Урок "Использование тригонометрических преобразований при решении заданий ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ

Слайд 2

Задание 10 Найдите sin x , если cos x = 0,6 и ∏ < Х < 2∏ Найдите tg x , если sin x = 0, 8 и ∏ /2< Х < 2∏

Слайд 3

Известные формулы: основные тригонометрические тождества; формулы двойного аргумента; синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и разности двух углов; формулы понижения степени; формулы преобразования тригонометрических сумм в произведение.

Слайд 4

Свойства тригонометрических функций: чётность; периодичность; ограниченность.

Слайд 5

Реши устно: 1. sin x = ∏/3 2 cos x = √3 3 . tg ∏/4 + tg x = 2 1 - tg ∏/4 + tg x 4. √ 2 cos 2 7 x - cos 7 x = 0 5. 3 cos 2 x - sin 2 x - 2 sin x cos x = 0

Слайд 6

Способы решения уравнений: разложение на множители; использование тригонометрических формул; замена переменной; однородное уравнение, делением на синус или косинус.

Слайд 7

Определи способы решения уравнения: 1. (2 sin x - cos x ) (1+ cos x )= sin 2 x 2. 2 cos 2 x + cos x = 1 3. 4 cos 4 x – 3 cos 2 x – 1 = 0 Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу (-7 ∏ /2;-2 ∏ )

Слайд 8

Тест

Слайд 9

Решение 1 варианта

Слайд 10

Решение 2 варианта

Слайд 11

Работа с тестами из интернета ЕГЭ 2015 по математике; случайные вопросы; режим тренировки; С1 а; С1 б.

Слайд 12

Решите уравнение 2 cos 2 x − 7cos( π/ 2+ x ) + 2 = 0 1 ± π/ 6+2 πn , n ∈Z 2 π/ 6+2 πn , n ∈Z; 5 π/ 6+2 πk , k ∈Z 3 − π/ 6+2 πn , n ∈Z; −5 π/ 6+2 πk , k ∈Z 4 − π/ 3+2 πn , n ∈Z; −2 π/ 3+2 πk , k ∈Z Пример 2

Слайд 13

Преобразуем выражение cos( π/ 2+ x ) по формуле косинуса суммы (или формуле приведения). Получится cos( π/ 2+ x ) = −sin x . Уравнение примет вид 2cos 2 x +7sin x + 2 = 0 Это уравнение может быть сведено к функции sin x с помощью основного тригонометрического тождества: 2(1−sin 2 x ) +7sin x +2 =0; 2−2sin 2 x +7sin x +2 = 0; −2sin 2 x +7sin x +4 = 0. Сделаем замену переменной sin x = t , при этом t ∈[−1,1]. Получим квадратное уравнение −2 t 2 +7 t +4=0 t 1 = −1/2, t 2 =4. Корень t 2 не удовлетворяет условию t ∈[−1,1]. Вернемся к переменной x при t = −1/2: sin x = −1/2; x = − π/ 6+2 πn , n ∈Z или x = −5 π/ 6+2 πk , k ∈Z. Ответ: x = − π/ 6+2 πn , n ∈Z; x = −5 π/ 6+2 πk , k ∈Z.

Слайд 14

Найдите корни уравнения 2 cos 2 x − 7cos( π/ 2+ x ) + 2 = 0 принадлежащие промежутку [0;11π/6) 1 5 π/ 6 2 7 π/ 6 3 π/ 3 4 0; π

Слайд 15

Составим и решим двойное неравенство для корней первой серии x = −π/6+2πn: 0<− π/ 6+2 πn <11 π/ 6 ∣: π ; 0<−16+2 n <11/6 ∣⋅6; 0<−1+12 n <11 ∣+1; 1< 12 n <12; 1/12< n <1. Вспомним, что n – это целое число. Но в полученном промежутке нет целых чисел, значит, первая серия корней не содержит корней с заданным условием.

Слайд 16

Запишем неравенство для другой серии корней x = −5π/6+2πn 0<−5 π/ 6+2 πn <11 π/ 6 ∣: π ; 0<−5/6+2 n <11/6 ∣⋅6; 0<−5+12 n <11 ∣+5; 5<12 n <16; 5/12< n <16/12. В этом промежутке имеется единственное целое число n =1. Найдем соответствующее значение переменной: х = −5 π/ 6+2 π ⋅1= −5 π/ 6+12 π = 7 π/ 6. Ответ: x =7 π/ 6.

Слайд 17

Из истории Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( trigonan – треугольник, metreo - измеряю). Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Слайд 18

Использование тригонометрических функций в астрономии Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии. Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии.

Слайд 19

Использование тригонометрических функций в медицине Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Слайд 20

Использование тригонометрических функций в биологии Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Слайд 21

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать… Для некоторых профессий знание тригонометрии необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии , используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография…

Слайд 22

Тригонометрические уравнения

Слайд 23

Отметить точки :

Слайд 24

Тригонометрические уравнения 1. 1 2. 1 3. 2 4. 2 5. 2 6. 1 7. 3 8. 3 9. 1 10 2