Цикл уроков по теме :" Квадратные уравнения"
методическая разработка по алгебре (8, 9 класс) на тему

Цикл уроков по теме : «Квадратные уравнения»

Цель: используя алгоритм  решения квадратных уравнений разложением на множители квадратного трехчлена посредством метода группировки, выделения полного квадрата и разложения на множители разности квадратов; получить формулы решения различных видов квадратных уравнений в общем виде; исследовать формулы, установив зависимость между знаком дискриминанта и количеством корней .Через конкретные примеры получить теорему Виета и обратную ей. Провести их доказательства в обобщённом виде.

Логическая структура :

 1.Вычисление произведения двух чисел по формулам сокращенного умножения, вычисление квадратов чисел.

2.Составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни.

3.Решение квадратных уравнений методом разложения на множители различными способами.

4.Обощение материала :решение квадратных уравнений в общем виде.

5.Теорема Виета ;Теорема, обратная теореме Виета в конкретных числах и в общем виде.

Ход урока:

1.Устный счёт.

Выполните действие :

16^2; 26^2;43^2; 57^2; 53*47;74*86;

Квадрат суммы/разности равен квадрату первого слагаемого, плюс/минус  удвоенное произведение первого слагаемого на второе, плюс квадрат второго слагаемого

2.Составьте уравнение, имеющее корень 3;7;6;-2,-3.

        x-3=0; х-7=0; х-6=0; х+2=0; х+3=0.

3. Составьте уравнение, имеющее корни 3 и 6; 7 и 6, -2 и 3;-3 и 3.

(х+3)*(х+6)=0; (х-7)*(х-6)=0; (х+2)* (х-3)=0; (х+3)(х-3)=0

4. Выполните умножение  и получите квадратное уравнение:

; ; 0; ;

5. Выполните разложение на множители квадратного трехчлена:

а) способом группировки:

+3x+6x+18=()+(6x+18)=x(x+3)+6(x+3)=(x+3)(x+6)

т.о.уравнение    (x+3)(x+6)=0  равносильно

совокупности двух уравнений

        (x+3)(x+6)=0 ;                                                                   

б) методом выделения полного квадрата:

в) по формулам сокращённого умножения:

Составьте уравнение , имеющее корни -  и 3.

Оно имеет вид  ) = 0;

По «принципу чайника» это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата, а именно:

Решим уравнение в общем виде. Пусть

Выделим полный квадрат

Следствием из полученной формулы является равенствo:

Выражение   называют дискриминантом. Ясно, что квадратное уравнение не будет иметь корней, если значение дискриминанта меньше нуля. Дискриминант принято обозначать буквой D. Если D=0 , то  .

Если коэффициент   равен единице, то квадратное уравнение имеет вид

Следовательно,

Т.о. можно сформулировать теорему Виета : “Cумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту”  и обратную теорему: “ Если сумма чисел  k  и   f  равна – b , а их произведение равно с , то числа k  и  f  являются корнями уравнения ”

Найдите подбором, т.е. используя теорему Виета, корни уравнения :

Изучение темы проводится с активным участием учеников.

Для домашней работы подбираются задания, аналогичные тем, что разбирались в классе, но в объёме 50% от классной работы. Задания различны по уровням сложности и объёму для групп учащихся в соответствии с их уровнем знаний подбираются учителем из учебников, по которым ведётся преподавание, а также из других источников (Например, из  сборника под  редакцией  М.И. Сканави.) Количество часов на изучение темы определяется из фактического уровня подготовки класса.