Администрация города Томска

Муниципальное автономное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 40

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА

элективного курса по алгебре

« Функции и графики»

9 класс  (1 час  в неделю,  16 уроков в полугодие)

                                                                                  Дирмейтис И.С.

                                                                                  учитель математики

2016 – 2017  учебный год

Пояснительная записка

Тема “Функции и графики” является одной из наиболее важных тем математики. Изучаемые в школьном курсе математики функции и их свойства, производные и интегралы находят широкие приложения в геометрии (касательная, вычисление площадей и объемов), физике (теплоемкость, работа переменной силы, электрический ток и др.), механике (скорость, ускорение, движение по кривой и др.).

Данная  программа составлена с целью систематизации знаний по теме “Функции. Свойства функций. Графики функций”, позволяет проверить качество усвоения материала, учебные навыки по теме, позволяет достичь дифференцированного подхода к обучению учащихся с разным уровнем знаний, подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ.

Содержание программы соответствует спецификации экзаменационной работы по математике ЕГЭ 2013 года и перечню вопросов по разделу “Функции” в Кодификаторе требований и элементов содержания для составления КИМ ЕГЭ 2013

Курс рассчитан на 16 учебных часов.

В процессе изучения курса «Графики и функции» учащиеся отрабатывают

понятие функциональной зависимости, имеют возможность читать графики элементарных функций, овладеть основными приемами для построения графиков и решения уравнений.

Цель курса — изучить элементарные преобразования графиков функций: параллельный перенос вдоль осей абсцисс и ординат,симметрия относительно

осей координат, растяжение и сжатие графиков функций..

Курс призван не только расширить возможности графической культуры учащихся, но и развить математический стиль мышления, формировать алгоритмическое мышление.

Применение алгоритма параллельного переноса при построении графика линейной или квадратной функции легко переносится на случай построения графиков рациональных функций или функций, содержащих знак абсолютной величины.

 Приобретенные знания в дальнейшем облегчают изучение свойств тригонометрических функций,графиков гармонических колебаний.

Учитывая принципиальные положения организации разноуровневого обучения, курс помогает учащимся достигнуть уровня обязательной подготовки в изучениифункциональной зависимости и построении графиков элементарных функций. В то же время, курс даетвозможность достигнуть более высокого уровня за счет умениявыполнять преобразования графиков, построения графиков рациональныхфункций, функций, содержащих модуль, возможности графического решения уравнений и уравнений, содержащих параметр.

В предлагаемом курсе отсутствует чрезмерная перегруженность новым содержанием, основной акцент сделан на усиление линии не теоретического, а практического содержания, что дает возможность учащимся не только ознакомиться с задачами, предлагаемыми  на  экзаменах, но и сконцентрироваться на способах и методах их решения.

 Данный элективный курс поможет школьникам повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах как

- симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций;

-построение графиков функций и уравнений, содержащих модули;

- графический метод решения уравнений и неравенств, содержащих модули;

- решение некоторых задач с параметром графическим методом

Также будут рассмотрены задачи, связанные с построением множества точек плоскости, задаваемого соотношениями, которые выходят за рамки школьной программы, что позволяет получить дополнительную подготовку к олимпиадам по математике и для успешной сдачи ГИА и ЕГЭ

 Теоретический материал сопровождается разбором типовых задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, основные правила, которые оформлены в форме презентации и буклета.

Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей обучающихся.

Завершить курс планируется защитой проекта в виде решебника к буклету или презентацией  по типам изученных задач.

Прохождение курса даст возможность проявить свои способности учащимся, имеющим высокую математическую подготовку, и позволит им не только оценить свои способности и возможности, но и сделать обоснованный выбор будущего профиля.

Программа рассчитана на 16 часов, по 1 ч в неделю.

«Построение графиков кусочно заданной функций», «Итоговое занятие».

Итогом работы элективного курса в каждом полугодии является реферат, презентация, подготовленная каждым учащимся по одной из тем программы.

Содержание презентаций и исследовательских работ включает изложение теории по одному из вопросов программы, вопросы из истории математики поданной теме и практической работы по построению позволяет учащимся овладеть формами учебной работы по самостоятельному поучению новых знаний.

Программа разработана,  исходя из современных дидактико-психологические тенденций, связанных с вариативным развивающим образованием и требованиями ФГОС.

А. Личностно ориентированные принципы: принцип адаптивности; принцип развития; принцип комфортности процесса обучения.

Б. Культурно ориентированные принципы: принцип целостной картины мира; принцип целостности содержания образования; принцип систематичности; принцип смыслового отношения к миру; принцип ориентировочной функции знаний; принцип опоры на культуру как мировоззрение и как культурный стереотип.

В. Деятельностно ориентированные принципы: принцип обучения деятельности; принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации; принцип перехода от совместной учебно-познавательной деятельности к самостоятельной деятельности учащегося (зона ближайшего развития); принцип опоры на процессы спонтанного развития; принцип формирования потребности в творчестве и умений творчества.

Методы, приемы проблемно-эвристического обучения:

1.  Проблемное изучение (словесные и наглядные методы с использованием компьютерных технологий).

2.  Поисковая (эвристическая)  беседа.

3.  Самостоятельная работа обучающихся, основанная на применении ранее изученного материала к конкретной теме.

4.   Исследовательская деятельность обучающихся.

5.   Решение компетентностных задач.

Цели курса:

1) в предметном направлении:

- Содействие формированию понятий: числовая функция, область

определения и область значения функции, свойства функции.

- Формирование умения устанавливать связь между свойствами функций и ее

графиком.

- Формирование умения построения графиков функций путем

преобразований графиков элементарных функций.

- Содействие эффективной подготовки к государственной итоговой

аттестации.

2) в метапредметном направлении:

- Развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;

- Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;                          

 3)  в направлении личностного развития:

• Развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;
• Формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
• Воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;
• Развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей

Задачи программы с точки зрения СДП:

Образовательные:

• Формирование у обучающихся системы научных знаний
• Совершенствование умений запоминать, выделять главное.
• Формирование представлений о значимости
• Совершенствование умений в решении расчетных задач.

Развивающие:        

• Формирование у обучающихся регулятивных компетенций

(управление своей деятельностью, инициативность, самостоятельность)

• Развитие коммуникативной деятельности (речь, навыки сотрудничества).
• Применение обучающимися  учебного материала, имеющего опорный характер.
• Совершенствование умений анализировать предложенную ситуацию и устанавливать причинно-следственные связи между
• Развитие преобразований и применение новых знаний к решению задач, связанных с конкретными ситуациями.
• Совершенствование  умений и навыков в решении исследовательских задач.

УУД,:

Предметные:

• Формирование системы научных знаний.
• Синергетический эффект.
• Использование знаний по предмету для решения конкретных задач.

Метапредметные:

• Регулятивность( управление своей деятельностью, инициативность, самостоятельность)
• Коммуникативность( речь, навыки сотрудничества)

Личностные:

Самоопределение (внутренняя позиция школьника).

Смыслообразование (мотивация, границы познания)        

Планируемый результат. В конце изучения курса учащиеся должны уметь:

— находить значения функции, заданной формулой, таблицей или графиком;

—строить графики элементарных функций и проводить исследования функции на

монотонность, знакопостоянство;

—выполнять основные приѐмы преобразования графиков;         

—применять графические методы решения уравнений и задач, содержащих параметр.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Тема I. Элементарные функции

Знакомство учащихся с целью и значением данного элективного курса. Обобщение и систематизация знаний учащихся о функциях, способах их задания, свойствах и графиках. Составление справочной таблицы.

Формы занятий: беседа, составление справочной таблицы.

Тема II. Преобразования графиков

Построение графиков функций путем элементарных преобразований графиков основных функций (сдвиг осей координат вправо-влево, вверх-вниз). Построение графиков функций путем симметричного отображения относительно осей координат графика основной функции. (Построение изображения, симметричного графику функции у = f(х) относительно оси Ох (у = – f(х)). Построение изображения графика, симметричного графику функции у = f(х) относительно оси Оу (у = f(–х)).)

Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля:) у = f (|x|),
б) у = f |(х)|,
в) у = | f (|x|)|.

(При построении графика функции у = f (|x|)  строится график функции у = f(х) при  х =/= 0 и отображается относительно оси Оу. При построении графика функции у = f |(x)| строится график функции у = f(х) и ту  часть графика, которая лежит над осью Ох оставляем  без изменения, а ту часть графика, которая лежит ниже оси Ох, отображаем относительно оси Ох.)

Формы занятий: семинарское занятие, исследовательская работа, просмотр книг, журналов, энциклопедий

Тема III. Арифметические действия с графиками

Построение графиков функций видов у = f(х) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x) • g(x), y = f(x)/g(x). Построение графиков обратной  y = f – 1(x) и сложной h = f (g(x)) h = (f • g)(x) функций. Построение графика дробно-линейной функции у = , где а, b, с, d – постоянные, причем с =/= 0, ad =/= bc, x =/= – . 
Формы занятий: семинарское занятие, работа в группах, просмотр книг, журналов, энциклопедий.

Тема IV. Полярная система координат и графики функций  в ней.

Знакомство учащихся с различными типами систем координат (прямоугольно-декартова система координат – известная из школьного курса математики; полярная система координат; сферическая система координат). Рассмотрение особенностей построения графиков функций в полярной системе координат и видами преобразований графиков в этой системе (симметричное отображение: относительно полюса, относительно полярной оси; деформация вдоль полярной оси: график растянут вдоль оси в m раз, m > 1; сжат в m раз, 0< m <1; скручивание: углы, образованные различными прямыми, исходящими из полюса, уменьшаются в k раз, если 0 <k < 1, и увеличиваются, если k > 1; поворот графика на угол  почасовой стрелке, если  < 0, и против, если > 0; растяжение  вдоль всех направлений  = const на b масштабных единиц

Формы занятий: исследовательская работа, просмотр научно-практических журналов, справочников.

Тема V. Итоговые занятия. Предусматривают помощь в написании курсовых работ или проектов по теме «Функции и их графики в реальной жизни» (темы курсовых работ и проектов могут быть различны), а также последующую защиту учащимися своих работ.

Требования к знаниям и умениям учащихся.

В результате изучения курса ученик должен уметь:

– определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
– строить графики изученных функций, распознавать графики элементарных функций;
– описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
– решать уравнения, неравенства, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

– использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных реальных зависимостей и интерпретировать их графики;
– исследовать функции и строить их графики с помощью производной.

Данная программа составлена на основе “Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9. Алгебра 10-11”, М. “Просвещение”, 2008 г.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Бурмистрова Н.В., Старостенкова Н.Г. Функции и их графики. Учебное пособие. – Саратов: Лицей, 2003.
2. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10-11 классов сред.школ. – М.: Просвещение, 1990.
3. Мордкович А.Г. Алгебра 7, 8, 9 класс. В двух частях. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений  – М.: Мнемозина, 2004.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

1. Математика в школе  № 5-9, 2005
2. Математика для школьников  №1, 2004, №2, 2005
3. Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 11,12/2001.
4. Бурмистрова Н.В., Старостенкова Н.Г. Функции и их графики. Учебное пособие. – Саратов: Лицей, 2003.
5. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10-11 классов сред.школ.–М.: Просвещение, 1990.
6. Мордкович А.Г. Алгебра 7, 8, 9 класс. В двух частях. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений  – М.: Мнемозина, 2004.
7. Г.В. Дорофеев и др. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений  – М.: Просвещение, 2005.
8. Нелин Е.П. Алгебра в таблицах. Харьков: Мир детства, 2001.
9. Полный интерактивный курс «Функции и графики» для учащихся школ, лицеев, гимназий. ООО «Физикон», 2003.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.                                                        

ЗАНЯТИЕ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ.

Большинство математический понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они знали, чем больше они наловят рыбы, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее. Идея зависимости величин восходит к древней науке. Сам термин “функция” возник лишь в 1664 году в работах немецкого ученого Лейбница, только его ученик Бернулли в 1718 году дал определение функции свободное от геометрических образов. Леонард Эйлер определяет функцию так: “Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, называется функцией”.

Функции являются одним из основных понятий современной математики. Дифференциальное и интегральное исчисления широко используются не только в математике, но и в ряде смежных наук – физике, химии, экономике и даже биологии. Фактически, все точные науки базируются на понятии «функция».

Понятие числовой функции

Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.

Пусть задано числовое множествоЕсли каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция:

y = f (x),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число  соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или

Для того чтобы задать функцию f, нужно указать:

1) ее область определения D (f (x));

2) указать правило f, по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y = f (x).

Запись   означает, что D (f (x)) = [–1; 2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента, для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f (x) = g (x), или f = g. Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве   и то говорят, что функции равны на множестве  Так, например, функции f = 1 и равны на всем множестве , а функции и g = x равны на множестве  

Пусть функции f (x) и g (x) определены на одном и том же множестве D. Тогда функция, значения которой в каждой точке равны f (x) + g (x), называется суммой функций  f и g и обозначается f + g. Точно так же определяются разность  f – g, произведение  f · g и частное  f / g двух функций (частное определено на множестве D, если на этом множестве g (x) ≠ 0).

Пусть функции y = g (x) и z = f (y) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g. Тогда функция, принимающая при каждом значение f (g (x)), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначаетсяТак, функция z = sin (x – 1) является суперпозицией функций y = x – 1 и z = sin y.
Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с; так, в нашем примере , а

Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.

• Формулой S (r) = πr2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
• Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
• Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна   то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства Эта формула называется формулой сложных процентов.
• При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s (t) = v · t.
• Функция x (t) = A cos (ωt + φ) задает гармонические колебания. Здесь A – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза.
• Функция называется формулой радиоактивного распада. Здесь – начальное количество радиоактивного вещества, m (t) – текущее, T – период полураспада.

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы

f (x) = 

задают на множестве действительных чисел функцию f (x) = |x|, называемою модулем, а формулы

f (x) = 

определяют функцию Дирихле. Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:

Графиком функции y = f (x) в выбранной системе координат называется множество всех точек (x; y), для которых выполняется равенство y = f (x).

Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y.

Число a называется нулем функции f (x), если

f (a) = 0.

График функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами, равными нулям функций.

Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов xi, построением точек (xi, f (xi)) и соединением этих точек линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого графика.

Существуют функции, графики которых состоят из нескольких участков. К таковым, например, относится функция y = sign (x). График функции y = [x], где скобки означают взятие целой части числа, состоит из бесконечного количества отрезков. Наконец, ряд графиков функций не содержит ни одной «непрерывной» части. К таковым относится, например, числовая последовательность, которую можно определить как числовую функцию на множестве натуральных чисел

Эскиз графика строится по нескольким точкам; линия эскиза графика на чертеже всегда конечной толщины (в то время как в математике линия графика считается бесконечно тонкой). Все это приводит к тому, что узнать значение функции по графику можно лишь приближенно. Тем не менее график является удобным средством для исследования функции и во многих случаях используется, чтобы визуально представить ход изменения функции.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

( для записи в тетради учащихся)

Задать функцию y = f (x) – значит определить закон или правило, по которому для каждого конкретного значения аргумента xможно определить значение функции f(x).

 Примеры заданий для математического диктанта:

1. На рисунке схематически изображены графики двух зависимостей:

1) зависимости длины одной стороны прямоугольника от длины другой его стороны при постоянной площади;

2) зависимости площади прямоугольника от длины одной из его сторон при постоянной длине другой стороны.

Какой из них – I или II является графиком первой зависимости?

Ответ: ____________________

2. В оптовом магазине сахарный песок продается на следующих условиях: первые 30 кг по цене 20 р. за килограмм, а далее – по цене 10 р. за килограмм. Какой график соответствует этим условиям? (По горизонтальной оси откладывается масса купленного сахара, по вертикальной – стоимость покупки)

А.                                         В.

    Б.                                    Г.

1. На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200-метровую дистанцию. На рисунке изображен график зависимости расстояния между пловцом и точкой старта от времени движения пловца. Определите, какое расстояние проплыл пловец за1 мин 40 с.

А. 30 м    

Б. 120 м  

В. 130 м

Г. 175 м

ЗАНЯТИЕ 2. ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА.

Наглядный материал для занятия:

Прямые, параллельные осям координат.                Прямая  пропорциональность.

(у = k, х = m)                                                        (у = kx )

Линейная функция (у = kx + m, k<0)                 Линейная функция (у = kx + m, k>0)

График степенной функции        График степенной функции с

с нечетным натуральным         нечетным отрицательным целым

показателем y = x2n+1        показателем y = x– (2n+1)

График степенной функции                        График степенной функции

с четным натуральным                                 четным отрицательным целым

показателем y = x2n                                        показателем y = x-2n

Квадратичная функция ax2 + bx + c = 0        График функции y = √‾x.

Синусоида y = sin x,                                 Тангенсоида y = tg x,

косинусоида y = cos x.                                котангенсоида y = ctg x.

ЗАНЯТИЯ 3-5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ f(x+a), f(x)+b, kf(x), f(mx). ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ - f(x), f(-x), -f(-x).

Материалы  для данных занятий представлены в Приложении 2.

ЗАНЯТИЕ 6-7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ |f(x)|, f(|x|), |f(|x|)|.

1. Построение графика функции у = | f (х)|

Для построения графика функции у = | f (х)| следует построить график функции у = f (х) и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить относительно оси абсцисс.

Пример :  Построить график функции у=|х2—3х+ 1|.

Построение

а) построим график функции у = х2 — Зх + 1;

б) в интервалах, где функция отрицательна, производим отображение относительно оси абсцисс.

2. Построение графика функции у =  f (|х|)

Для построения графика функции у =  f (|х|) следует построить график функции у = f (х) при х ≥ 0 и  отобразить относительно оси ординат.

Пример  :  Построить график функции у=2|х|-3.

Построение

а) построим график функции у =2х-3 при х ≥ 0;

б) отображаем его относительно оси Оу.

3. Построение графика функции у = | f (|х|)|.

Для построения графика функции у = | f (|х|)| следует построить график функции у = f (х) и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить относительно оси Ох, а затем и  отобразить симметрично относительно оси Оу.

Пример  :  Построить график функции у=| 2|х|-3|.

Построение

а) построим график функции у =2х-3;

б) отображаем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, относительно оси Ох;

в) отобразим полученный график (при х ≥ 0) относительно оси Оу.

ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

( для записи в тетради учащихся)

Пример 4. Построить график функции у= ||х + 2| - 3|.

Решение: Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции у = х – биссектриса первого и третьего координатных углов.
2. График функции у =  |х| получается из графика функции у = х отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при x< 0) симметрично относительно оси абсцисс.
3. График функции у = |х + 2| получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.
4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции у = |х + 2| - 3.
5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции.

     В процессе преобразований возникает следующая цепочка функций:

1) у = х;   2) у = |х|;  3) у =|х + 2|;  4) у = |х + 2|- 3;  5) у = ||х + 2|- 3|

     Исследуемая функция допускает другую форму записи

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

1. у = |1 – 2х|
2. у = |х - 3|+ |х + 1|
3. у = ||х - 1|- 1|
4. у =

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1. Решите уравнение: |х2 + 2х + 3|= 3х + 45
2. Решите уравнение: |х + 3|= |2х2 + х - 5|
3. Решите уравнение:  ||х + 3|- |х - 1||= 2 – х2
4. Решите неравенство: |х - 1|+ |х + 2|≤ 3
5. Решите неравенство: |х - |х - 2||< 3
6. Построить график функции: y = ||2 – x| - 4|

ВОЗМОЖНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ (САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ) РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Постройте график функции и укажите ее свойства:

y= -  +2.

2. Постройте график функции и укажите ее свойства:

y= 8(x-4)2 –3.

3. Постройте график функции:

y = |x2+3|                 

4. Постройте график функции y=f(x), если

⎧x2,         -5≤ x ≤ 0;

f(x)= ⎨ 4x,              0 • x ≤ 3;

        ⎩ - 3|x| + 3,   3• x •5.

5. Найдите количество корней уравнения:

 = 2 | x - 1 |.

Вариант 2.

1. Постройте график функции и укажите ее свойства:

y=   - 4.

2. Постройте график функции и укажите ее свойства:

y= - 6 ( x + 5)2 + 5.

3. Постройте график функции:

      y = |x2-5|.

4. Постройте график функции y=f(x), если

⎧- 4(x+2)2,         4 • x ≤ 0;

f(x)=  ⎨ -16,               0 • x ≤ 4;

⎩ 4|x| - 32,          4 •x ≤8.

5. Найдите количество корней уравнения:

-  = 2 | x + 2 |.

ЗАНЯТИЕ 8-9. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ.

1. График суммы (разности) функций у = f(х) ± g(х)

График следует строить по точкам, складывая или вычитая ординаты графиков функций f(х)и g(х), соответствующие одному и тому же значению аргумента.

Примеры:

2. График произведения функций у= f(х)• g(х)

График следует строить по точкам, перемножая значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.

Пример:

3. График частного двух функций y=f(x)/g(x).

Данную функцию можно представить так: y=f(x)• 1/g(x).Построение графика сводится к построению графиков функцийy1=f(x) и y2=1/g(x)и далее по схеме умножения.

Пример:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ :

Постройте графики следующих функций:

ЗАНЯТИЕ 10. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ.

Функция вида  (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной.

ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ.

Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости графиком которой является прямая линия

Если c ≠ 0, но ad = bc, то выполняется пропорция откуда следует, что на всей числовой оси за исключением Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, с выколотой точкой x0.

.

ПОСТРОЕНИЕ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ.

В дальнейшем мы будем рассматривать невырожденный случай дробно-линейной функции (c ≠ 0,  ad ≠ bc). В этом случае график функции можно построить, преобразовав функцию :

Для этого нужно график функции растянуть от оси абсцисс в раз, после чего выполнить параллельный перенос, при котором начало координат (0; 0) переходит в точку

ЗАНЯТИЕ 11-12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ОБРАТНОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

( для записи в тетради учащихся)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ОБРАТНОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЙ

Декартова система координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x0; y0). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).   Приведем некоторые очевидные формулы.

• Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OX равно |y0|.
• Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OY равно |x0|.
• Расстояние от точки до начала координат равно
• Расстояние |AB| между точками A (x1; y1) и B (x2; y2) равно
• Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x1; y1) и B (x2; y2), имеет координаты

На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:

• Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно |x|.
• Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно
• Расстояние |AB| между точками A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) равно
• Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) равны

Полярная система координат

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Полярная система координат.

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что

 Формулы обратного перехода:

Сферическая система координат

Полярную систему можно обобщить на трехмерный случай: для этого придется ввести третью координату – угол θ. Углы φ и θ примерно соответствуют земным долготе и широте (угол θ также отсчитывается от «экватора»), а координата ρ определяет расстояние от исследуемой точки до полюса. Подобная система координат носит название сферической. Сферическими координатами точки в трехмерном пространстве являются:

• ρ – расстояние от точки до полюса,
• φ – угол между полярной осью и проекцией радиус-вектора точки на выбранную экваториальную плоскость (содержащую полярную ось),
• θ – угол между радиус-вектором точки и его проекцией на экваториальную плоскость.

Система координат, состоящая из полюса, экваториальной плоскости и полярной оси, лежащей в ней, называется сферической.

Рисунок 1.2.2.2.

Сферическая система координат.

Свойства графиков функций в полярной системе координат

( для записи в тетради учащихся)

 Особенности построения графиков в полярной

системе координат

( для записи в тетради учащихся)

ЗАНЯТИЕ 15-16. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Архимедова спираль

r = aφ, a = 2.

Гиперболическая спираль

Жезл

Логарифмическая спираль

r = aekφ, a = 2, k = 0,2.

ЗАНЯТИЕ 17. Итоговое. Защита проектов и курсовых работ.

ПРИМЕРНЫЕ ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ:

1. Функции и их графики в реальной жизни.
2. Историческое развитие понятия ФУНКЦИЯ.
3. Функции и их графики в различных областях знаний (физике, химии, медицине, экономике, сельском хозяйстве и др.).
4. Практические приемы построения графиков функций в полярной системе координат.