Конспект урока алгебры и начала анализа 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА 11 КЛАСС

МУХАМЕТШИНА Л.Р.

ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА
К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА

Цели: вывести формулу перехода к новому основанию логарифма и сформировать представление о связи логарифмических функций с разными основаниями логарифма; вывести два следствия из указанной формулы; формировать умение использовать формулу перехода для решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить.

а) log 2 16;                        б) 32;                        в) lg 0,0001;

г) log 3  + log 2 18;                д) lg 500 – lg 5;                е) log 5 254.

2. Замените * соответствующим числом.

а) log * 4 = –2;                        б) = 11;                в) log 2 16* = 20;

г) log 2 100 – log 2 * = 1;        д)  = 81;                е) = 1.

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Вспоминаем,  как  связаны  графики  функций  y = f (x),  y = f (x) + b,
y = k · f (x), y = f (x + a) и y = f (mx). Механические преобразования предполагают параллельный перенос либо сжатие (растяжение) вдоль осей координат графика исходной функции.

2. На рисунке 215 учебника представлены графики функций y = log 2 x, y = log 3 x. Замечаем, что график функции y = log 2 x получен растяжением графика функции y = log 3 x вдоль оси Oу. Но возможно это только видимость, доказать можно вывод, если верно равенство log 2 x = k · log 3 x, где k – некоторое число. Возникает проблемная ситуация.

3. Для решения поставленной проблемы нам необходима теорема:

log a b = , где a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1.

  Пусть x = log a b, y = log c b, z = log c a, тогда ax = b; cy = b; cz = a, значит, ax = cy. Так как a = cz, то (cz)x = cy, то есть czx = cy. Следовательно, zx = y, то есть x =  или log a b =  

Необходимо провести это доказательство с учащимися в классе. Это позволит еще раз проследить связь взаимообратных функций y = log a x и y = ax.

4. На основании доказанной теоремы мы можем подтвердить свою догадку:

log 3 x =     ⇒   log 2 x = log 2 3 · log 3 x.

Значит, коэффициент растяжения k = log 2 3.

5. Предлагаем учащимся самостоятельно вывести следствия из доказанной теоремы. На доску выносим запись всех трех формул.

Третью формулу можно также выписать в виде:

IV. Формирование умений и навыков.

1. Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены как на закрепление самой формулы перехода к новому основанию логарифма, так и на применение её и её следствий для вычисления значений выражений и сравнения чисел. В каждом примере возникает необходимость обоснования выбора нового основания логарифма, к которому осуществляется переход.

2. № 46.1 (а; б), № 46.2, № 46.4 (а; б)

Решение:

№ 46.1.

а) log 2  + log 4 9 = log 2  +  32 = log 2  + log 2 3 =
= log 2  = log 2 1 = 0.

б)

 = 2.

№ 46.2.

log 2 3 = a.

а) log 3 2 = ;

б) log 3  = log 3 2–1 = –1 · log 3 2 = –1 · ;

в) log 3 4 = log 3 22 = 2 log 3 2 = 2 · ;

г) log 3  = log 3 4–1 = – log 3 4 = .

№ 46.4.

log 2 3 = a.

а) log 4 9 =  32 = log 2 3 = a;

б) log 8 18 = log 8 2 + log 8 9 = 2 + 32 =  log 2 2 +
+  · 2 · log 2 3 = a = ;

в) log 4 81 = log 4 92 = 2 log 4 9 = 2a;

г) log 8 54 = log 8 (18 · 3) = log 8 18 + log 8 3 =  + 3 =
=  +  · log 2 3 =  = a + .

3. № 46.5 (а; б), № 46.6 (а; б).

Для сравнения чисел необходимо привести логарифмы к одному основанию. Кроме того, необходимо учитывать характер монотонности логарифмической функции.

Решение:

№ 46.5 (а).

log 2 7 и log 7 4.

Приведем второй логарифм к основанию 2.

log 7 4 = 2 log 7 2 = .

Оценим полученные выражения:

2 < log 2 7 < 3;

;

 < 1.

Значит,  < log 2 7, или log 7 4 < log 2 7.

№ 46.6 (б).

3 и 1,5.

Имеем: .

Функция y = x – монотонно убывает. Так как 3 > , то 3 < , значит, 3 < 1,5.

4. № 46.9 (а; б), № 46.10*.

Для решения упражнений данной группы учащимся необходимо применять все ранее изученные свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию логарифма.

Необходимо побуждать ребят использовать разные следствия теорем о переходе к новому основанию в зависимости от задачной ситуации.

Решение:

№ 46.9 

а)
+  = 16 + 4 = 20;

б) log 3 8 · log 2 27 –  = log 3 23 · log 2 33 –  =
= 3 · log 3 2 · 3 · log 2 3 –  = 9 – 5 = 4.

Ответ: а) 20; б) 4.

№ 46.10

а)  = log 2 56 · log 2 28 – log 2 7 · log 2 224 =
= (log 2 7 + log 2 8)(log 2 4 + log 2 7) – log 2 7 (log 2 7 + log 2 32) =
= (log 2 7 + 3)(2 + log 2 7) – log 2 7 (log 2 7 + 5) = 2 log 2 7 +  +
+ 6 + 3 log 2 7 –  – 5 log 2 7 = 6.

б)  = log 3 135 · log 3 45 – log 3 5 · log 3 1215 =
= (log 3 5 + log 3 27)(log 3 5 + log 3 9) – log 3 5 (log 3 5 + log 3 243) =
= (log 3 5 + 3)(log 3 5 + 2) – log 3 5 (log 3 5 + 5) =  + 2 log 3 5 +
+ 3 log 3 5 + 6 –  – 5 log 3 5 = 6.

Ответ: а) 6; б) 6.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Каким  образом  связаны  графики  различных  логарифмических функций?

– Назовите формулу перехода к новому основанию логарифма.

– Какие следствия существуют из теоремы о переходе к новому основанию логарифма?

Домашнее задание: № 46.1 (в; г), № 46.3, № 46.4 (в; г), № 46.5 (в; г), № 46.6 (в; г), № 46.9 (в; г).