Презентация по алгебре и началам анализа 10 класса по теме "Многочлены. Делимость многочленов".
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Многочлены. Делимость многочленов. Цели: Ввести понятие многочлена, степени многочлена, стандартной записи многочлена. Рассмотреть свойства многочлена (теоремы). Разобрать деление многочлена на многочлен «уголком». Научиться делить многочлен на многочлен.

Слайд 2

Многочлены. Из курса алгебры основной школы, мы знаем что существуют различные виды многочленов. Одночлен: 2 а ³, 3 a ² b , 7… Двучлен: 3 х +4, 2 а ³ – 4 с ² … Трёхчлен (включая квадратный трёхчлен): 3 х +4 b + c , 2 x ²+3 x –7… И так далее Особое место занимают многочлены от одной переменной.

Слайд 3

Многочлен от одной переменной. Многочлен от одной переменной Р(х) представляет собой сумму одночленов. Одночлены располагаются по убывающим степеням переменной х. Записывается так: Р n (х) = а 0 х n +а 1 х n –1 +а 2 х п–2 +… +а n – 2 х 2 +а n – 1 х +а n Причем, старший коэффициент а 0 отличен от нуля. Такая запись называется стандартным видом многочлена Р(х).

Слайд 4

Многочлен от одной переменной Р n (х) = а 0 х n +а 1 х n –1 +а 2 х п–2 +… +а n – 2 х 2 +а n – 1 х +а n Е сли а 0 = 1, то многочлен называется приведённым, в противном случае он называется неприведённым . Одночлен а n называют свободным членом многочлена Р (х). Число n – показатель степени старшего члена – называют степенью многочлена.

Слайд 5

Любой многочлен P( x ) , содержащий только переменную х и её натуральные степени, можно записать в стандартном виде P( x ) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + …+ a n – 1 x + a n где a 0 , a 1 …… a n – 1 , a n – некоторые действительные числа. Если а 0  0, то многочлен P(x) называют многочленом n – ой степени, член a 0 x n старшим членом, a n – свободным членом. Если P(x ) = а 0, где а 0  0, называют многочленом нулевой степени. Число 0 называют нулевым многочленом. Вывод.

Слайд 6

Способы разложения многочленов на множители от одной переменной Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки Использование формул сокращенного умножения Разложение квадратного трехчлена на множители.

Слайд 7

Свойства многочленов от одной переменной Теорема 1. Два многочлена Р(х) и S (х) тождественны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах равны.

Слайд 8

Свойства многочленов от одной переменной. Теорема 2. Для любых двух многочленов ненулевой степени р (х) и s (х) существует пара многочленов q (х) и r (х) такая, что степень многочлена r (х) меньше степени многочлена s (х) и выполняется тождество

Слайд 9

В результате сложения, вычитания и умножения многочленов получаются многочлены. Особое место в теории многочленов занимает деление многочленов. Но прежде рассмотрим ещё несколько теорем.

Слайд 10

Свойства многочленов от одной переменной. Теорема 3. Остаток от деления многочлена р (х) ненулевой степени на двучлен х – а равен р (а) (т.е. значению многочлена р (х) при х = а ). Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена Безу (1730 – 1783).

Слайд 11

Свойства многочленов от одной переменной. Теорема 4. Пусть все коэффициенты многочлена р (х) - целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р (х), то а – делитель свободного члена многочлена р (х).

Слайд 12

Свойства многочленов от одной переменной. Теорема 5. Любой многочлен р (х) степени ≥ 3 разлагается в произведение многочленов первой и второй степени.

Слайд 13

Многочлены от нескольких переменных Кроме одночленов от одной переменной выделяются ещё многочлены от двух и более переменных. Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Слайд 14

Многочлены от нескольких переменных Многочлен р ( х;у ) называют однородным многочленом n - ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n . Если р ( х;у ) – однородный многочлен, то уравнение р ( х;у ) = 0 называют однородным уравнением.

Слайд 15

Многочлены от нескольких переменных

Слайд 16

Многочлены от нескольких переменных Многочлен р ( х;у ) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х . Теорема. Любой симметрический многочлен р ( х;у ) можно представить в виде многочлена от ху и х+у .

Слайд 17

Многочлены от нескольких переменных Если р ( х;у ) – симметрический многочлен, то уравнение р ( х;у ) = 0 называют симметрическим уравнением. Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения – симметрические.

Слайд 18

Деление многочленов с одной переменной «уголком».

Слайд 19

Пример 1 : Разделить уголком многочлен P( x ) = 10 x 2  7 х  12 на многочлен Q( x ) = 5 х + 4. 10 x 2  7 х  12 10 x 2 + 8 х  12 5 х +4  2 х 15 х  12  15 х  12 0 ДЕЛИМОЕ ПЕРВЫЙ ОСТАТОК ДЕЛИТЕЛЬ ЧАСТНОЕ ОСТАТОК Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)  3

Слайд 20

Пример 2 : Разделить многочлен P ( x ) = 3 x 4 + 2 x 2 – 1 на многочлен Q( x ) = x 2 + x . x 2 + x 3 x 4 + 0 х 3 + 2 x 2 + 0 х – 1  3 x 4 + 3 x 3 – 3 x 3 + 2 х 2 + 0 х – 1 3 x 2  – 3 x 3 – 3 x 2 5 x 2 + 0 х – 1 5 x 2 + 5 x  – 5 x – 1 Степень остатка – 5 x – 1 меньше степени делителя x 2 + x , деление закончено. Ответ: 3 x 2 – 3 х + 5  частное, – 5 x – 1  остаток. – 3 х + 5

Слайд 21

P( x ) = S( x )  Q( x ) + R( x ) где S( x ) – частное, степень которого m = n – k , R( x ) – остаток , степень которого l < k . Формула деления многочленов с остатком Если многочлен P(x) степени n > 1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство:

Слайд 22

 Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно: Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х ; 2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного; 3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком; 4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

Слайд 23

Пример 3 : Разделить многочлен 3 х + 4 x 4 + 1 – 15 х 3 + 2 х 5 – 9 x 2 на многочлен 2 x 2  х 3 2 х 5 + 4 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1 2 х 5 – 4 x 4  х 3 + 2 x 2    – 2 х 2 8 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1 8 x 4 – 16 х 3 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1 х 3 – 2 x 2 – 7 x 2 + 3 х + 1 Ответ: – 2 х 2 – 8 х – 1  частное, – 7 x 2 + 3 х + 1  остаток. – 8 х – 1

Слайд 24

Свойства делимости многочленов 1. Если многочлен P ( x ) делится на многочлен Q( x ) , а многочлен Q( x ) делится на многочлен M( x ) , то многочлен P ( x ) делиться на многочлен M( x ) . 2. Если многочлены P ( x ) и Q( x ) делятся на многочлен M( x ) , то многочлены P ( x ) + Q( x ) и P ( x )  Q( x ) делятся на многочлен M( x ) , а многочлен P ( x )  Q( x ) делиться на многочлен M 2 ( x ) .

Слайд 25

Найдите частное: ( x 2 +3 х  4):( х + 4) ( x 2  7 х + 10):( х  5) (6 x 3 +7 х 2  6 х + 1):(3 х  1) (4 x 3  5 х 2 + 6 х + 9):(4 х + 3) (15 x 3  х 2 + 8 х  4):(3 х 2 + х + 2) (9 х 4  9 x 3  х 2 + 3 х  2):(3 х 2  2х + 1) Ответы: х  1 х  2 2 х 2 + 3 х  1 х 2  2 х + 3 5 х  2 3 х 2  х  2

Слайд 26

Домашняя работа. Глава 3. § 1 стр. 92 – 96, Упражнения №№ 1, 4 (всем), № 7 (по желанию) стр. 96 – 97.

Слайд 27

Использованная литература. Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала математического анализа». 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. Под редакцией А.Б.Жижченко. 4-е издание. Москва. Просвещение, 2011. Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала математического анализа». 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. Профильный уровень. 8-е издание стереотипное. Москва. Мнемозина, 2010. М.И.Шабунин и др. «Алгебра и начала математического анализа». Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 3-е издание. Москва. Просвещение, 2011. С.Н.Олехник и др. «Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства». Учебно-методическое пособие для учащихся 10 – 11 классов. Москва. Экзамен. 1998. С.М.Никольский и др. «Алгебра и начала математического анализа». 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 10-е издание. Москва. Просвещение. 2011. М.И.Шабунин и др. «Математика. Алгебра. Начала математического анализа ». Профильный уровень. Учебник для 10 класса. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009. Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и начала математического анализа». Углубленный уровень. Учебник для учащихся 10 класса общеобразовательных организаций. 18-е издание стереотипное. Москва. Мнемозина, 2014.