Преемственность содержания геометрической линии в школьном курсе математики
статья по геометрии на тему

Преемственность содержания геометрической линии в школьном курсе математики

Выполнил Казак Вадим Михайлович, учитель математики МАОУ СОШ №147 города Челябинска

Основными целями школьного математического образования становятся интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе; овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования; воспитание личности в процессе освоения математики, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности. Реализация названных целей вызывает необходимость в обновлении системы школьного математического образования, которая призвана обеспечить гармоничное сочетание интересов личности и общества.

Основными задачами преподавания геометрии в школе являются:

1. изучение пространственных форм;
2. развитие пространственного воображения;
3. воспитания правильного логического мышления;
4. привитие  практических  навыков,  включая  сюда  и  умение  решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Изучение курса геометрии начинается в 1-4-х классах на интуитивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал излагается на наглядно-интуитивном уровне, важнейшие методы и законы формулируются в виде правил.

Учащиеся 1 - 4-х классов должны уметь:

Распознавать и изображать (на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки) простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник);

1. измерять длину отрезка, ломаной;
2. строить отрезок данной длины;
3. вычислять периметр и площадь многоугольника.

Учащиеся 5 — 6-х классов должны знать:

Геометрические фигуры:

4. отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, многоугольник, окружность, круг;
5. перпендикуляр к прямой;
6. прямой угол;
7. параллельные прямые;

1. куб, прямоугольный параллелепипед, шар. Примеры величин:
2. длина, площадь, объем, градусная мера угла.
3. единицы измерения длин, площадей, объемов и углов;
4. масштаб;
5. измерение отрезков и углов;
6. площадь прямоугольника;
7. объем прямоугольного параллелепипеда;
8. формулы длины окружности и площади круга.

Инструменты:

9. линейка,
10. угольник,
11. транспортир,
12. циркуль.

Построение отрезков и углов заданной величины. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки.

Таким образом, к началу изучения систематического школьного  курса геометрии учащиеся, усвоившие программный материал, на наглядно-интуитивном уровне, знают целый ряд геометрических фигур и  умеют их распознавать и изображать.

В частности, умеют строить отрезки и углы заданной величин перпендикуляр к прямой, параллельные прямые; измерять отрезки углы; вычислять длину окружности, площадь и периметр прямоугольника, площадь круга, объем прямоугольного параллелепипеда.

Курс геометрии 7 - 9-х классов предусматривает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений учащихся, развитие их логического мышления и подготовку к изучению стереометрии, а также смежных дисциплин (физика, черчение и др.).

Усиливается теоретическая значимость изучаемого материала: расширяются внутренние логические связи курса; повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач, развивается их логическое мышление. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории. Прикладная направленность курса обеспечивается постоянным обращением к наглядности, в частности к рисункам и чертежам на всех этапах обучения и развитием на этой основе геометрической интуиции учащихся.

Систематическое обращение к примерам из практики развивает у них умение вычленять геометрические формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

Практическая направленность курса обеспечивается систематическим применением геометрического аппарата для решения задач на вычисление значений геометрических величин, доказательство и построение.

При изучении планиметрии учащиеся получают систематические сведения об основных фигурах на плоскости и их свойствах; знакомятся с геометрическими величинами, характеризующими плоские фигуры, и учатся выполнять соответствующие вычисления; знакомятся с применением аналитического аппарата (элементы тригонометрии и алгебры, векторы и координаты) к решению геометрических  задач.

В результате изучения курса планиметрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

1. изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
2. решать типовые задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сидения, полученные в курсе;
3. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;
4. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы;
5. выполнять основные построения циркулем и линейкой;
6. решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений;
7. применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
8. использовать векторы и координаты для решения стандартных задач (вычисления длин и углов, сложение векторов и умножение вектора на число).

В рамках учебного предмета «Геометрия» традиционно изучаются евклидова геометрия, элементы векторной алгебры, геометрические преобразования.

Цель курса геометрии 10-11-х классов - систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений и дальнейшее развитие логического мышления учащихся, усвоение ими способов вычисления практически важных геометрических величин.

Курсу присущ систематизирующий, обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе.

При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Довольно высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость изложения сочетается со значительной степенью наглядности.

Прикладная направленность обучения обеспечивается применением наглядности на всех этапах учебного процесса, постоянным обращением к опыту учащихся. Важными в практическом плане являются умения изображать известные геометрические тела, вычислять их объемы и площади поверхностей.

При изучении стереометрии учащиеся приобретают систематические сведения об основных видах пространственных тел и их свойствах, знакомятся с теоретическим обоснованием методов изображения пространственных тел на плоскости, овладевают умениями вычислять значения геометрических величин.

В результате изучения курса стереометрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

8. изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и теорем, и выделять известные тела на чертежах и моделях;
9. решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
10. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии и стереометрии;
11. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применять изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
12. применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
13. использовать координаты и векторы для решения простейших стандартных задач.

В  курсе геометрии можно выделить четыре основных содержательных линии:

1. геометрические фигуры на плоскости;
2. геометрические величины;
3. координаты и векторы;
4. элементы тригонометрии.

Понятийный аппарат содержательной линии «Геометрические фигуры и их свойства» включает следующие понятия:

1. «точка»,
2. «прямая»,
3. «отрезок»,
4. «луч»,
5. «угол»,
6. «треугольник»,
7. «окружность»,
8. «параллелограмм» и др.

Блок знаний каждого конкретного понятия формируется в течение целого ряда уроков, прерываясь, возобновляясь, продолжаясь и снова прерываясь и т.д.

Результат обучения содержательной линии планиметрии «Геометрические фигуры и их свойства»  определяет знания и умения на уровне «овладения» и  должен  непременно достигнут.

И вновь подошли к этому вопросу, но уже на более высоком уровне: кроме геометрических фигур и их свойств, представленных в той последовательности, в которой они изучаются, выделены и методы геометрии соответствующими блоками знаний, а также основные специфические геометрические линии (равенства фигур, построения и измерения, существования фигур).

Курс геометрии 1 - 6-х классов дал учащимся:

1. умение узнавать и изображать  геометрические  фигуры,
2. строить и измерять отрезки и углы,
3. вычислять площади и периметр прямоугольника и круга, длину окружности, объем прямоугольного параллелепипеда.

Первый урок по программе 7-го класса продолжает эту систему знаний и умений, открытием геометрии как науки, её аксиоматической основы и дедуктивного построения. Далее работу по обобщению и систематизации проводим, составляя:

тематические вкладыши: «Система аксиом»;

понятийные вкладыши:

1. «Точка»,
2.  «Прямая»,
3. «Отрезок»,
4. «Луч»,
5. «Угол»,
6. «Треугольник»,
7. «Окружность»;

содержательные вкладыши:

1. «Геометрические фигуры и их свойства»,
2. «Геометрические величины»;

тематические:

1. «Методы геометрии»,
2. «Геометрические построения».

В 8-ом классе продолжаем содержательные блоки «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины» и составляем блоки «Элементы тригонометрии»,продолжаем тематический блок «Методы геометрии» и составляем блоки «Четырехугольники»,продолжаем все понятийные блоки 7-го класса.

В 9-ом классе продолжаем все содержательные блоки, завершается блок «Элементы тригонометрии», составляем блок  «Декартовы координаты на плоскости», «Координаты и векторы», «Многоугольники» и в аспекте плоскости блоки «Геометрические фигуры и их свойства», «Координаты и векторы», «Преобразования фигур» и продолжаем блок «Четырехугольники», а также все понятийные блоки 8-го класса.

Итак, планиметрия завершена. Имеем:

3        понятийных блока:

1. «Угол»,
2. «Треугольник»,
3. «Окружность».

6 тематических блоков:

1. «Аксиомы»,
2. «Геометрические построения»,
3. «Четырехугольники»,
4. «Преобразования фигур»,
5.  «Многоугольники»,
6. «Методы геометрии».

4        содержательных блока:

1. «Геометрические фигуры и их свойства»,
2.  «Геометрические величины»,
3. «Элементы тригонометрии»,
4. «Координаты и векторы».

Обратим внимание на основной список тем по геометрии, подлежащей контролю в конце 9 класса на уроках заключительного повторения, а также при прохождении текущего программного материала:

1. Виды треугольников. Замечательные линии и точки в треугольнике (медиана, средняя линия, высота, биссектриса, серединный перпендикуляр к стороне).
2. Вписанная и описанная окружности.
3. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.
4. Теорема синусов.
5. Теорема косинусов.
6. Теорема Пифагора.
7. Виды четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции.
8. Формулы площадей плоских фигур.
9. Координатный и векторный методы решения геометрических задач.

Еще два года целенаправленного изучения стереометрии - и школьный курс геометрии завершен.

В 10-ом классе завершаем обобщение и систематизацию темы «Аксиомы геометрии», на более высоком уровне рассматриваем вопрос об аксиоматической основе геометрии, о геометрии как науке. Составляем тематический вкладыш знаний и умений «Параллельность и перпендикулярность».

Продолжаем важнейшую содержательную линию курса геометрии - «Геометрические фигуры и их свойства», устанавливая взаимосвязи основных фигур в пространстве.

Продолжаем обобщение и систематизацию содержательной линии «Геометрические величины» и завершаем содержательную линию «Координаты и векторы».

В 11-ом классе проводим обобщение и систематизацию темы «Геометрические тела», завершая содержательную линию «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», а также тематический блок «Преобразование фигур».

Следовательно, к началу обобщающего повторения курса геометрии имеем вкладыши (блоки знаний и умений):

Содержательные:

1. «Геометрические фигуры и их свойства»,
2. «Геометрические величины»,
3. «Координаты и векторы»,
4.  «Элементы тригонометрии».

Тематические:

1. «Аксиомы геометрии»,
2. «Методы геометрии»,
3. «Геометрические построения»,
4. «Преобразование фигур»,
5. «Многоугольники» (четырехугольники),
6.  «Параллельность и перпендикулярность»,
7. «Геометрические тела».

Понятийные:

1. «Угол»,
2. «Треугольник»,
3. «Круг-окружность».

Выделим  уровни овладения учебным материалом.

Первый уровень – общеобразовательный, гуманитарный. Он включает в себя содержание, которым должен овладеть каждый ученик. В геометрии изучение такого материала идет на наглядном уровне, поэтому мы и называем первый уровень наглядным. В него входят определения понятий, сопровождаемые большим количеством иллюстраций, формулировки теорем, объяснение их смысла на чертежах, простейшие логические выводы. Ученик должен представить себе объект, описать его, решить простую задачу. На этом уровне существенно наглядно – оперативное знание предмета, содержащее наглядные представления и умение правильно ими оперировать.

На втором уровне происходит расширение материала первого уровня, решаются задачи прикладного характера, показывается, как геометрические знания применяются к познанию мира. Этот уровень можно назвать прикладным.
Третий уровень – это существенное углубление материала первого уровня, дается его достаточно полное логическое обоснование. Этот углубленный уровень включает самые трудные доказательства теорем, теоретические задачи. Третий уровень имеет не только проблемный характер, но и творческий характер.