Математическая индукция
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Индуктивное умозаключение — метод рассуждения от частного к общему. Метод доказательства, при котором проверяется утверждение для конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называют полной индукцией. Этот метод применим сравнительно редко, поскольку математические утверждения касаются, как правило, не конечных, а бесконечных множеств объектов.

Слайд 3

Например, утверждение: «Каждое двузначное чётное число является суммой двух простых чисел» – следует из серии равенств, которые вполне реально установить: 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79. НО утверждение о четных двузначных числах является лишь частным случаем теоремы: «Любое четное число является суммой двух простых чисел». Эта теорема до сих пор ни доказана, ни опровергнута. Проблема Гольдбаха ( гипотеза Гольдбаха , проблема Эйлера , бинарная проблема Гольдбаха ) — одна из классических аддитивных проблем в теории чисел.

Слайд 4

Способ доказательства методом математической индукции заключается в следующем : база индукции: доказывают или непосредственно проверяют справедливость утверждения для n=1 (иногда n=0 или n=n 0 ); 2) индукционный шаг (переход): предполагают справедливость утверждения для некоторого натурального n=k и , исходя из этого предположения, доказывают справедливость утверждения для n=k+1.

Слайд 5

Доказать , что при любом натуральном n число 3 2n+1 +2 n+2 делится на 7 . Обозначим А(n)=3 2n+1 +2 n+2 . База индукции. Если n=1, то А(1)=3 3 +2 3 =35 и, очевидно, делится на 7. Предположение индукции. Пусть А(k) делится на 7. Индукционный переход. Докажем, что А(k+1) делится на 7, то есть справедливость утверждения задачи при n=k. А (k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2= =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·(9–7)=(3 2k+1 +2 k+2 )·9–7·2 k+2 =9· А (k)–7·2 k+2 . Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7. Следовательно, 3 2n+1 +2 n+2 делится на 7 при любом натуральном n.

Слайд 6

На плоскости дано n окружностей. Доказать , что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.

Слайд 7

Предположим, что утверждение справедливо для любой карты, образованной n окружностями, и пусть на плоскости задано n+1 окружностей. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу сделанного предположения можно правильно раскрасить двумя красками При n=1 утверждение очевидно.

Слайд 8

Восстановим затем отброшенную окружность и по одну сторону от нее, например внутри, изменим цвет каждой области на противоположный. Легко видеть, что при этом мы получим карту, правильную раскрашенную двумя красками, но только теперь уже при n+1 окружностях, что и требовалось доказать.

Слайд 9

В плоскости проведено n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей разбивают плоскость эти прямые.

Слайд 11

Сделав предположение индукции рассмотрим k+1 прямых, удовлетворяющих условию задачи. Выделим из них произвольным образом k прямых. По предположению индукции они разобьют плоскость на 1+ k(k+1)/2 частей. Оставшаяся (k+1)-я прямая разобьётся выделенными k прямыми на k+1 частей и, следовательно, пройдёт по (k+1)-й части, на которые плоскость уже была разбита, и каждую из этих частей разделит на 2 части, то есть добавится ещё k+1 часть. Итак, что и требовалось доказать.

Слайд 12

В любой момент времени число людей на земле , сделавших нечётное число рукопожатий , чётно.

Слайд 13

Назовём людей, сделавших нечётное число рукопожатий «плохими», а остальных «хорошими». После рукопожатия с номером 1 стало два «плохих» человека, т.е. чётное число. Пусть после рукопожатия с номером k число «плохих» людей чётно.

Слайд 14

Пусть происходит рукопожатие номер к+1. При этом может быть 3 случая: Пожимают руки двое «хороших», двое «плохих», «хороший» и «плохой». В первом случае двое «хороших» прибавляют к своему чётному числу рукопожатий ещё одно, т.е. становятся « плохими» ; Во втором случае двое «плохих» становятся « хорошими». И в третьем - «хороший» становится « плохим» , а « плохой» -«хорошим». Т.о . , число «плохих» людей либо увеличивается на два, либо уменьшается на два, либо не меняется, т.е. в любом случае остаётся чётным.

Слайд 15

Доказать методом математической индукции формулу: Доказать, что любое число рублей, большее 7, можно уплатить без сдачи, имея только купюры 3 и 5 рублей.