего материала, направленные на усвоение основных фактов, идей и методов, целесообразно выполнять систематически с определенной повторяемостью, по спирали. Обогащая известное новыми фактами. Из опыта работы учителей установилось правило каждый   вид основных упражнений повторять ежемесячно. Не следует стремится к тому, чтобы подобные упражнения выполнялись на каждом уроке, но и нецелесообразно делать чрезмерно длительные перерывы в их выполнении. В зависимости от содержания урока упражнениям отводится различное время. Если урок посвящен изучению нового материала, то повторительные упражнения можно отнести на конец урока. На уроках закрепления материала такие упражнения целесообразно давать в начале урока. В некоторых случаях подобные упражнения можно включать небольшими порциями в изложение материала урока.

Как выполнять упражнения? Как при этом будут работать дети?

Существуют различные способы и приёмы активизации выполнения упражнений каждым учеником.

Если учитель диктует условие и предлагает ученикам кратко в символической форме записать его, то при этом почти не бывает неработающих детей. Для учащихся фиксирование условия является своеобразным включением в работу. В этот период каждый из них мобилизует свои чувства и мышление на дальнейшую активную работу.

Например, учитель диктует: Найти число ,2/3 которого равны 12,6. После слов учителя «Найти число» дети пишут в своих тетрадях: х; после слов «2/3 которого» они пишут: х* 2/3; наконец, записывают: х*2/3=12,6

Таким образом, некоторая часть работы уже выполнена самостоятельно, остаётся ее продолжить. Хорошо известная истина- трудно начало дела. Когда начало положено, то дальнейшая работа уже совершается с определенным интересом. Поэтому после записи условия пример решают все обучающиеся.

Вместо диктанта полезно во многих случаях записывать условие задачи на доске в словесной форме. Учащиеся записывают его в символах в своих тетрадях и затем выполняют действия.

Во многих случаях условие может быть изображено учащимися с помощью чертежей и других иллюстраций. Например, пусть решается задача: Определить сторону квадрата, если с увеличением одной из его сторон на 2 см, а другой на 3 см. Площадь полученного прямоугольника будет на 21 см2 больше, чем площадь квадрата. После слов «определить сторону квадрата» рисуют квадрат и пишут на его сторонах: х. После слов «с увеличением одной стороны на 2см, а другой на 3см» учащиеся чертят прямоугольник, на сторонах   которого пишут «х+2 и х+3». Затем внутри фигур пишется формула для вычисления площади, и затем задача решается. Такой порядок решения задачи дает возможность учащимся ощутить и образно представить величины, входящие в задачу, и зависимость между этими величинами. После записи условия в краткой форме учащиеся выполняют задание устно, а в необходимых случаях письменно.

Таким образом, можно наметить следующую схему выполнения упражнений: Сообщение текста учителем, символическая запись учащимися условий, устное или полу письменное решение, запись ответа, проверка решения учителем, или взаимная проверка решения учащимися, или самостоятельная проверка решения.

При любом способе выполнения упражнения оно должно быть проверено самим учеником по контрольным ответам, записанным на доске, или учителем. Если упражнения даются с целью повторения и воспроизведения знаний, то полезно организовать взаимную проверку; если же учитель хочет выставить оценки за упражнения, то проверять должен сам.

Логико-психологические этапы решения задачи.

Правило решения задач.

Надежность деятельности ученика к решению задач обуславливается его умением выбора нужных операций, приводимых к получению нужного результата. Выбор операций, определяется структурой задачи, а также сформированностью приёмов умственной учебной деятельности обучающихся. Из этого вытекает необходимость расчленения задачи на составные элементы, отбор и составление этих элементов в ином плане, обеспечивающем активную работу учащимся. Из этого также вытекает необходимость разделения хода решения задачи на отдельные логико- психологические этапы, каждый из которых представляет собой определенную законченную часть решения задачи, дающую возможность осуществить операции следующего этапа.

В логико- психологическом плане такие этапы, содержащие определенные рекомендации, представляют собой программу деятельности учащихся, вызывающую соответствующие операции на уровне познавательных компетенции восприятия и мышления.

Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов или общих указаний по поиску решения задач, по всей видимости, трудно организовать процесс обучения детей, ибо этот процесс имеет своими частями подражание и творчество.

В каждой задаче имеются явные и неявные данные и зависимости между величинами. Явные данные и зависимости психологически представляют собой сильные раздражители. Неявные данные, и особенно неявно выраженные зависимости, являются слабыми раздражителями, и поэтому дети в процессе решения задач часто не учитывают их, пропускают и как итог не справляются с решением задач.

Одна из важных задач учителя как раз и заключается в том, чтобы научить детей делать неявное явным, слабые раздражители сильными, научить детей выявлять и учитывать все данные и зависимости условия задачи.

Процессы реальной жизни характеризуются величинами, между которыми существуют определенные зависимости. Поэтому целесообразно научить детей начинать решение всякой задачи с установления процессов, описываемых в задаче, затем выявлять величины, характеризующие каждый процесс, уяснить функциональную зависимость между величинами.  Все это представляет анализ задачи на функциональной основе, своеобразную теорию задачи.

Установление процессов, выявление величин и уяснение функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, поможет учащимся неявно выраженные данные и зависимости сделать явно выраженными, подготовить базу для решения задачи.

Выделим следующую схему и основанные на ней рекомендации.

1. этап. Анализ и собственная запись условия задачи. Анализ чертежа, если он необходим и построен. Сюда относятся: а) установление объекта наблюдения (исследования);

б) выделение процессов, подлежащих рассмотрению;

в) выявление величин, входящих в каждый процесс;

г) уяснение функциональной зависимости между величинами и составление формул этой зависимости;

д) схематическая запись условия задачи с обозначением неизвестных величин.

2. этап. Выявление оснований для составления уравнения или системы уравнений.
3. этап. Составление уравнения или системы уравнений.
4. этап. Решение уравнения или системы уравнений.
5. этап. Исследование корней уравнения (системы) с целью установлений решений задачи. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.
6. Запись ответа.
7. Анализ решения задачи. Рефлексия. Рассмотрение всех вариантов решения задачи. Выяснение возможности обобщения. Установление общих правил для решения подобных задач. Поиск более рациональных приемов решения задач.

Рассмотрим подробно каждый этап и рекомендации для учащихся при решении следующей задачи:

Автобус проходит расстояние АВ, равное 120 км, равномерно за определенное время. Через час после отправления из А, автобус был задержан у шлагбаума на 10 минут и, чтобы прибыть в пункт В по расписанию, должен был увеличить скорость на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость.

1. Этап. Анализ и собственная запись условия задачи.

Математическое описание процесса заключается в установлении величин, характеризующих этот процесс, в выявлении закономерных связей между величинами, в записи формул, уравнений, или вычерчивании графиков, отражающих эти зависимости, в определении неизвестных различными способами.

Следующим шагом должно быть осознание структуры задачи, выявление неявных данных и зависимостей между величинами. Целесообразно, чтобы задача при этом была расчленена на составные части и записана каждым из учеников по-своему, но так, чтобы ничего не было упущено из ее условия.

Важно, чтобы при решении задачи явные и неявные ее данные были приведены во взаимодействие, чтобы ученики провести эксперимент с целью получения частных соотношений, на основе которых устанавливаются общие зависимости, закономерности, а затем различными способами выразить один и тот же факт.

По первому этапу целесообразно, чтобы ученикам были даны следующие рекомендации:

1) Уясните смысл текста задачи и значение каждого слова. Вспомните или прочитайте определение понятий, входящих в условие задачи.

2) Установите объект исследования (наблюдения).

3) Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте сколько их, сколько раз придется вести наблюдение, сколько раз придется вести записи.

4) Укажите величины, характеризующие каждый процесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения, уясните зависимость между величинами и запишите ее формулой. Если трудно написать формулу сразу в общем виде, запишите ее на частных примерах, а затем в общем виде.

5) Запишите условие задачи в понятной и доступной вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных величин и обозначьте ее буквой, составьте для каждого процесса задачи алгебраические выражения. включая данные н неизвестные. Не забудьте о выбранных единицах измерения. Упростите выражения.

6) Расположите записанные алгебраические выражения в порядке, удобном для расчетов и сравнений, используйте при этом таблицу, график, рисунок или текстовое пояснение.

При решении приведенной выше задачи целесообразно составить графическую иллюстрацию условия задачи, на которую по мере анализа задачи следует нанести данные и неизвестные.

В тетрадях пишут:

    t1=1 ч                        v2=(x+ 6) км/ч

   v1=x км/ч                  s2= (120- x) км

  s1=x км                        t2 =  ч

Иллюстрация и дополнительные подрисовки (стрелки, знаки, символы и т.д.) содействуют более отчетливому представлению отношений между частями задачи, связей и нередко приводят непосредственно к желаемому результату.

Величины, характеризующие каждый вид движения (процесс): скорость v км/ч, время t ч, путь s =v t (учащимся со слабой успеваемостью целесообразно предложить записывать и производные формулы v=; t=).

Отметим психолого-педагогическую ценность таблиц. Когда решающий не знает метода решения всей задачи, то часто он начинает решать частные, более простые задачи в надежде, что придет мысль о решении данной сложной задачи. При этом табличная запись облегчает отбор из ряда частных задач тех, которые нужны для решения данной задачи.

Таблица есть средство, орудие мышления при расчленении задачи на существенно важные составные части, а также и при синтезе этих частей, необходимом для составления уравнения.  Каждая графа или строка таблицы по своему содержанию есть логическая цельная часть задачи (например, выражение скорости на данном участке).  По-своему   психологическому действию часть таблицы часть сигнал для мышления. указывающий на то, что следует делать дальше. В законченном виде таблица даёт возможность охватить взором соотношения между элементами всей задачи, увидеть задачу с целью поиска ее решения.

2. этап. Основания для составления уравнения.

Рекомендация 7) Выберите данное, которое не вошло в схематическую запись условия задачи. Оно и будет служить основанием для составления уравнения. Составьте для него соответствующее алгебраическое выражение с неизвестной величиной.

   Если все данные вошли в схематическую запись условия, то основание для составления уравнения выражено словесно. В этом случае поможет анализ фразы, указывающей на сравнительную характеристику алгебраических выражений, например, их равенство, составляет половину, вдвое меньше т.д. Выбрав такую величину, для которой имеются два различных алгебраических выражения, следует сравнить их числовые значения, что и послужит основанием для уравнения.

В рассматриваемой задаче в схематическую запись условия не вошло число 1/6 ч-разность между временем первого процесса и суммой времени во втором и третьем процессах. Оно и будет служить основанием для составления уравнения.

Ученики пишут в тетрадях «Основанием для уравнения»

 больше + 1 на   

3. этап. Составление уравнения.

Рекомендация 8) Удобно алгебраическое выражение, отражающее основания для составления уравнений, записать на одной строке, так чтобы между ними можно поставить знаки действий или знак равенства. Затем сравнить их числовые значения и установить, какое из них больше, на сколько единиц или во сколько раз. Это сравнение укажет, как надо изменить (уменьшить, увеличить) одно из значений, чтобы можно было поставить знак равенства.

В решаемой задаче на одной строке записываем выражения, оставляя место для знаков

                      1            

Зная, что числовое значение первого выражения больше суммы значений второго и третьего на, расставляем знаки следующим образом.

   = + 1 +

4. этап. Анализ уравнения и его решение.

Анализируя уравнения, целесообразно рассмотреть наиболее рациональные способы преобразований. При решении одной из задач получили следующее уравнение: 

                               - =2,25

Ученик 7 класса, решая это уравнение предложил считать общим знаменателем 2,5х все остальные числа рассматривал как целые. Другие ученики предложили все члены уравнения умножить на 100. Предложение первого ученика в данном случае следует считать более рациональным.

Рекомендация 9) При решении уравнения первой степени следует применить общепринятый алгоритм:

1.Освободить уравнение от знаменателя, для этого необходимо умножить каждый член уравнения на общий множитель, равный наименьшему общему кратному для всех знаменателей, и произвести сокращение.

2. Раскрыть скобки. Это даст возможность отделить известные от неизвестных.

3. Перенести все известные в одну часть, а неизвестные в другую часть уравнения.

4. Привести подобные слагаемые в обоих частях уравнения.

 5. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если этот коэффициент не ноль.

При решении уравнения второй степени выполняют необходимые тождественные преобразования, упрощают уравнение, приведя его к одному из видов квадратного.

В данной задаче ученики пишут:      = +

После преобразования и решения получаются корни:

Х1= 48; Х2 =- 8

5. этап. Исследование корней уравнения (системы) с целью установлений решений задачи. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.

Исследование решений задач с числовыми данными сводится к выявлению решений задачи с помощью корней уравнения, к установлению соответствия значений искомой величины смыслу задачи, к установлению области допустимых значений искомой величины, проверке правильности решения. При этом необходимо учитывать следующее. Уравнение могут иметь вполне определенные решения, удовлетворяться любыми числами и не иметь решений. В уравнениях первого вида корни могут быть положительными, равняется нулю и быть отрицательными. Не всякое положительное число может быть решением задачи. 

Рекомендация 10) Для установления истинных решений задачи необходимо провести исследование корней уравнения, смысловой их анализ. Проверить обоснование каждого шага, всех операций.

В целях проверки расчётов полезно подставить в схематическую запись условия найденные допустимые значения неизвестного и найти числовые значения всех алгебраических выражений. Записанных при составлении уравнения. Сравнить числовые значения правой и левой частей.

Для проверки первого корня подставляем его значение в таблицу и получаем:

В таблице все числовые значения соответствуют тексту задачи. Разность времени   ч -  ч=, что соответствует условию.

6. Этап. Запись ответа. Важно приучить обучаемых давать ответы не по записи решений уравнении, а по тексту задачи. В этих целях нужно обращать их внимание на то, что в таблице мы получили много чисел, часть из них является ответом на главный вопрос задачи. Поэтому ответ писать по тексту задачи.  

Рекомендация 11) Прочитать, что в задаче спрашивается, выбрать числа, соответствующие вопросу задачи, и записать их в качестве ответа. Если таких чисел нет, то ответ следует получить путем выполнения дополнительных действий над числами. Если ответ состоит из нескольких чисел, то их записывают в том порядке, в котором о них спрашивается в задачах.  

В данной задаче спрашивается первоначальная скорость автобуса.

Пишем ответ: 48 км/ч.

7. Этап. Анализ решения задачи. Рефлексия. Рассмотрение всех вариантов решения задачи.

Так как  перед обучением ставится цель не только сообщить обучающимся сумму знаний, но и выработать у них умения и навыки самостоятельно решать задачи, а кроме того, овладеть идеями и методами изучаемой дисциплины, то ответ на вопрос задачи не является конечным этапом решения С этих позиций К.Д. Ушинский писал: « Пустая ни на чем не основанная теория оказывается такой же никуда  негодной вещью, как и факт или, опыт из которого нельзя вывести никакой мысли, которому не предшествует  и за которым не следует идея.»

 Седьмой этап можно назвать рефлексией, стадией идейного познания, этапом осмысления идей и методов решения данной задачи и подобной ей, разработки правил для их решения. Без этого решение задачи будет неполноценным, неоконченным.

В рассматриваемой задаче можно было выбрать иные процессы:1) движение автобуса до шлагбаума с намеченной скоростью;

2) движение после шлагбаума с намеченной скоростью.

3) движение после шлагбаума с повышенной скоростью. Такой выбор обусловливается тем, что потеря времени восполняется только на перегоне от С до В. Табличная запись условия и уравнение при этом выглядят следующим образом.

Соответствующее уравнение: 

Как видно, это уравнение проще первого. Этот выбор при тщательном анализе условия задачи можно было сделать сразу. Если же этого не случилось, то возвращение к решению задачи поможет найти второй способ решения задачи. Ценность этого этапа состоит еще в том, что ученики учатся критически относится к своим делам, приучаются искать и устранять недостатки в своей работе, приобретают умения красиво работать, познают красоту математики, красоту ее форм и количественных соотношений.

Рекомендация 12) Уяснить идею и метод решения задачи, особенности этого решения. Указать, что нового в приемах решения. Проговорить алгоритм решения. Выяснить, нельзя ли рассмотреть другие процессы для того, чтобы упростить решения задачи, сделать его более рациональным.

При решении задач методом оставления уравнений формируются математические знания, умения, навыки и представления, предусмотренные программой школьного курса, а также личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные универсальные учебные действия как основа умения учиться.

В сфере личностных универсальных действий у учащихся формируются:  учебно-познавательный интерес к новому материалу и способам решения новой учебной задачи; готовность целенаправленно использовать  математические знания, умения и навыки  в учебной деятельности и в повседневной жизни,  способность осознавать и оценивать свои мысли, действия и выражать их в речи, соотносить результат действия с поставленной целью, способность к организации самостоятельной учебной деятельности., таких личностных качеств как любознательность, трудолюбие, способность к организации своей деятельности и к преодолению трудностей, целеустремленность и настойчивость в достижении цели,  обосновывать свою позицию, высказывать свое мнение.

 Регулятивные универсальные учебные действия:

-активно включаться в деятельность, направленную на решение задачи в сотрудничестве с учителем и одноклассниками;

- планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;  

- различать способ и результат действия; контролировать процесс и результаты деятельности;

- вносить необходимые коррективы в действие после его завершения, на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок;

- адекватно оценивать свои достижения, осознавать возникающие трудности и искать способы их преодоления.

Познавательные универсальные учебные действия:

- осуществлять поиск необходимой информации для решения задачи в дополнительной литературе;

- использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения задач;

- осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

- осуществлять синтез как составление целого из частей;

- устанавливать причинно-следственные связи;

- обобщать;

- устанавливать аналогии;

- владеть общим приемом решения задач.

Коммуникативные универсальные учебные действия:

- выражать в речи свои мысли и действия;

- задавать вопросы;

- использовать речь для регуляции своего действия.

- осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую помощь.

Так как важнейшей задачей современной системы образования является формирование совокупности УУД,  обеспечивающих умение учиться, способность личности к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового  социального опыта, дать возможность учащимся самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности, создавать условия для развития личности и ее самореализации в системе непрерывного образования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградова Л.П. Обучение решению задач // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». - М.: Первое сентября, 2004.

2. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. - М.: Просвещение, 1987.

3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1984.

4. Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №8.

5. Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». - М.: Первое сентября, 2004.

6. Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №4.

7. М.Ф Добрынина Мыслительные процессы при составлении уравнений. М.: 1978

8. Математика - 6 кл. / под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И. - М.: Мнемозина, 2009.