Конспект внеклассного мероприятия «Способы решения квадратных уравнений» 8 класс
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

.

Конспект

внеклассного мероприятия

 «Способы решения квадратных уравнений»

8 класс

Цели занятия:

Образовательная: закрепить знание учащихся, полученные при изучении темы; оказать учащимся эффективные приёмы устного решения квадратных уравнений; уметь применять различные способы при решении квадратных уравнений; обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения».

Развивающая: оценить достоинства и недостатки каждого способа; продолжить развитие внимания и логического мышления; продолжить развитие критического мышления, умения говорить и слушать; развивать навыки индивидуальной групповой и коллективной работы.

Воспитательная: воспитывать культуру оформления квадратных уравнений, терпение, упорство в достижении целей.

Целью работы каждого учащегося формирование личного представления о возможности решения квадратных уравнений различными способами.

Предмет изучения: квадратные уравнения.

Методы изучения: использовались как общенаучные методы (анализ, обобщение,

сравнение), так и частнонаучные методы (доказательства, вычисления).

Занятие сопровождается мультимедийной презентацией.

Ход занятия:

Вводное слово учителя:

Квадратные уравнения - это одна из частей фундамента, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение в разных разделах математики. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют

очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Сегодня мы повторим материал и закрепим знания и умения решения квадратных уравнений различными способами. Каждый из вас должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема очень важная в курсе математики, она является ступенькой в изучении более сложного материала. В старших классах 10 и 11 вам предстоит решать логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным. А сегодня вы покажете, насколько готовы шагать по ступеням математики дальше.

I часть занятия - обобщение знаний и умений по теме, полученных во время

классных занятий (слайды презентации).

Общие способы решения квадратных уравнений. Квадратное уравнение – это уравнение ах2 + bx + c = 0, где a, b, c - заданные числа, причем, a ≠ 0, x - неизвестная переменная.

Универсальная формула. Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение D = b2 – 4ac.

1. Формула для четного коэффициента b. Для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0, то есть при чётном b, где k =  b, вместо вышеобозначенной формулы для нахождения корней можно использовать более простые выражения.Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

2. Приведенное квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a: x2 + px + q = 0, p =  , q = - .
3. Неполные квадратные уравнения.  Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c = 0, то есть уравнение имеет вид ax² + bx = 0. Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.  Общий множитель x выносим за скобки: x ˑ (ax + b) = 0. Это уравнение - типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей: x = 0, ax + b = 0. Второе уравнение - линейное. Решаем его: ax = - b, x = -  . Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0 имеет 2 корня, один из которых равен нулю, а второй -  .

Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b = 0, то есть уравнение имеет вид ax² + c = 0 (или ax² - c = 0). Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней. Если знаки a и c  - разные, уравнение имеет два корня. В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов: ax2  - c = 0, ( x -  ) ˑ ( x + ) = 0. 

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:   x -  = 0,  x +  = 0,  x = ,  x = - , x =  , x = -

Неполные уравнения, в которых коэффициенты b = 0 и c = 0, то есть уравнение имеет вид ax² = 0. Уравнение такого рода имеет единственный корень x = 0.

Вывод: Выбор способа решения квадратного уравнения зависит от его коэффициентов

II часть занятия - рассмотрение методов решения квадратных уравнений, не

представленных в школьных учебниках (Материал слайдов презентации)

1)Метод коэффициентов. Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a + c = 0, то его корнями являются -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту -.

2)Метод коэффициентов. Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю a + b + c = 0, то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

3)Метод коэффициентов. Если трёхчлен вида ax² + bx = 0, a ≠ 0, то удастся представить в качестве произведения линейных множителей (kx + m)(lx + m) = 0 можно найти корни квадратного уравнения ими будут - ,- , решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отмечу, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

4)Метод коэффициентов. Использование формулы квадрата суммы (разности).

Если квадратный трёхчлен имеет вид: (ax)2 + 2abx + b2 , применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни: (ax)2 + 2abx + b2 = (ax + b)2 , (ax + b)2 = 0, x = -  .

5)Метод коэффициентов. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно. Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) х1 и х2, будучи решением нижеприведенной системы уравнений, являются корнями уравнения x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1 x2 = q.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом: 1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней - знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения; 2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это - знак, противоположный знаку второго коэффициента.

6)Метод коэффициентов. Метод «переброски». Этот метод позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых квадратных уравнений к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: умножаем обе части на коэффициент a: ax2+bx + c = 0, (ax) 2+ b(ax) + ac = 0, вводим новую переменную y=ax: y2 +by + ac.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений y1 = ax1, y2 = ax2. 

III часть занятия - практикум решения квадратных уравнений описанными методами, рассмотрение вопроса рационального применения методов в случае уравнений с большими коэффициентами.

Основные выводы: данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики; овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;  потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы.

экзаменов в форме ЕГЭ.

Итог занятия: по материалам занятия был роздан учащимся буклет-памятка, в котором представлены методы решения квадратных уравнений и приведены примеры их использования.