конспект урока по теме "Сумма n-первых членов геометрической прогрессии"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Сумма n- первых членов геометрической прогрессии.

Цели: вывести формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии; расширить и углубить знания о прогрессиях; формировать умения применять формулу при решении задач;

развивать кругозор учащихся, познавательный интерес; логическое мышление, наблюдательность, внимание;

 воспитывать самостоятельность, самоконтроль.

Ход урока:

1. Орг. Момент

Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Повтор ранее изученного материала:

Тест

1. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен -3. Найти седьмой член прогрессии.

1. 252       2) 1458       3) 20      4) 1548

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической последовательности (bn) : 24; 12; 6; … . Найти шестой член этой прогрессии.

1. 1,5      2) 1,25     3) 0,75     4) -1,5

3. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = 2, bn+1=3bn. Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

1. bn=3∙2n-1  2) bn=3∙2n       3) bn=2∙3n-1      4) bn=2∙3n

3. Постановка проблемной ситуации:

Задача: Однажды незнакомец постучался в окно богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000р. А ты мне в первый день за 100 000р дашь 1 коп, во второй – 2 коп, в третий день – 4 коп и так будешь каждый день увеличивать число денег в два раза. Если тебе выгодна эта сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он посчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и заключили сделку. Вопрос: кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

- Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?

- Что можем найти? Как?

- Можно ли найти сумму, которую должен отдать купец?

- О какой прогрессии идет речь? Как узнали?

- Знаем ли мы формулу для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии?

- Сформулируйте тему нашего урока.

- Запишите в тетради.

4. Объяснение новой темы:

Выведем формулу для вычисления суммы n- первых членов геометрической прогрессии. (у доски работа сильного учащегося)

- Запишите сумму первых членов геом прогрессии:

Sn= b1+b2+b3+…+bn

-Выразите каждый член прогрессии через первый член и знаменатель. Что получим? Sn=b1+b1q+b1q2+…+b1qn-1

-Умножим обе части данного равенства на q. Что получим?

Snq=b1q+b1q2+b1q3+…+b1qn-1+b1qn

• Сравните записи. Что заметили?
• Вычтем из второго равенства первое

Snq - Sn = (b1q+b1q2+b1q3+…+b1qn-1+b1qn) – (b1+b1q+b1q2+…+b1qn-1)

Sn(q – 1) = b1qn – b1

Sn(q – 1) = b1(qn – 1)

Sn=  , q≠1

Историческая справка: Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с ней связаны различные предания, правдивость которых невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Чтобы понять ее, не нужно уметь играть в шахматы, достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки(попеременно черные и белые). Узнав, что она была изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

- я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь. Мудрец поклонился.

- я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,- продолжил царь.- назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

-не робей,- ободрил царь.- выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы его исполнить.

- велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя скромностью своей просьбы.

-повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

- простое пшеничное зерно?- изумился царь

- да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т д

- довольно,- с раздражением прервал его царь. – ты получишь свои зерна за все 64 клетки. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе и послал узнать, унес ли безрассудный Сета свою жалкую награду. – повелитель,- приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число исследуемых зерен. Царь нахмурился. Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать его. Царь приказал ввести его.

- не в твоей власти, повелитель, исполнять такие желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве земного шара. Чтобы выполнить обещанную награду, прикажи осушить все моря и океаны, превратить все царства в пахотные поля, растопить все льды и снега…

С изумлением царь внимал словам старца. Назови мне это чудовищное число…

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

- так давайте узнаем сколько должен отдать купец незнакомцу денег.

S30 = 1∙(230 – 1)/( 2-1) = 1 073 741 823 коп или 10 737 418 руб 23 коп

5. Закрепление:

- рассмотрим задачи на применение формулы:

1) (bn) геом пр,  b1 = 1/9, q = 3. Найти: S6    (ответ:40 )

2) (bn) геом пр,  b1 = 1/25, q = 5. Найти: S5    (ответ: 31,24)

3) сумма первых членов геометрической прогрессии равна -93. Первый ее член равен -3, а знаменатель равен 2. Найти n.      (ответ: 5)

Проверка знаний учащихся ( самостоятельная работа с самопроверкой)

1В: найти сумму первых членов геом прогрессии, если b1 = - 1, q =3, n=5

2В: найти сумму первых членов геом прогрессии, если b1 = 13, q =2, n=6

3В: найти сумму первых членов геом прогрессии, если b1 = 1, q =-3, n=5

Ответы: -121; 189; 61

6. д/з:

7. итог урока:

- что нового узнали?

-чем занимались на уроке?

Тест

1. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен -3. Найти седьмой член прогрессии.

2. 252       2) 1458       3) 20      4) 1548

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической последовательности (bn) : 24; 12; 6; … . Найти шестой член этой прогрессии.

2. 1,5      2) 1,25     3) 0,75     4) -1,5

3. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = 2, bn+1=3bn. Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

2. bn=3∙2n-1  2) bn=3∙2n       3) bn=2∙3n-1      4) bn=2∙3n

Тест

1. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен -3. Найти седьмой член прогрессии.

3. 252       2) 1458       3) 20      4) 1548

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической последовательности (bn) : 24; 12; 6; … . Найти шестой член этой прогрессии.

3. 1,5      2) 1,25     3) 0,75     4) -1,5

3. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = 2, bn+1=3bn. Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

3. bn=3∙2n-1  2) bn=3∙2n       3) bn=2∙3n-1      4) bn=2∙3n

Тест

1. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен -3. Найти седьмой член прогрессии.

4. 252       2) 1458       3) 20      4) 1548

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической последовательности (bn) : 24; 12; 6; … . Найти шестой член этой прогрессии.

4. 1,5      2) 1,25     3) 0,75     4) -1,5

3. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = 2, bn+1=3bn. Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

4. bn=3∙2n-1  2) bn=3∙2n       3) bn=2∙3n-1      4) bn=2∙3n