Презентация. Задачи на применение прогрессий в старых учебниках по математике.
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике Презентацию подготовила учитель МОУ СОШ №5 МО, г. Ивантеевка Любецкая Н.Ф.

Слайд 2

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки. Решение а 14 =а 1 +13d, a 1 =59-13 · 4=7, S 14 =(7+59)/2 · 14=462. Ответ: все чарки весят 462 лата. Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Слайд 3

Яблоки Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника? Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Слайд 4

Решение. Пусть у садовника было х яблок. 1 покупатель 2 покупатель 3 покупатель 7 покупатель

Слайд 5

Составим уравнение: - геометрическая прогрессия, где , n = 7, . Уравнение примет следующий вид: x=127 Ответ: 127 яблок было у садовника.

Слайд 6

В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949) было найдено двадцать задач на арифметическую прогрессию.

Слайд 7

Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.? Решение. a 1 =40, d=15, S n =1690 . Найти n. S n =(2a 1 +d(n-1)) ∙ n:2; n>0; 1690=(80+15(n-1)) ∙ n:2; 1690=(80+15(n-1)) ∙ n:2; 3380=(65+15n) ∙ n; 15n 2 +65n-3380=0; 3n 2 +13n-676=0; n 1 =-52/3; n 2 =13. Так как по условию задачи n>0 , то n=13 . Работники выкопали колодец глубиной 13 аршин.

Слайд 8

Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая каждый месяц 10-ю рублями меньше, чем в предыдущий. Сколько он уплатил в первый месяц и во сколько времени погасил весь свой долг, если в последний месяц ему пришлось отдать 40 р.? Решение. Применим формулы п – го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии получим систему уравнений: a 1 -10n-30=0, a 1 n+10n-1440=0; Решив эту систему способом подстановки, найдем n =-16 и n =9. Так как n>0 , то приходим к выводу, что свой долг человек вернул за 9 месяцев, отдав в первый месяц 120 рублей.

Слайд 9

Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую, Через сколько секунд тела встретятся? Решение . Второе тело пройдет за n сек S n =(2a 1 +d(n-1)) ∙ n:2 = (2 · 3 + 5 · (n-1)) ∙ n:2 = = ( 1 + 5 n) ∙ n:2 (фут), а первое тело - 10 n фут, ( ( 1 + 5 n) ∙ n:2 + 10 n ) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам. ( 1 + 5 n) ∙ n:2 + 10 n =153. n=6 , n= -10,2. Так как n>0, то n=6 . Значит, тела встретятся через 6 секунд.

Слайд 10

Числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах некоторого многоугольника, составляют прогрессию, разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон? Решение. S n =(2a 1 +d(n-1)) ∙ n:2 = =(200+10 (n-1)) ∙ n:2 =5 n 2 +85n. Сумма внутренних углов многоугольника находится по формуле, известной из геометрии: (n- 2 ) · 180. 5 n 2 +95n = 180 n- 360; 5 n 2 - 85n +360=0; n 2 - 17n +72=0; n=8, n=9. Существует два многоугольника, удовлетворяющие условию задачи.

Слайд 11

Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 16,1 фута, а в каждую следующую на 32,2 фута больше, чем в предшествующую. Если два тела начали падать с одной высоты, спустя 5 секунд одно после другого, то через сколько секунд они будут друг от друга на расстоянии 724,5 фута ? Решение. Найдем путь каждого тела. S t+5 -S t =724,5; 16,1(t+5) 2 -16,1t 2 =724,5; t=2. Тела будут друг от друга на расстоянии 724,5 фута через 2 секунды.

Слайд 12

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.; Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.; Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю; Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.. Список использованных источников