Дистанционный урок "Интегрирование методом замены переменной"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Целью сегодняшнего нашего урока является:

• Научиться решать интегралы методом замены переменной, научиться выделять из подынтегральной функции промежуточную для выполнения замены, разбивать сложную функцию на простые, повторить таблицу интегралов и табличные методы интегрирования.

Для работы на уроке вам понадобится:

• таблица интегралов;
• распечатка задания №1 и  теста3 из страниц    дистанционного урока (отправляются преподавателю по электронной почте rombahwork@mail.ru в сроки, установленные календарным планом)

Прежде, чем начинать новую тему, нам нужно вспомнить таблицу интегралов и правила вычисления интегралов  табличным методом. Ответьте на вопросы теста 3.2. (1)Замена переменной в неопределенном интеграле.

Мы с вами научились решать интегралы методом непосредственного интегрирования, когда данный интеграл либо есть в таблице, либо сводиться к табличному интегралу, путем несложных алгебраических преобразований. Сегодня мы рассмотрим интегралы, которые невозможно сразу решать по таблице. Это интегралы такого вида:

∫cos(5x–3) dx;

.

Рассмотрим первый интеграл. Можно заметить, что если бы вместо выражения (5x–3) была бы переменная у, а вместо dx было dy,  то интеграл был бы табличным:   .

Интегралы такого вида  решаются методом замены переменной.

 Общие правила замены переменной дать невозможно, но в большинстве случаев этим методом решаются интегралы, подынтегральная функция которых является сложной функцией.

При этом, “внутреннюю” часть сложной функции заменяют новой переменной и  подынтегральное выражение также выражают  через новую переменную. Если замена выполнена правильно, получается табличный интеграл. Его  вычисляют и делают обратную замену.

Если подынтегральное выражение удалось преобразовать к виду

∫ f(x)dx = ∫ f1(φ(x))φ′(x) dx

 и, заменив φ(x) новой переменной у, получим 

∫ f(x)dx = ∫ f1(y) dy. 

Если   ∫ f1(y) dy =  F(u) + c, то        

                                 ∫ f(x)dx = F(u) + c = F(φ(x)) + c.

Разберем это на примере. Откройте презентацию и посмотрите как выполняется замена переменной и как оформляется решение.

После изучения теории ответьте на вопросы теста 3.2. (2)Замена переменной в неопределенном интеграле.

Следующее задание вы выполняете на листах- шаблонах, которые  распечатали перед уроком. Заполните пропущенные клетки, если возникают вопросы, задайте их преподавателю во время консультации.

Задание №1. (распечатайте эти примеры для решения на бумаге).

.

2.

       Следующую формулу применяем, если «внутренней функцией» является линейная функция вида kx+b.

                       Добавьте эту формулу в свою таблицу интегралов.

Этой формулой удобно пользоваться при решении интегралов:

Теперь попробуйте решить интегралы самостоятельно. Тест  3.2.(3) Замена переменной в неопределенном интеграле является контрольной работой по результатам изучения этого урока. Поэтому, выполните его на бумаге, правильно оформляя результаты вычислений (это решение должно быть отправлено почтой преподавателю, в сроки, установленные календарным планом).  Результат решения занесите в компьютер, выбирая правильный ответ из предложенных.

Тест  №3     (распечатайте эти примеры для решения на бумаге).

Решить интегралы:

а)

в)