решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной
статья по алгебре по теме

Решение иррациональных уравнений и неравенств методом введения новой переменной.

При изучении темы « решение иррациональных уравнений и неравенств» целесообразно вводить способ введения новой переменной, который облегчает решения некоторых уравнений и неравенств.

Например:  Уравнения и неравенства  вида= сх+d,  >сх+d, <сх+d проще решать заменой переменной.

1. = х - 6

Пусть =t ,  где t≥0,  тогда  х-4=,  х= 

Данное уравнение примет вид:     t = , =0,  t=2; t=-1 ( не удовлетворяет условию  t≥0), значит х=4+4;  х=8

Ответ: 8

2.  х-1

Пусть =t,  где t≥0, тогда 3х-5=;    х = ;

Данное неравенство примет вид:    t<;    -3t+2>0;  0≤ t<1 или t>2.

     0≤ <1                                        или                       >2

0≤ 1                                                                        3х-5 > 4

≤x<2                                                                                       х>3

Ответ:  [; 2);  (3;∞)

3.  + =7

Пусть  = t, где t≥0, тогда  х+3=, х=-3.

Данное уравнение примет вид:  t +=7;  = 7-t

0 ≤ t ≤7                                                          0 ≤ t ≤7

                                       ;                          t=-10         

-11=49-14t+,                                 t=3

                                                                  t=3, значит х=6

Ответ: 6.

4.       +   =7

Пусть    =t, , где t≥0, тогда 3-2х +8=, данное уравнение примет вид:  +t=7, решая получившиеся иррациональное уравнение, находим значения х.

Для некоторых иррациональных уравнений целесообразно вводить две переменные.

Например: −

 Пусть            = t, t≥0    =v, v≥0, тогда =,

=.  Составим систему:                  −=16х

                                                                            t− v= 2x    

   Решая данную систему, находим значение x=0 или t=x+4.

 = x+4, решая данное уравнение , находим его корни,  х=3, х=-3

Ответ: -3; 3; 0.