конспект урока "Формулы суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

ОПОРНЫЙ ПЛАН-КОНСПЕКТ

урока изучения новой темы

по алгебре в 9-м классе

«Формула суммы п-первых членов арифметической и геометрической прогрессии».

Учитель математики

Нагорнова Л.В.

«Формула суммы п-первых членов арифметической и геометрической прогрессии».

1. Организационные моменты.

Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Анализ контрольной работы.

► У доски (на маленьких досках) два ученика выполняют задания, вызвавшие наибольшие трудности:

а). Дана последовательность натуральных чисел, которые кратны 4 и не превосходят 50. Сколько членов в данной прогрессии?

Ответ: 12.

б). Найти значение х, при котором числа составляют геометрическую прогрессию:

х-2;    3х;    9х+30.

Ответ: х = 5.

►► Устный анализ контрольной работы:

1). обсуждение типичных ошибок,

2). повторение свойств степеней:

Выполнить действия, найти значение выражения:

а). ;          б). ;          в). 25•5-3 ;          г).

3). проверка номеров, выполняемых учениками.

3. Новая тема.

Запишите тему урока в тетрадях.

«Формула суммы п-первых членов арифметической и геометрической прогрессии».

Мы говорили об определении арифметической и геометрической прогрессии, формулах п-го члена, все время, сравнивая эти прогрессии. Давайте вспомним об этом еще раз.

Сегодня мы будем выводить формулы суммы п-первых членов арифметической и геометрической прогрессии.

С формулой суммы первых членов арифметической прогрессии связан один из эпизодов биографии Гаусса.

На уроке учитель так называемой сельской школы, где учатся одновременно ученики 1, 2, 3-го класса пока он объяснял тему третьеклассникам, попросил первашей сложить все числа от 1 до 100, надеясь на временную тишину. Но едва учитель закончил читать условия задачи маленький Гаусс дал ответ – 5050. Кстати в дальнейшем по жизни будут называть «царем науки».

Давайте выясним, как он это сделал?

1, 2, 3, 4, ……..98, 99, 100.

Что это за ряд? (Это арифметическая прогрессия, где первый член равен 1, а последний 100, разность этой прогрессии равна 1).

Обратите внимание на сумму первого и последнего; второго и предпоследнего….. Сколько таких пар? Какова же сумма? Выведем тогда формулу

Sn =

Заменим

ап = а1 + d(п – 1),

получим другую формулу

Запишите формулу в таблицу.

Сразу рассмотрим пример:

Найдите сумму 50 первых членов арифметической прогрессии заданной формулой: ап = 3п – 2.

Решение:

а1 = 3•1 – 2 = 1

а50 = 148

S50 = 3725.                                   

Ответ: 3725.

Поговорим теперь о геометрической прогрессии.

Эта сказка известна всем, кто в детстве смотрел «мультики». Древняя индийская легенда рассказывает, как изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – еще в два раза больше, и так до 64 клетки.

Какой числовой ряд получится?

1,   2,     4,    8, …..

1;   21;   22;   23; …… 263

Огромная цифра.

Кстати, амбар должен иметь размеры 10 м х 4 м х 30 млн.км.

А количество зерен можно получить только лет за 5 среднего урожая, засевая всю планету.

Попробуем вывести формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии.

S = 1 + 2 + 22 + 23 +….. + 263

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 +….. + 262)

Заметим, что вторую формулу можно записать в виде

S = 1 + 2(S – 263)

То есть

S = 1 + 2S - 264

S = 264 – 1

Рассмотрим все в общем виде

S = b1 + b1 g + b1 g2 + ……. + b1 gn-1

S = b1 + g(b1 + b1 g + b1 g2 + ……. + b1 gn-2)

S = b1 + g(S - b1 gn-1)

S = b1 + gS - b1 gn

b1 gn - b1 = gS - S

b1(gn – 1) = S(g – 1)

Запишем эту формулу в нашу табличку.

Рассмотрим сразу пример.

Найти сумму 5-ти первых членов геометрической прогрессии, где

b1 = 6,   а    g = 2

Решение:

S5 =

4. Закрепление пройденного.

Устный опрос: повторение формул.

Работа по вариантам (задания написаны на досках с обратной стороны):

Во время работы по вариантам готовится к ответу ученик, заранее подготовивший историческую справку.

Во время работы по вариантам один ученик выполняет задание на переносной доске.

Задание:

Найти сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой:

ап = 3п – 2

Ответ: 3725.

После проверки заданий (проговорить формулы) – выступление ученика.

При наличии времени – выполнить еще одно задание.

В некоторых задачах на геометрическую прогрессию удобнее использовать промежуточную формулу

                                                       S = b1 + g(S – bп)

Пример:

Найти сумму членов геометрической прогрессии: 1; -2; 4; ….. -512.

Решение:

b1 = 1; bп = -512

b2 = -2; значит g =

S = 1 – 2(S + 512)

S = -341                                                                     Ответ: -341.

5. Итоги урока. Домашнее задание.

Домашнее задание (записать на доске и в дневниках):

№№ 369а, 370а, 408а, 409б.

Подведение итогов урока.

Всем спасибо!