Статистические характеристики
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

а)

ознакомить учащихся с простейшими статистическими характеристиками, объясняя их практический смысл;

б)

ввести новую терминологию: среднее арифметическое, размах, мода, медиана;

в)

сформировать умения и навыки находить эти характеристики для ряда числовых данных;

г)

продемонстрировать решение задач с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала.

а)

повышение познавательной активности учащихся в учебном процессе, интереса к предмету, логического мышления;

б)

развитие грамотной устной и письменной  математической речи, формирование языка и аппарата математики, выработка умения читать математическую, а следовательно, экономическую и техническую литературу;

в)

развитие зрительной памяти, сознательного восприятия учебного материала;

г)

развитие элементов творческой деятельности как качеств мышления – интуиции, пространственного воображения, смекалки;

д)

развитие мировоззрения, понимания философской стороны математики как науки об определенных свойствах действительного мира и ее роли в освоении научной картины мира.

а)

воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога;

б)

формирование навыков самоконтроля, самопроверки и взаимопроверки;

в)

воспитание коммуникативной культуры, умения работать в паре, оценивать себя и своих товарищей;

г)

эстетическое формирование личности учащегося; воспитание учащегося по критериям «научной» красоты.

№ п/п

этапы урока

время

(мин.)

приемы и методы

1.

Организационный этап.

2

Сообщение темы урока, формулирование целей урока и мотивация учебной деятельности.

2.

Объяснение нового материала с применением презентации по теме «Статистические характеристики».

17

Объяснение учителем нового материала с составлением учащимися плана-конспекта.

3.

Формирование умений и навыков при решении практических упражнений.

19

Решение упражнений на отыскание рассматриваемых статистических характеристик и истолкование их практического смысла. Отработать умение проводить необходимые рассуждения.

4.

Подведение итогов урока с указанием домашнего задания.

2

Сообщение учителя, запись домашнего задания на доске и в дневниках учащихся.

«Статистика — самостоятельная наука с ей одной принадлежащими задачами и методами. Её результат есть политическая арифметика, её цель — познание закономерностей развития организма человеческого общества; её задача — получить точные знания обо всех факторах, определяющих явления внешнего мира в его целостности.

Цель статистики заключается в представлении фактов в наиболее сжатой форме».

А. М. Guerry

«Статистика знает всё» - такими словами начинается вторая часть романа Ильи Ильфа и Евгения Петрова «Двенадцать стульев».

«Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин… станков, собак всех пород, велосипедов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок.
Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!... От статистики не скроешься никуда…»

Комментарий учителя

!

Ребята!

Строки знаменитого романа не дают, конечно, научного определения статистики. Однако, из этого юмористического описания мы узнаем, что её объектом являются статистические данные о самых разнообразных явлениях жизни, собранные в статистические таблицы. Но зачем нужны такие таблицы, как их составлять и обрабатывать, какие выводы можно делать из них? Ответы на эти вопросы и дает статистика.

Статистика – наука, которая  занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.
Слово «статистика» происходит от латинского слова «status, которое означает «состояние, положение вещей».
Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, производства и потребления разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т.п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Комментарий учителя

!

Ребята!

Известно, что уже в древних государствах вели учет населения, способного платить налоги. С развитием естественных наук и усложнением жизни общества потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений.

В ХIX веке появилась биологическая статистика, которая в работах авторов была названа биометрикой. Она анализирует статистические данные, связанные с численными характеристиками как отдельных биологических особей, так и их популяций.
В демографии большую роль играет демографическая статистика, изучающая численность населения, его возрастной, социальный, профессиональный состав, передвижения населения в пределах страны и т.п.
Экономическая статистика разрабатывает методы прогнозирования роста или спада производства продукции; изменения цен, спроса и предложения на товары.
Можно назвать еще несколько десятков различных статистик6 например, медицинскую, финансовую, страховую и т.д.

Комментарий учителя

!

Методы обработки статистических данных во всех названных видах статистики имеют много общего и основаны на знании теории вероятности. В ХХ веке возникла новая наука – математическая статистика. Введем понятия простейших статистических характеристик и рассмотрим их содержательный смысл на доступных примерах.

Рассмотрим конкретный пример.

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 человек семиклассников. Их попросили отменить в определенный день время (в минутах), затраченного на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:
23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.
 Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре.
  Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12:

       

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Комментарий учителя

!

Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем по 27 минут. Проводя аналогичные наблюдения, за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течение недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т.п.

Среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных:
- среднюю урожайность пшеницы с 1га в районе;
- средний суточный удой молока от одной коровы на ферме;
- среднюю выработку одного рабочего бригады за смену.
Необходимо знать, что среднее арифметическое находят только для однородных величин.
Не имеет, например, смысла в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве.
Причем и для однородных величин вычисление среднего арифметического бывает иногда лишено смысла, например, нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обуви, которую носят учащиеся школы.

Комментарий учителя

!

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако, анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший результат равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах ряда находят тогда, когда хотят определить как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебание температуры воздуха в течение этих суток.

Комментарий учителя

!

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах, полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в ряду.

Ряд чисел можно иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

Например, в ряду чисел
47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53
две моды – это числа 47 и 52,
а в ряду чисел
69, 68, 66, 70, 67, 67, 71, 74, 63, 73, 72
моды нет.

Комментарий учителя

!

Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить  в этом случае среднее арифметическое не имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, который отдают предпочтение покупатели, цены на товар такого вида, распространенные на рынке и т.п.

Рассмотрим еще пример.

Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:
36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.
Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду.
Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т. е. такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего. Получим 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.
Вычислим среднее арифметическое:





Размах ряда равен 39-35=4. Мода данного ряда равна 36,т. к. число 36 чаще всего встречается в этом ряду.
 Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

Комментарий учителя

!

Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Рассмотрим еще одну статистическую характеристику. Начнем с примера.

В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
64,72,72,75, 78, 82, 85, 91, 93.
В полученном упорядоченном ряду девять чисел.
Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является серединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Комментарий учителя

!

Приведем теперь другой пример.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное по середине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных по середине.
 Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n-1 членов, то медианой ряда является n-й член, т.к. n-1 членов стоит  до n-го члена и n-1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n-м и n+1-м местах.

Комментарий учителя

!

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит срединное значение, т.е. медиану.

Рассмотрим еще один пример.

Комментарий учителя

!

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по- разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют либо все три показателя, либо некоторые из них.      

Если, например, анализируются сведения о годовых доходах нескольких юридических фирм города, то удобно использовать все три показателя. Среднее арифметическое покажет средний годовой доход фирм, мода будет характеризовать типичный показатель годового дохода, медиана позволит определить туристические фирмы, годовой доход которых ниже среднего показателя. Если изучаются данные о размерах мужской обуви, проданной в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое или медиану не имеет смысла.

При анализе результатов, показанных участницами заплыва на дистанцию 100м, наиболее приемлемой характеристикой является медиана. Знание медианы позволит выделить для участия в соревнованиях спортсменок, показавших результат выше среднего.