ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖЕДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ

ИМЕНИ НИКИТЫ ДЕМИДОВА

Е.С. Логачева

Степени. Логарифмы

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика»

для специальностей 1 курса

Тула  2016

Аннотация

Учебно-методическое пособие «Степени. Логарифмы» составлении в соответствии с ФГОС и рабочей программой по дисциплине Математика для студентов 1 курса.

Пособие содержит лекции, практические занятия и контрольно-оценочный материал. В лекциях подробно рассмотрен теоретический материал, касающийся степеней, логарифмов, их свойств, рассмотрены различные типы показательных и логарифмических уравнений и неравенств. По каждой теме приведено большое количество примеров решения задач, с подробным описанием. Теоретический материал изложен на максимально доступном уровне, не теряя математической строгости рассуждений и формулировок, с приведением схем для лучшего запоминания.

Каждая лекция содержит материал для повторения и актуализации опорных знаний студентов, подробное объяснение нового материала с практическими примерами, а так же большое количество задач для самостоятельного решения. Практические работы предлагаются в четырех вариантах, каждый из которых состоит из двух уровней.

После изложения теории и практических работ приведены проверочные тесты, которые позволяют проконтролировать усвоение каждым студентом основных положений данной темы.

Пособие предназначено для студентов 1 курса всех специальностей, их преподавателей, а так же всем изучающим математику за курс полного общего образования.

Оглавление

Курс лекций        4

Степень с рациональным показателем        4

Действия над степенями        7

Понятие логарифма числа        8

Свойства  логарифма        11

Логарифмирование и потенцирование        14

Степенная функция, ее свойства и график        16

Показательная функция, ее свойства и график        20

Показательные уравнения        24

Показательные неравенства        26

Логарифмическая функция, ее свойства и график        28

Простейшие логарифмические уравнения        32

Логарифмические уравнения различных типов        36

Логарифмические неравенства        39

Практические работы        42

Степень с рациональным показателем        42

Логарифм и его свойства        43

Решение показательных уравнений и неравенств        45

Решение логарифмических уравнений и неравенств        46

Контрольно-оценочный материал        47

Индивидуальная домашняя работа «Построение графиков показательной и логарифмической функций»        47

Тест по теме: “Свойства степени с рациональным показателем”        48

Тест по теме: “Понятие логарифма”        50

Тест по теме: “Тождественные преобразования логарифмических выражений”        51

Литература        52

Курс лекций

Степень с рациональным показателем

Цели: Знать определение арифметического корня п-ой степени, степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем.
Уметь вычислять степени с рациональным показателем.

Объяснение нового материала:

Арифметический корень

Понятие степени с рациональным показателем тесно связано с понятием арифметического корня.

Корнем n-ой степени из неотрицательного  числа а называется неотрицательное число, n-я  степень которого равна а.

Пример 1.  =2 ;      .

Корень нечётной степени из отрицательного числа существует , где n-нечётная.

Пример 2.     ;    .

Свойства арифметического корня n-ой степени: 

Для a,b > 0 и m,n справедливы следующие свойства.

Пример 3.     =;                                 = =

                       ;                    = -

Степень с рациональным показателем

Понятие степени

Степенью числа a с натуральным показателем называется   =a·aa (n-раз)

Пример 4.  

                      =444=64

Степень с целым показателем: , z-целое число

Пример 5.   =1;                
;        
;          

Степенью числа a>0 с рациональным показателем r=, где m-целое, n-натуральное национальное число .

Пример 6.

                 =

Свойства  степеней.

Для любых рациональных r и s и a,b > 0 справедливы .

Пример 8.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. (  и( ; 0<а<1  ; 1,4>1,28 => ( <  
7.   u   ;  >0 , 2<5 =>  <  
8.  u  ; -<0 ; 2<5 => > 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Вычислить

1.  ;    ;    ;    
   б)   ;      ;       ;       ;
   в) ;     ;     ;
   г) ;    ;      

2. Сравните:

2.1) a);  б);  в);   г)

2.2) a); в); б)  ; г)

 3.Представьте выражение в виде степени:

а) ;              б);              в);
г);         д);          е) 

4. Найдите значение выражения:
а) ;
б) ;
в)

Действия над степенями

Цели: Знать свойства степени с рациональным показателем. Уметь упрощать выражения, содержащие степень.

Устный счет

Объяснение нового материала

При выполнении действий над степенями, упрощении выражений содержащих степень помимо свойств степени используют различные методы разложения  на множители: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения. При этом часто приходится выполнять следующие представления:  или

Примеры. Упростить  выражения.

1.  =  
2. = -  
3.  

Задачи для самостоятельного решения:

1)Разложите на множители:
a) ; б) ; в).

2)Упростите выражение

а);       б);    в);  г)

3) Упростите выражение

а);    б)    в)

г);   д)

е) .

Понятие логарифма числа

Цели: Знать определение логарифма, основное логарифмическое тождество.
Уметь вычислять логарифмы, применять основное логарифмическое тождество.

Исторические сведения.

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[3]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи (англ. Pietro Mengoli)) в середине XVI века[4].

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748).  Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Актуализация опорных знаний

Пример 1: Найти положительный корень уравнения x4=81.

Решение. Не трудно догадаться, что .

Пример 2: Найти корень уравнения 3х=81.  Откуда 3х=34 ; х=4

В первом примере неизвестная является основанием степени, а во втором – показателем.

Пример 3: Найти корень уравнения 3х=80.  

Такое уравнение не удается решить, применяя предыдущие методы. Однако уравнение имеет корень. Он находится через логарифм

Объяснение нового материала

Логарифмом числа b по основания a называется такой показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Примеры: ; т.к.23=8

                  ; т.к.54=625

                  ; т.к.42=16

                  ; т.к.3-2=

                  ; т.к.5-1=

                  ; т.к.4-3=

                  ; т.к.

                  ; т.к

                  ;      

Пользуясь определением можно записать основное логарифмическое тождество:

Примеры: 

Задачи для самостоятельного решения:

Вычислите:

1. а) ,       б) ,         в) ,       д) ,
е) ,          ж),         з)  ,       и) ,     к) ,
л) ,         м)  ,         н) ,         о) ,         п)   .
 ,       с)  ,  ,  ,    ф)  ,
х)  .    ч) ,      ш)  ,   щ)  ,    ,  .

2. а)  ,        б) ,  ,    г)  .         д) ,
е)   ,      ж)  ,  з)  .       и)  ,       к)  ,
л)  ,      м)  , н)  ,   о)  .

3.  ,     б)  ,         в)  ,       г)   .
 ,     е)  ,          ж)  ,     з)  ,    и)  .

  4. Найти при каких х существует выражения:
а) ,      б) ,            в) ),                г) ,
д) ,    е) ,          ж) ,     з)

Свойства  логарифма

Цели: Знать свойства логарифма, формулы перехода к другому основанию.
Уметь преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Повторение:

1. Что называется логарифмом числа?
2. Основное логарифмическое тождество?

Устный счет

Актуализация опорных знаний:

Логарифмы   и   вычислить нельзя, но их сумма вычисляется:  + = 2  

Объяснение нового материала

Для a>0; a≠1; x>0; y>0 справедливы формулы:

Примеры: а)

                   б)  

                   в)  

                   г)

Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичные логарифм числа называют логарифм этого числа по основанию 10.

Примеры:         
                          

                       .

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где  

Примеры:  
                  
                    

Для натуральных и десятичных логарифмов составлены специальные таблицы.

Для вычисления других логарифмов используют формулу перехода к другому основанию :

Пример:  

Задачи для самостоятельного решения:

Вычислите

1. а)  ,         б)    ,     в) ,
   г)  ,         д)  ,        е)  ,
    ,                     з)  ,                  и)  ,
2. а) ,             б) ,
   в) ,      г) ,
3. а) ,       б) ,        в) , г)        .
4. а)         б) .
5. а) ,                         б) ,          в) ,
   г) ,     д) ,                                  е) .,
   ж) ,                     з)
6. Упростить
   а)
   б) 

7. Известно, что  и . Выразите через a и b:
а) ,            б) ,            в) ,             г)

Логарифмирование и потенцирование

Цели: Знать операции потенцирования и логарифмирования.
Уметь находить число по его логарифму и логарифмировать выражения..

Если выражение составлено из положительных чисел посредствам операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего выражения можно выразить через логарифм входящих в него чисел.

Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием.

Пример 1: Прологарифмировать по основанию 10 выражение.

Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она заключается в том, что по логарифму некоторого выражения восстанавливает само выражение.

Пример 2: Найти x из данных выражений.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Прологарифмируйте по основанию

1.  ,               б)
   в),                           г)

2. Прологарифмируйте по основанию 10, где :
   а) ,                         б) ,
   в) ,                     г) ,
   д) ,                       е) ,
   ж) ,                    з) .
3. Найдите х, если:
   а) ,
   б) ,
   в) ,
   г)

Дополнительные задачи по теме «Логарифм»:

1. Вычислите:
   а) ,               б) ,
   в) ,                  г) ,
   д) ,                               е) ,
   ж) ,           з) ,
   и) ,                          к) ,
   л) ,                 м) .
2. Вычислите:
   а) ,
   б) ,
   в) .
3. Выразите:
   а) , если ,
   б) , если ,
   в) , если ,
   г) , если ,
   д) , если .

   ---

Степенная функция, ее свойства и график

Цели: Знать аналитическое выражения степенной функции, ее свойства и графики при различных значениях степени.
Уметь строить графики степенной функции.

Степенной функцией называется функция, заданная формулой , где х – аргумент, п – данное число. Допустимыми значениями считаются все те значения аргумента, при которых выражение  имеет смысл.

Известно, что на практике многие закономерности выражаются через степенную функцию. Например, площадь квадрата , объем куба  , пройденный путь за время t при равномерно ускоренном движении  и т.д.

Рассмотрим степенную функцию с натуральным показателем:

1.      ,  – функция прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2. , т.е. n – четное число , ,… Графиком функции является парабола степени n.

1. , т.е. n – нечетное число , Графиком данной функции является кубическая парабола.

Рассмотрим степенную функцию, когда показатель степени является целым числом.

1.      ,  – функция константа , графиком является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку

2. при   имеем степенную функцию с еатуральным показателем, рассмотренную выше.
3.  или  - функция обратная пропорциональность, графиком является гипербола.
   а) если m- нечетно, т.е. m= 1, 3, 5… график функции выглядит следующим образом:
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   а) если m- четно, т.е. m= 2, 4,… график функции выглядит следующим образом:
   
   
   
   
   
   
   

Рассмотрим теперь случай когда показатель степенной функции является рациональным числом:  – рациональное число.

Все рассмотренный случаи являются частными случаями степенной функции с рациональным показателем, поэтому достаточно рассмотреть лишь случай, когда r дробной число.

По определению рационального показателя степени имеем: .

Свойства степенной функции с рациональным показателем:

1. При r>0 функция  определена для значений, а при r<0  -  для значений .
2. Областью значений функции  r 0 является промежуток , а при r<0  - (0,).
3. При  r>0 степенная функция возрастает, а при r<0  - убывает.
4. Функция непрерывна на всей области определения

Задачи для самостоятельного решения

Постройте графики функций:

1.                       2.                    3.                     4.
   5.                        6.                     7.                  8.

Показательная функция, ее свойства и график

Цели: Знать аналитическое выражение показательной функции, ее отличие от степенной, свойства показательной функции, ее графики.
Уметь строить графики показательных функций.

Повторение

1. Какая функция называется степенной
2. Какие случаи расположения степенной функции вы знаете? Опишите своства каждого случая.
3. Перечислите свойства степени.

Устный счет. Вычислить

Актуализация опорных знаний:

1. Дайте определение функции как математического понятия
2. Что называется областью определения функции? Областью значения функции?
3. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

Объяснение нового материала:

Пусть задано некоторое число a>0, a

Рассмотрим показательную функцию

Кривую графика показательной функции называют экспонентой. Экспонентой называют и сам график функции y=ax.Так что термин «Экспонента» используется в двух смыслах: для наименования показательной функции и для названия ее графика.

Геометрической особенностью графика показательной функции является  следующее: ось абсцисс является для экспоненты горизонтальной асимптотой.

Показательная функция довольно часто встречается как модель реальных процессов. Например,
-  в физике известен закон радиоактивного распада вещества: , где m0 – первоначальная масса вещества, т – масса вещества в момент времени t, T – период полураспада вещества.
- Количество информации в информатике вычисляется по формуле  N=2I. Где I – количество информации, N – количество возможных исходов неопределенности.

Не следует путать показательную и степенную функцию. Сравните:
- y=x2, y=x10,  y=x-2,  - степенные функции;
- y=2x, y=10x,  - показательные функции.

Функцию вида  y=xx  - не считают ни показательной ни степенной. Иногда ее называют  показательно-степенной.

Пример 1. Построить график функции y=2x+1. Описать ее свойства.

Решение. График искомой функции получается из графика функции y=2x .

График функции y=2x+1) получаем из предыдущего сдвигом по оси Оy на 1 единицу

вверх (Рис 8).

Пример 2. Решите графически уравнения:
а)
Решение: 

а) Построим в одной системе координат графики функций:   и . (Рис 9).

Ответ: x=-1

Проверка: ; 3=3

Задачи для самостоятельного решения:

1. Постройте графики следующих функций:
   а) ;      б) ;       в) ;    
   г) ;          д) ;          е)
2. Решите графически уравнения:
   а) ;    б)  ;        в) ;         г) ;      д) ;
   е) ;        ж) ;        з)
3. Дана функция y=f(x), где
   а) вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(3);
   б) постройте график функции f(x);
   г) опишите свойства функции.
4. Дана функция y=f(x), где
   а) вычислите f(-5); f(-2,5); f(0); f(4);
   б) постройте график функции f(x);
   г) опишите свойства функции.
5. Найдите область значений функции:
   а) ;            б) ;           в) ;
   г) ;         д);      е )

Показательные уравнения

Цели: Знать вид показательного уравнения, метод решения показательных уравнения.
Уметь решить различные типы показательных уравнений.

Устный счет

Объяснение нового материала.

Показательное уравнение - это уравнение содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательного уравнения сводиться к решению уравнения

Это уравнение решается с помощью основного свойства степени: степени с одинаковыми показателями основания равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Пример 1. Решите уравнение:

Решение:; х=4.

Ответ: x=4

Пример 2. Решите уравнение:   

Решение: 

                  2x=-1,5; х=-1,5

Ответ: x=-1,5

Пример 3. Решите уравнение:  4

Решение: 

                  2+x=0x=-2;

Ответ:x=-2

Пример 4. Решите уравнение: =576

Решение: 

                   х=2

Ответ: x=2 .

Пример 5. Решите уравнение: =-78.

Решение: ;

                  ;

                  ;
                 ;
                 
                 . Откуда х=1.

Ответ: x=1 .

Задачи для самостоятельного решения:

Решите уравнения

1 )                            

2)                  

3)  3     2                

4) ;                       

5)          

6)                            

7)                        
                  

8)                      
                  

Показательные неравенства

Цели: Знать внешний вид показательного неравенства, методы решения показательных неравенств.
Уметь решать показательные неравенства.

Актуализация опорных знаний:

1. Какая функция называется степенной?
2. Какая функция называется показательной?
3. Показательная функция является убывающей или возрастающей?
4. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

Устный счет. Определить, какая из функций убывает, какая возрастает:

Объяснение нового материала:

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве показательной функции y=:

при    функция возрастает.

при   функция убывает.

Пример 1. Решите неравенство:   

Решение: Рассмотрим показательную функцию с основанием 3.

Функция y= возрастает, т.к. 31

У возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Знак неравенства не меняется при переходе к аргументам.

2x+12

2x

x

Ответ: x

Пример 2. Решите неравенство:   4

Решение: Представим левую и правую часть в виде степеней с одинаковыми основаниями: : 4=(-2

  (-2

 Функция y=(x  убывает, т.к. 0, при переходе к аргументам знак меняется на противоположный.

73x

x

Ответ: х.

Пример 3. Решите неравенство:

Решение: Рассмотрим показательную функцию с основанием 6. -возрастает (6>1), при переходе к показателям, знак неравенства не меняется;

;

x2+2x-3≥0;

Найдем точки, в которых функция y=x2+2x-3 обращается в нуль

x2+2x-3=0;   x1=-3; x2=1

Точки   -3; 1 разбивают область определения функции на промежутки, кВ каждом из которых функция непрерывна и сохраняет знак.

x(-∞;-3] [1;+∞).

Ответ x(-∞;-3] [1;+∞).

Пример 3. Решите неравенство:  (< 

Решение:  <

(0 < <1), знак меняется;

x2-2x>3;

Найдем точки, в которых функция y=x2-2x-3 обращается в нуль

x2-2x-3=0;  x1=-1; x2=3;

Точки   -1; 3 разбивают область определения функции на промежутки, кВ каждом из которых функция непрерывна и сохраняет знак.

x(-∞;-1] [3;+∞).

Ответ: x(-∞;-1] [3;+∞).

Пример 5. Решите неравенство:  4x-2x+1-8>0.

Решение. По свойствам степеней имеем 4x=22х;  2x+1=2x∙21

22x-2∙2x-8>0

Сделаем замену, t=2x, t>0, т.к. показательная функция существует только при положительных значениях у;

t2-2t-8>0;

Решим неравенство методом интервалов:

t2-2t-8=0;    D=4+32=36;

t1=4; t2=-2;

t>4;

Сделаем обратную замену: 2x>4; 2x>22;

t=2x – возрастает;

x>2;  x(2;+).

Ответ:  x(2;+).

Задачи для самостоятельного решения:

Решите неравенства:

1.  ≥27 ;             б)  ≤ ;             в) ≤ ; <2.25

2.  ≤0.25 ; >0.027 ;          в) >0.16 ;          <27

3.   >  ;       <;    в)≤  ;      >

4.  +>2.5 ;   б) ++<448;     в)->

5.  -≥0     б)-10·+3;       -5·-6≤0.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Цели: Знать аналитическое выражение логарифмической функции, ее свойства и график, связь логарифмической и показательной функции.
Уметь строить график логарифмической функции, находить облать определения логарифмической функции.

Повторение

1. Что называется логарифмом числа
2. Как обозначается логарифм по основанию 10? По основанию е? как они называются?
3. При каких значениях аргумента существует логарифм?
4. Каким должно быть основание логарифма?

Устный счет. Вычислить

Актуализация опорных знаний:

1. Дайте определение функции как математического понятия
2. Что называется областью определения функции? Областью значения функции?
3. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
4. Для какой функции существует обратная?
5. Что можно сказать о графиках обратных функций?
6. Какая функция называется показательной?
7. Опишите свойства показательной функции.

Объяснение нового материала:

Как вы помните: функция – это отображение, при котором каждому значению одного множества ставится в соответствие единственной значение второго множества. Причем отображение называется обратимым если каждому элементу второго множества ставится в соответствие единственный элемент первого множества. Графики обратных функций симметричный относительно прямой у=х

Вспомните определение и свойства показательной функции: y= ax, при a>0, a. Эта функция возрастает на всей числовой прямой при  а>1  и убывает при 0. То есть при любом значении а показательная функция монотонна. Для нее существует обратная функция. Можно ее построить. (Рис 10). Функция, обратная показательной называется логарифмической.

Функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием a.

Для показательной функции существует два случая поведения функции: при  а>1  и при 0

Пример 1. Построить график функции y=log3(x-2). Описать ее свойства.

Решение. График искомой функции получается из графика функции y=log3x.

График функции y=log3(x-2) получаем из предыдущего сдвигом по оси Ох на 2 единицы вправо (Рис 11).

Рис 11. График функции y=log3(x-2).

Пример 2. Найдите область определения функции y=log5(6-2х).

Решение. Областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. 6-2х>0; -2х>-6;  x<3.

Ответ x

Пример 3. Найдите область определения функции y=log5(х2-3х-4).

Решение. х2-3х-4>0.

Решим неравенство методом интервалов: f(x)= х2-3х-4

х2-3х-4=0; x1=-1; x2=4

Ответ: 

Пример 3. Найдите область определения функции

Решение.

Решим неравенство методом интервалов: f(x)=

; Дробь равна 0 когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. Т.О. получим:

 и          

Ответ: 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Перечислите основные свойства функций: y=log3x;  y=log0,5x;   
2. Постройте график функции:

3. Найдите область определения выражения:

4. Найдите значение выражения:

Простейшие логарифмические уравнения

Цели: Знать вид простейших логарифмических уравнений, метод их решениях.
Уметь решать простейшие логарифмические уравнения.

Проверка домашнего задания. Ответьте на вопросы:

1. Что называется логарифмом?
2. Какая функция называется логарифмической?
3. Изобразите график логарифмической функции. Опишите ее свойства

Устный счет. Запишите числа в виде логарифма по основанию 2,3,5,10:

Объяснение нового материала

Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную только под знаком логарифма (в частности,  в его основании). Например,  или  - будут логарифмическими, а  – не является логарифмическим.

Уравнение вида

Называется простейшим логарифмическим уравнением.

Оно имеет единственный корень, т.к. логарифмическая функция y=logax монотонна (возрастает или убывает) на всей области определения. И система уравнений  имеет единственное решение. (Рис 12)

Этот корень можно найти по определению логарифма:

Аргумент логарифма есть число положительное. Поэтому при решении логарифмических уравнений необходимо находить ОДЗ или выполнять проверку.

Пример 1. Решить уравнение:

 I способ. По определению логарифма имеем: , . Откуда
                 Проверка: ; ; 2 = 2.
                  Ответ: х=13.

II способ. Найдем область допустимых значений. Так логарифм существует при положительных значениях аргумента, то:
ОДЗ: ;  ;
 Вернемся к решению уравнения:. Откуда .
 Согласуем с ОДЗ: . Значит  - корень уравнения.
 Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

I способ. В правой и в левой частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями. Логарифмы с одинаковыми основаниями равны тогда и только тогда, когда их аргументы равны. Т.е.  Откуда
Проверка: ; . В левой и правой части равенства имеем одинаковые выражения , которые не имеют смысла, т.к. аргумент логарифма – число положительное. Значит  - посторонний корень

Ответ: решений нет.

II способ. Найдем область допустимых значений. В уравнении имеются два логарифма. Для которых  Оба эти условия должны выполняться одновременно. Решим систему неравенств:
ОДЗ:  ;  ;
.
Вернемся к решению уравнения:  Откуда .
Согласуем с ОДЗ: . Значит - посторонний корень.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение:

I способ. Представим 1 в виде десятичного логарифма и применим свойство разности логарифмов: .
В правой части применим свойство суммы логарифмов: . Логарифмы с одинаковыми основаниями равны тогда и только тогда, когда их аргументы равны. Т.е.  Откуда
Проверка:
 ; . Получили верное равенство, значит  - корень уравнения.
     В левой части равенства имеем выражения ,  которые не имеют смысла, т.к. аргумент логарифма – число положительное. Значит - посторонний корень

Ответ: .

II способ. Найдем область допустимых значений. В уравнении имеются два логарифма. Для которых  Оба эти условия должны выполняться одновременно. Решим систему неравенств:
ОДЗ:  ;  ;
.
Вернемся к решению уравнения:  Откуда
Согласуем с ОДЗ: Значит – корень уравнения.
                                 . Значит - посторонний корень.

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Найдем область допустимых значений:  аргумент логарифма должен быть больше 0. - условия, накладываемые на основание логарифма. Решим систему неравенств: .
Выпишем отдельно первое неравенство и решим его.
 .уравнение действительных корней не имеет
Рассмотрим функцию – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх. Парабола ось Ох не пересекает , т.к. . Значит она вся находится над осью Ох. Значения функции  больше 0 при любом х. Т.е.
Возвращаемся к системе:
Решением системы будет множество:
Решаем уравнение по определению логарифма: ;
. Откуда .
Согласуем с ОДЗ: Значит – корень уравнения.
                                 . Значит - посторонний корень.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

Логарифмические уравнения различных типов

Цели: Знать различные типы логарифмических уравнений, методы их решений.
Уметь решать различные типы логарифмических уравнений.

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. Найдем область допустимых значений уравнения:
ОДЗ: x>0; .
Приведем логарифмы в уравнении к одинаковому основанию: .
 = это квадратное уравнение относительно логарифма. Решим с помощью замены переменной.
Сделаем замену переменной: .
. Откуда 1.
Сделаем обратную замену:
;
.
Согласуем с ОДЗ: ; .

Ответ: ; .

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Найдем область допустимых значений уравнения:
ОДЗ: x>0; .
Преобразуем левую часть уравнения: .
. Перенесем все в левую часть, получим квадратное уравнение относительно логарифма: .
Сделаем замену переменной: ; .
Сделаем обратную замену:

Согласуем с ОДЗ: ; .

Ответ: ; .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение:. Решим уравнение с помощью проверки.
Преобразуем правую часть уравнения: ;
. В обеих частях уравнения стоят логарифмы с одинаковыми основаниями. Логарифмы с одинаковыми основаниями равны тогда и только тогда, когда их аргументы равны. Т.е;
;
;
;
;
 – квадратное уравнение относительно степени.
Сделаем замену переменной:
; Сделаем обратную замену:

.
Проверка:
;
            ;
            ;
             ;
             . Получили верное равенство. Значит  - корень уравнения.
;
           ;
           ;
           . Получили верное равенство. Значит  - корень уравнения.

Ответ: ; .

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

Логарифмические неравенства

Цели: Знать вид простейших логарифмических неравенств, методы их решенияй.
Уметь решать простейшие логарифмические неравенства.

Повторение. Ответьте на вопросы:

1. Что называется логарифмом?
2. Перечислите свойства логарифмической функции
3. Что называется логарифмическим уравнением?
4. Перечислите методы решения логарифмических уравнений.
5. В чем заключается метод решения логарифмического уравнения через проверку? ОДЗ?

Устный счет. Определите какие из данных функций являются возрастающими, какие убывающими?

Объяснение нового материала.

При решении логарифмических неравенств левую и правую часть представляют в виде логарифма с одинаковым основание, а затем переходят к аргументам логарифма. На этом шаге знак неравенства может измениться или остаться прежним. Это зависит от основания логарифма:
а) если основание а>1, то функция y=logax – возрастает. В этом случае большему значению функции соответствует большее значение аргумента и знак неравенства не меняется;
б) если основание 0<а<1, то функция y=logax – убывает. В этом случае большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента и знак неравенства меняется на противоположный.

В решении логарифмического неравенства необходимо указать область допустимых значений, так как логарифм существует только для положительного аргумента, а затем согласовать полученное решение неравенства с ОДЗ.

Алгоритм решения логарифмического неравенства:

1. Найти область допустимых значений из условия: аргумент логарифма должен быть строго больше 0. Если в неравенстве встречаются несколько логарифмов, то нужно решить систему неравенств.
2. Привести обе части неравенства к логарифмам с одинаковым основанием.
3. Рассмотреть функцию y=logax  и описать ее свойства (возрастает/убывавет).
4. Пропотенцировать обе части неравенства, причем знак неравенства останется прежним, если основание а>1, изменить – если основание 0<а<1.
5. Решить неравенство.
6. Согласовать решение неравенства с ОЗД.
7. Записать ответ.

Пример 1. Решите неравенство:

Решение. Найдем область допустимых значений. , т.к. логарифм определен только для положительных чисел. .
Рассмотрим функцию:  - возрастает, т.к. 3>1. При переходе к аргументам знак неравенства останется прежним:  
Согласуем с ОДЗ:

Ответ:

Пример 2. Решите неравенство:

Решение. Найдем область допустимых значений., т.к. логарифм определен только для положительных чисел.
 .

Рассмотрим функцию:  - убывает, т.к. 0<0,5<1. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:  
Согласуем с ОДЗ:

Ответ: 

Пример 3. Решите неравенство: .

Решение. Найдем область допустимых значений. , т.к. логарифм определен только для положительных чисел. ; ;  x<2,5. /
Представим число -2 в виде логарифма с основанием : .
;
Рассмотрим функцию:  - убывает, т.к. 0<<1. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:  
Согласуем с ОДЗ:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

Решите неравенства:
1. ;          б) ;        в) ;      г) ;

2. ;     б) ;      
   в) ;       г) .

3. a) ;                     б) ;
   в) ;      г)

4. ;                  б)
   в)                      г)
   д) ;              е) ;
   ж) З) ;
   и)     к) >;
   л)
   м)

5.
  б)
   в) ;                      г)

6. а);                б)
   в) ;                   г)
   д)

      б)

Практические работы

Степень с рациональным показателем

Цели: Уметь вычислять значения выражений, содержащих степень, сравнивать степени, упрощать выражения, содержащие степень.

Логарифм и его свойства

Цели: Уметь вычислять значения выражений содержащих логарифмы, содержащие логарифмы, логарифмировать и потенцировать выражения.

Решение показательных уравнений и неравенств

Цели: Уметь решать различные типы показательных уравнений и неравенств.

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цели: Уметь решать различные типы логарифмических уравнений и неравенств.

Контрольно-оценочный материал

Индивидуальна домашняя работа «Построение графиков показательной и логарифмической функций»

Постройте графики логарифмических и показательных функции, используя преобразования графикой функций. Опишите свойства функций.

Вариант задания соответствует номеру в журнале для номеров 1-10,
№-10 для номеров в журнале 11-20,
№-20 для номеров 21-30.

Вариант №1.

Вариант №2.

Вариант №3.

Вариант №4.

Вариант №5.

Вариант №6.

Вариант №7.

Вариант №8.

Вариант №9.

Вариант №10.

Тест по теме: “Свойства степени с рациональным показателем”

Вариант №1.

1. Вычислите: .
   1) -11               2) -3              3) 17             4) -5
2. Вычислите:
   1)            2) 343              3) 21             4) 249
3. Упростите выражение:
   1)8           2)              3)            4)
4. Выполните действия:
   1)         2)             3)            4)
5. Найдите значение выражения при х=4, у=9. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
   1)              2) -0,2              3) 1,2             4) 0,2
6. Сократите дробь
   1) a-1             2)               3) a+1             4)
7. Укажите промежуток, которому при надлежит значение выражения:
   1)             2) (213: 214)              3) (122: 123)               4) (-3: -2)
8. Найдите наибольшее из чисел ;   ;    ;    .
   1)                2) ;          3)                4)

Вариант №2.

1. Вычислите: .
   1) 72               2) 36              3) 12             4) 24
2. Вычислите:
   1)            2) 63              3)              4) 0
3. Упростите выражение:
   1)           2)              3)            4)
4. Выполните действия:
   1)         2)             3)            4)
5. Выполните действия:
   1)              2) 64              3)              4)
6. Укажите промежуток, которому принадлежит значение выражения  при
   1) (3;12]             2)(-9;12)              3) [54;60)             4) [27;30)
7. Сократите дробь:
   1)             2)              3)                4)
8. Представьте выражение  в виде квадрата разности
   1)              2) ;          3)            4)

Ответы

Тест по теме: “Понятие логарифма”

1. Найдите значение логарифма: log5 125.
1) 25                2) 3              3)                     4) -3

2. Найдите значение логарифма: log7 49
1)              2) 7              3)0                   4) 2

3. Найдите значение логарифма: log4 1.
1)-4              2) 0              3)1                   4)             

4. Найдите значение логарифма .
1)2              2)               3)-2                   4)0              

5. Найдите значение логарифма: log4 64
1)16              2) 3              3)1                   4)             

6. Найдите значение логарифма .
1)-5              2)               3)5                   4)         

7. Найдите значение логарифма: log0,2 0,008
1)3              2)               3)5                   4)       

8. Известно, что log4 x = 2. Чему равен x?
1)-2              2)               3)2                   4)       

9. Известно, что log3 x = 4. Чему равен x?
1)81              2)              3)                  4)       

10. Известно, что log2 x = 6. Чему равен x?
1)-2              2)               3)3                   4)       

11. Известно, что log5 x = 3. Чему равен x?
1)125              2)               3)                   4)       

12. Известно, что logx 8 = 3. Чему равен x?
1)              2)               3)                   4)       

13. Известно, что logx 0,1 = −1. Чему равен x?
1)              2)               3)                   4)     

14. Известно, что logx 625 = 4. Чему равен x?
1)              2)               3)                   4)     

15. Известно, что logx 27 = 3. Чему равен x?
1)              2)               3)                   4)     

16. Найдите значение выражения: log8 64 − log3 81

17. Найдите значение выражения: log2 32 + log5 125

18. Найдите значение выражения: log3 9 − log7 343

19. Найдите значение выражения: log5 625 + log0,1 0,01

Тест по теме: “Тождественные преобразования логарифмических выражений”

Вариант №1.

1. Вычислите:
   1) 2,5               2) -2,5              3) -3             4) 3
2. Найдите значение выражения: lg0,0001+100
   1) 14               2) 76              3) 96             4) -66
3. Вычислите:1) -5               2) 0              3) e             4) -10
4. Выполните действия:
   1) 13               2) 2              3) 17             4) -169
5. Сократите дробь: .
   1) 12               2) 16              3) 24             4) 32
6. Вычислите:
   1) 142               2) 242              3) 116             4) 121
7. Известно, что . Найдите
   1) -6               2)               3) 6             4) а-49
8. Найдите число k по его логарифму:
   1) 2               2)16              3) 1,6             4) -5

Вариант №2.

1. Вычислите:
   1) 0,25               2) 0,625              3)              4)
2. Найдите значение выражения:
   1) 1025               2) 1000,4              3) 80             4) 2500
3. Вычислите:1) 4               2) -2              3) 3             4)
4. Выполните действия:
   1) 2,5               2) -2              3)              4) -2,5
5. Сократите дробь: .
   1) 0,25               2) 0,5              3) 1             4) 4
6. Вычислите:
   1) 1               2) 1+              3) 0             4)
7. Известно, что . Найдите
   1) a+b               2)3-a-b              3) 2+a+b             4) 30
8. Найдите число x по его логарифму:
   1) 51               2)61              3) 17000             4)

Ответы

Литература

1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике./ П.Т. Апанасов, М.И. Орлов,  М: высшая школа 1987г.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике/ Н.В. Богомолов,  М: Высшая школа 1990г.
3. Дадаян А. А. Математика: учебник. / А.А. Дадаян.  − М.: ФОРУМ, 2008.
4. Дадаян А. А. Сборник задач по математике: учебное пособие / А.А. Дадаян.  − М.: ФОРУМ, 2008.
5. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов./ И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул, М: Наука 1980г.
6. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями. / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – СПб.: Издательство «Лань», 2011.
7. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. Образования / И.Д. Пехлецкий. − М.: Издательский центр «Академия», 2010.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть./ Д.Т. Письменный, М: Айриспресс, 2005г.
9. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике./ В.А. Суходский, А.М. Суходский, Е.С. Мироненко, М: Высшая школа, 1999г.

Интернет-ресурсы:

1. ВикипедиЯ – Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org, свободный. – Загл. с экрана.
2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www. Exponenta.ru, свободный. – Загл. с экрана.
3. Портал московского центра непрерывного математического образования [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  http://www.mccme.ru, свободный. – Загл. с экрана.