Методологические и теоретические основы построения содержания школьного курса математики по теме: “Арифметическая и геометрическая прогрессии”.
статья по алгебре (9 класс) на тему

Методологические и теоретические основы построения

 содержания школьного курса математики по теме:

 “Арифметическая и геометрическая прогрессии”.

Выполнил:

учитель математики МБОУ СОШ  № 5

                                                                              г. Ивантеевки, Московской области

                                                                              Любецкая Наталья Фёдоровна

Содержание.

ВВЕДЕНИЕ

                                              Актуальность.  

               Тема «Прогрессия» бесспорно актуальна на сегодняшний день, потому что  задания по данной теме встречаются на экзаменах ЕГЭ и ГИА, важными являются задачи банковского содержания, а также отмечается достаточно не высокий уровень решения задач данного типа учащимися 9-ых и 11-ых классов.

● цель проекта:

    реализация требований ФГОС ООО при изучении темы: «Прогрессия».

   Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

● задачи исследования:

 - выявить методологические и теоретические основы построения и содержания школьного курса математики, связанные с реализацией ФГОС ООО;

  - выполнить логико-математический и дидактический анализ данной темы с позиций содержания ФГОС;

  - составить таблицу целей, разработать средства обучения  и заполнить карту в соответствии с данной темой;

   - разработать методику обучения данной темы  и применить их в учебном      процессе (фрагменты  нескольких  уроков, направленных на развитие и формирование УУД);

  - составить тематическое и поурочное планирование содержания курса математики с учётом использование средств ЦОР и здоровьесберегающих технологий;

.

● методы  исследования:

Анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся.

ГЛАВА 1.

Теоретические основы обучения теме «Прогрессии».

      § 1. Требования  ФГОС ООО в контексте школьного курса математики.

Переход к новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) предполагает качественно новую модель образования. У многих возникает вопрос: нужна ли такая кардинальная перестройка в образовании? Безусловно, введение ФГОС нового поколения актуально, необходимо.

Социально-экономические, научно-технические, экологические и социально-культурные изменения, происходящие в нашей стране, неизбежно влекут за собой радикальные изменения в образовании. Темпы обновления знаний настолько высоки, что на протяжении жизни человеку приходится неоднократно переучиваться, овладевать новыми профессиями. Непрерывное образование становится реальностью и необходимостью.

Одна из отличительных черт нового Федерального государственного стандарта – смена акцентов: вместо регламентации содержания, которое должно быть изложено учителем на уроках ученикам главным становятся те образовательные результаты, которых они должны достичь в результате своей учебной деятельности. Главной целью образования становится не передача знаний и социального опыта, а развитие личности ученика, его способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации, контролировать и оценивать свои достижения, иначе говоря – формирование умения учиться.

В примерной программе по математике сохранена традиционная для российской школы ориентация на фундаментальный характер образования, на освоение школьниками основополагающих понятий и идей. Эта программа включает материал, создающий основу математической грамотности, необходимой как тем, кто станет учеными, инженерами, изобретателями, экономистами и будет решать принципиальные задачи, связанные с математикой, так и тем, для кого математика не станет сферой непосредственной профессиональной деятельности.

Вместе с тем подходы к формированию содержания школьного  математического образования претерпели существенные изменения, отвечающие требованиям сегодняшнего дня. В Примерной программе основного общего образования по математике иначе сформулированы цели и требования к результатам обучения, что меняет акценты в преподавании; в нее включена характеристика учебной деятельности учащихся в процессе освоения содержания курса.

Система математического образования в основной школе должна стать более динамичной за счет вариативной составляющей на всем протяжении второй ступени общего образования. В примерной программе по математике предусмотрено значительное увеличение активных форм работы, направленных на вовлечение учащихся в математическую деятельность, на обеспечение понимания ими математического материала и развития интеллекта, приобретение практических навыков, умений проводить рассуждения, доказательства. Наряду с этим в ней уделяется внимание использованию компьютеров и информационных технологий для усиления визуальной и экспериментальной составляющей обучения математике.

ФГОС второго поколения требует обеспечивать развитие системы образования в условиях изменяющихся запросов личности и семьи, ожиданий общества и требований государства в сфере образования.

Жизнь не стоит на месте. Меняются дети, меняется школа. Учитель в постоянном поиске: как научить ученика мыслить и действовать самостоятельно? Ведь в современном мире умение мыслить самостоятельно, опираясь на знания и опыт, ценится гораздо выше, чем просто эрудиция, владение большим объемом знаний без умения применять эти знания для решения жизненных проблем. Сформировать  правильную гражданскую активную позицию, учить его искать, думать, творить, делать - именно на эти важные задачи и направлен новый ФГОС. 

§2. Концепция духовно-нравственного развития и  воспитания личности  гражданина  России.

               Изменения в социальной жизни нашей страны, перемены в области просвещения делают особенно актуальными проблемы духовности, морали, этики. Становится иной и современная стратегия развития российской школы: в центре ее – формирование духовно богатой, высоконравственной, образованной и творческой личности. Восстанавливаются важнейшие функции школы – воспитательно-образовательная и этнокультурная, акценты в обучении переносятся с увеличения объема информации на познание, воспитание и развитие.  

         Всё сказанное учитывается в федеральных государственных образовательных стандартах общего образования II поколения, а именно в “Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России”: “Важнейшей целью современного отечественного образования и одной из приоритетных задач общества и государства является воспитание, социально-педагогическая поддержка становления и развития высоконравственного, ответственного, творческого, инициативного, компетентного гражданина России”.

            Целью духовно-нравственного развития и воспитания является социально-педагогическая поддержка становления и развития высоконравственного, творческого, компетентного гражданина России, принимающего судьбу Отечества как свою личную, осознающего ответственность за настоящее и будущее своей страны, укоренённого в духовных и культурных традициях многонационального народа Российской Федерации.

Поставленная цель реализуется через следующие задачи:

— формирование основ гражданской идентичности: чувства сопричастности и гордости за свою Родину, уважения к истории и культуре народа;

— воспитание в каждом ученике трудолюбия, уважения к правам и свободам человека, любви к окружающей природе, Родине, семье;

— воспитание нравственных качеств личности ребёнка,

— освоение ребёнком основных социальных ролей, моральных и этических норм;

— приобщение детей к культурным традициям своего народа, общечеловеческим ценностям.

         Духовно-нравственное воспитание предполагает становление отношений ребенка к Родине, обществу, коллективу, людям, к труду, своим обязанностям и к самому себе, и, соответственно, развитие качеств: патриотизма, толерантности, товарищества, активное отношение к действительности, глубокое уважение к людям.

             Именно в школе должна быть сосредоточена не только интеллектуальная, но и гражданская, духовная и культурная жизнь обучающегося. Отношение к школе как единственному социальному институту, через который проходят все граждане России, является индикатором ценностного и морально нравственного состояния общества и государства. Ребёнок школьного возраста наиболее восприимчив к эмоционально ценностному, духовно нравственному развитию, гражданскому воспитанию. В то же время недостатки развития и воспитания в этот период жизни трудно восполнить в последующие годы.

           Следующая ступень развития гражданина России — это осознанное принятие личностью традиций, ценностей, особых форм культурно исторической, социальной и духовной жизни его родного села, города, района, области, края, республики. Через семью, родственников, друзей, природную среду и социальное окружение наполняются конкретным содержанием такие понятия, как “Отечество”, “малая родина”, “родная земля”, “родной язык”, “моя семья и род”, “мой дом”.

Итак, духовно-нравственное воспитание является одним из основных компонентов образовательного процесса в школе, что помогает вырастить честных, добрых, трудолюбивых людей, поможет найти им свое место в жизни, использовать полученные знания и умения на благо Родины.

§3.   Логико-математический  и дидактический анализ содержания темы  “Арифметическая и геометрическая прогрессии ”.

Логико-дидактический  анализ содержания темы.

Числовые последовательности и, как частный случай, прогрессии изучаются в курсе алгебры 9 класса. По мнению А. Г. Мордковича, тема “Прогрессии” является “тупиковой, не имеющей связей с остальным материалом основной школы. Последовательности — тема математического анализа, и было бы логичнее начинать с нее изучение начал математического анализа в старшей школе”. Однако в стандарте математического образования тема “Прогрессии” представлена в рамках основной школы, и изучение её является необходимым.

              Поскольку  в курсе 9 класса приоритет отдается функциональной линии, то и последовательности логичнее рассматривать как функции, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики; это — функции натурального аргумента. В таком ключе подается материал в учебнике “Алгебра  9”  Алгебра. 9 класс. Учебник. Мордкович А.Г., Семенов П.В. 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010 - 224с.

             Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа:

• составляется развернутый тематический план изучения темы
• определяются цели и задачи уроков

              Тематическое планирование составлено по учебнику “Алгебра. 9 класс”. Учебник. Мордкович А.Г., Семенов П.В. 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010 - 224с.

           Уроки алгебры в 9 классе проводятся 3 часа в неделю. Всего на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» отводится 14 часов из 30 часов в третьей четверти.

Планирование учебного материала изучения темы «Прогрессии»             (14 часов)

Существенным отличием при изучении темы «Прогрессии» от традиционной подачи материала является параллельное изучение арифметической и геометрической прогрессии. Оно предлагается для думающего, интересующегося математикой класса. Его главным отличием от общепринятого является то, что изучение арифметической и геометрической прогрессий предлагается параллельно -  это, учитывая возрастные особенности учащихся, способствует активизации их познавательной деятельности.

Планирование учебного материала изучения темы «Прогрессии»                 (14 часов)

Логико-математический анализ содержания темы.

На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий последовательность, п-й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения.

Для более сильных учащихся можно ввести строгое определение последовательности как функции натурального аргумента, понятие области определения и области значений такой функции, графическое изображение последовательности, на этом же уроке уместно показать различные способы задания последовательности.

Сведения, полученные учащимися на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п-го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.

Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.

Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением .

Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член.

Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом  и разностью d определяется индуктивно условиями:  и .

Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 и : 1, 2, 3, 4 ... .           Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями:  и .

Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.

Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.

В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если , и будет убывающей, если d < 0.

Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально.

Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Мой опыт работы показывает, что вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся, поэтому в классе работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на уроке-лекции по введению и самостоятельному приобретению новых знаний «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы  и .

На этом же уроке необходимо подвести  учащихся к характеристическим свойствам прогрессий с помощью трех заданий, предлагаемых ученикам последовательно.

Вывод суммы первых n членов арифметической или геометрической прогрессий способом, предложенным в учебном пособии Мордковича А. Г. , не вызывает у учащихся затруднений, но чтобы эта работа заинтересовала учащихся, им можно рассказать предание о маленьком Карле Гауссе (о будущем немецком короле математики) решившим в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел, а затем поставить перед учениками проблему: «Как смог найти сумму ста натуральных чисел десятилетний мальчик?». Далее необходимо отметить, что с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при решении выше указанной проблемы, можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. После этого следует приступить к выводу формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для хорошо успевающего по математике класса эту работу можно дать в форме задачи, а затем обсудить полученные результаты в виде двух вариантов формулы и сделать вывод.

При изучении формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии сначала можно рассказать древнюю индийскую легенду об изобретателе шахмат Сете. Затем рекомендуется поставить  проблему перед учащимися следующего содержания: «Сколько зерен должен был получить Сета за свое изобретение?» Дальнейшая работа по выводу формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии проводится аналогично работе с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины.

          После изучения темы «Прогрессии» каждый учащийся должен знать:

 - что есть числовая последовательность, ее обозначение и способы задания.

 - что есть члены последовательности, обозначение.

 - определение арифметической прогрессии, ее разности.

 - определение геометрической прогрессии, ее знаменателя.

 - формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий.

 - формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

должен уметь:

- приводить примеры.

- решать простейшие задачи с использованием изученных формул.

может знать:

- свойства последовательностей (в частности, прогрессий) — возрастающая, убывающая, конечная, бесконечная.

- характеристические свойства прогрессий.

уметь:

- выводить изученные формулы.

- преобразовывать формулы.

- решать нестандартные и прикладные задачи.

В начале изучения темы, вывешиваются вопросы к зачету, примерный вариант письменного зачета и тематической контрольной работы.

Заключение.

               Знания, умения и навыки, приобретаемые школьниками в процессе учебы,  рассматриваются как производные от соответствующих видов целенаправленных действий, т. е. они формируются, применяются и сохраняются в тесной связи с активными действиями самих учащихся. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий.

                Но при этом нельзя забывать и о том, что духовно-нравственное развитие и воспитание гражданина России является ключевым фактором развития страны, обеспечения духовного единства народа и объединяющих его моральных ценностей, политической и экономической стабильности. Невозможно создать современную инновационную экономику, минуя человека, его состояния и качества внутренней жизни.

  Список литературы.

1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с.
2. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. - М.: Просвещение, 2009. - 24 с.

3. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.
4. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. – М.: Просвещение, 2011.

5. Асмолов А. Г. Системно - деятельный подход к разработке стандартов нового поколения. // Педагогика.- 2009.-№4.- С.18-22.

6. Мордкович. А.Г. Алгебра 9кл. Учебник. М.: Мнемозина, 2009 г.

7.  Мордкович А.Г. Алгебра 7 - 9кл. Методическое пособие для учителя, М: Мнемозина, 2001г.