Как ликвидировать пробелы в знаниях учащихся
консультация по алгебре (5, 6, 7 класс) на тему

Как ликвидировать пробелы в знаниях  учащихся .

            Для этого учителю необходимо знать следующее - домашние условия для учебной работы ученика; почему появились пробелы в знаниях; каков его интерес к предмету;  каково  взаимоотношение с классом , с учителем.

        Вот основные причины  пробелов в знаниях учащихся, на мой взгляд: 1) отставание в умственном развитии ; 2) невнимательность на уроках; 3)непонимание нового материала; 4)  пропуски уроков; 4) большое количество упражнений на дом. .

        1.Отставание в умственном развитии . Сюда относим детей с замедленным умственным развитием или со слабым умственным развитием. А  такие дети учатся  в любом классе с 1-6. Они возбудимы,  быстро утомляются в процессе умственного труда. Поэтому необходимо создавать в классе такое взаимоотношение, чтобы  они  не чувствовали большой разницы в своем умственном развитии..С 7 класса их определяют в общеобразовательный класс.

        Как это сделать?

1. Проверяю знания : даю классу дифференцированные задания – это карточки на уроках, дифференцированные домашние задания и дифференцированные  задания самостоятельных и и контрольных работ. ,                                                                      
2. Применяю групповую работу на уроке. Например, для проверки умений и знаний учащихся на выполнение действий с десятичными дробями класс разбивается на несколько групп. Одна группа проверяет  умение складывать, другая – вычитать, третья – умножать, четвертая – делить  дроби и т.д. Каждый учащийся группы получает от учителя карточку с заданием и контрольную карточку, в которой указываются фамилия ученика, номер его группы и его оценка за выполнение задания.  Учитель проводит консультацию   по заданиям карточки, затем с консультантами  проверяет решение примеров. Затем каждый ученик проверяет у ученика своей задания его карточки     и  ставят оценки.

2.Невнимательность на уроках, непонимание нового материала. 

        Если учащиеся имеют пробелы по текущим вопросам, то можно предложить   следующие формы работы с ними.

1)Парные диалоги с целью проверки теоретических знаний. В начале урока в                            течение пяти-семи минут учащиеся, сидящие за одной партой, проверяют друг у друга знание изученного теоретического материала.                                                               2)Коллективный контрольный урок в сменяющихся парах. На  уроке учащиеся раздают карточки с заданием для товарищей по данной теме (приготовленные заранее). Они придумывают  упражнения и решают их. В классе каждый учащийся решает задания по карточкам товарищей, а те его проверяют и оценивают.  

3)Работа в группах. При отработке практических навыков по какой либо теме создаются смешанные (по силе) группы. Работа ведется методом обсуждения.  . Если задания разные, то для самопроверки учитель должен дать контрольную карту. В конце урока в группе обсуждается участие в работе каждого ученика и ему выставляется соответствующая оценка.

1. При проверке домашнего задания ошибки ребят не только подчеркиваются и исправляются учителем, но и письменно рецензируются им в тетради.

Если отрабатываются сложные темы типа «Решение примеров с дробями на все действия», «Алгебраические преобразования дробных выражений», учащиеся оставляют широкие поля для рецензии ошибок. Если задание не получается, учащийся ставит знак вопроса, а учитель решает это задание прямо в тетради ученика. Эти работы проверяются ежедневно и у каждого ученика.

        Большое количество пропусков по болезни. В данном случае необходимы внеурочные консультации.    После болезни ученик получает контрольную карту с вопросами и заданиями по пропущенной теме. Кто-нибудь из товарищей обязательно согласится помочь ему ответить на теоретические вопросы и решить практические задания. Контрольная карта вывешивается в классе для того, чтобы все ребята видели, что пробел в знаниях их товарища ликвидирован.

         Необходимо также подчеркнуть, что пробелы в знаниях можно устранить только в том случае, если ученики не были запущены и их знания упущены в предыдущих годах обучения у другого учителя, в этом  случае прогнозировать успех при ликвидации пробелов на уроках становится тяжёлым.

  Методика работы в разноуровневых группах

Педагогикой и психологией установлено, что по своим природным способностям, уровню восприятия, темпу работы, а главное по специфике мыслительной деятельности учащиеся сильно отличаются друг от друга. Нередко в одном классе можно наблюдать школьников с крайними, противоположными друг другу уровнями развития (от очень высокого до очень низкого). В данной ситуации учитель вынужден выбирать формы и методы обучения, направленные на достижение результатов средним учеником. Но при этом слабым ученикам уделяется недостаточное внимание, а сильные, талантливые ребята и вовсе выпадают из поля зрения учителя. При таком отношении сильные ученики теряют интерес к учению, им становится скучно на уроках, и в результате к концу обучения талантливые дети превращаются в посредственных учеников. Что же касается слабых ребят, то задания среднего уровня кажутся им непосильными. Появляется ощущение неполноценности, боязнь высказывать свои суждения при ответах. Из-за этого такие ученики в конце концов отказываются от какой-либо мыслительной деятельности, используют обходные пути: механическое заучивание, ожидание подсказок, списывание. В конце концов у слабых учащихся возникает отвращение к учению.

Все эти негативные явления известны давно. Учителя пытались преодолеть их, организуя дифференциацию учащихся внутри одного класса. При этом затрачивался огромный учительский труд, а результаты были неадекватны. Поэтому возникла идея объединить ребят, примерно одинаковых по своему развитию, для занятий в отдельных группах.

 Привлечение идеи государственного образовательного стандарта позволяет выделить в содержании школьного математического курса и в результатах учебной деятельности три уровня: базовый, вариативный, творческий. В соответствии с ними и учащиеся разделяются на три группы: первая группа нацелена на усвоение базисного, т. е. обязательного для всех, содержания, вторая должна овладеть математическим курсом на вариативном уровне, а третья — на творческом.

В рамках каждой учебной единицы наша работа строится в таком последовательности:

1. ознакомление   детей   с   учебными   целями;
2. ознакомление класса с общим планом обучения по   данному   разделу;

3. обучение;        .
4. текущая   проверка   (диагностический   тест);
5. оценка   результатов   проверки,   выявление   учеников,   которые полностью   освоили   материал;
6. коррекция знаний у тех учащихся, которые не достигли   полного   усвоения;

7. проведение   диагностирующего   теста;
8. заключительная   проверка.

Опишем приемы обучения в группах гомогенного состава.

В первой группе работа на любом этапе идет под постоянным руководством учителя и непосредственно при полном его контроле. Используются, в основном, фронтальные формы объяснения нового материала. Большое значение приобретает наглядность, т. е. применение таблиц, заданий на готовых чертежах, использование компьютера и интерактивной доски.

Широко используется метод комментирования, когда ученик с места поясняет решение, учитель записывает выкладки на доске, а учащиеся слушают, смотрят и пишут. Таким образом, включаются все виды памяти — зрительная, слуховая и моторная, увеличивается доля разговорной речи на уроке.

Индивидуальные формы применяются лишь при закреплении. Задания для самостоятельного выполнения обычно снабжаются руководством к действию. Особенно часто применяются следующие виды учебных заданий: самостоятельная работа с предварительным разбором; решение задач с последующей проверкой; многовариантные задания с готовыми ответами по типу перфокарт; математические диктанты с самопроверкой или взаимопроверкой; операции по заданному алгоритму. Подчеркнем, что применяемые нами в I группе диагностические тесты невелики по объему и обязательно сопровождаются проверкой в классе.

Имеет свою специфику и работа с книгой. Она происходит в основном в виде ответов на вопросы, дословно повторяющих соответствующие учебные тексты. Ученику предстоит только отыскать в тексте нужное слово или словосочетание и заполнить им пропуск в задании. Постепенно задание усложняется: нужное предложение стоит теперь не в начале, а в середине или в конце раздела. Затем предлагается заполнить пропуски в таком предложении, где последовательность слов не соответствует предложению из учебника. Применяются и такие задания, в которых требуется найти в тексте какие-то термины, формулировки понятий или важные числовые данные.

В I группе часто используется обсуждение материала в парах постоянного состава, что позволяет учащимся "раскрыться", оценить свои знания, научиться задавать вопросы, усовершенствовать свою речь.

Для развития интереса к учению необходимо планировать ситуацию успеха: предлагать домашние контрольные работы, проводить экскурсии, устраивать зачеты с использованием в качестве консультантов ребят из Ш группы. Эти приемы облегчают учебу и вместе с тем позволяют показать учащимся примеры, достойные подражания.

Для активизации учебного процесса и мотивации учения мы широко применяем рейтинговую оценку знаний учащихся.

Во второй группе учитель комбинирует различные формы деятельности. При усвоении новых знаний учащиеся действуют под доминирующим влиянием учителя. Вместе с тем происходит постепенный переход к самостоятельному выполнению заданий в знакомой и измененной ситуации. Используются творческие задания, которые предполагают фронтальную работу: ответы на проблемные вопросы, формирование вопросов по прочитанному, приведение примеров, иллюстрирующих теоретический вопрос, составление заданий и упражнений. Создаются условия для сотрудничества, обсуждения проблем в парах постоянного состава.

При работе с книгой могут быть предложены такие задания:

найти определения, дословно приведенные в учебнике (необходимо отличать определение от простого описания понятий);

выделить   в   тексте   основную   мысль;

составить   план   прочитанного.

В качестве самостоятельных работ используются многовариантные задания с готовыми ответами по типу перфокарт, а также различные виды тестов.

Для развития интереса к учению предлагаются практические работы в качестве домашнего задания, а также темы для подготовки докладов.

Систематически проводятся зачеты, на которых основными проверяющими выступают не только ребята из III группы, но и лучшие ученики II группы.

В третьей группе основной акцент делается на самостоятельность учащихся. При изучении и первичном закреплении новых знаний используются такие формы учебных занятий, как лекция, лабораторная работа, экскурсия, семинар.

Комплексное применение знаний и способов действий часто осуществляется на семинарах, а также при выполнении бригадных или индивидуальных творческих заданий.

Проверка, оценка и коррекция знаний поводятся в форме разноуровневых контрольных работ, тестов, зачетов, семинаров, конференции, общественных смотров. Учащимся часто предлагаются подборки заданий творческого характера, учитывающие их познавательные интересы. Поощряется опережающая учебная работа школьников, самостоятельное добывание ими новых знаний. Домашние задания также часто рассчитаны на опережающее обучение.

При работе с учебником учитель нацеливает школьников на составление плана по прочитанному, на сравнение проработанного материала с ранее изученным, на разработку сравнительных таблиц, диаграмм, схем; на составление конспекта, в котором не только кратко повторяется материал учебника, но и приводятся новые сведения из энциклопедий и справочников.

Вся деятельность учителя в III группе направлена на формирование коллектива, заинтересованного в углубленном изучении предмета.

Успех в обучении во многом зависит от грамотной постановки целей. Планирование целей обучения для каждой группы может осуществляться в виде технологической карты, в которой выделены, с одной стороны, укрупненные единицы усвоения (факты, понятия и т.д.), а с другой — способы действия, умения. Ниже приведены технологические карты по трем темам VIII класса. В них то, что необходимо знать данной группе, отмечено крестиком, а соответствующие умения перечислены "лесенкой". Первая, самая длинная ступень "лесенки" относится к I, II и III группам в равной мере. Вторая, более короткая ступень (она начинается у первой штриховой линии) касается только II и III групп, а третья (вторая штриховая линия) — только к III группе.

Ниже приводятся примеры распределения работы по группам.

Дифференцированный подход в обучении учащихся математике как средство повышения качества знаний

  Дифференциация и индивидуализация образовательного процесса не есть самоцель, а выступает лишь средством его гуманизации, ориентации на личность учащихся, более полный учет их интересов, склонностей, способностей, жизненных планов, особенно связанных с продолжением образования.  

  Школа, учитель теперь во многом самостоятельно вправе решать вопрос о том, чему и как учить. Быстрыми темпами идет процесс преобразования школ в дифференцированные самоуправляемые учебные учреждения самых разнообразных профилей. В связи с этим со всей остротой встает вопрос о том, чему и как учить математике в школах и классах разных профилей. Для определения стратегии дифференциации обучения предлагают условно разделить всех учащихся на три группы по отношению к курсу математики.

  I группу составляют школьники,  для которых математика является лишь элементом общего развития и в дальнейшей профессиональной деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме (учащиеся с минимальным уровнем знаний и умений). Для этой категории учащихся важно овладение общей математической культурой, а вовсе не ремесленными навыками решения каких-то стандартных задач.

  Во II группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности (учащиеся с хорошим уровнем умений и знаний). Для этой категории существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственные представления, но и прочие навыки решения задач.

  В III группу следует отнести тех учащихся, которые выберут математику (или близкие к ней области знаний) в качестве основы своей будущей профессии. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами. Период разделения класса по уровням приходится на VII класс. Два предыдущих года обучения в средней школе учащиеся подвергаются наблюдению и диагностике. Для получения большей информации о каждом ребенке учитель предлагает всем учащимся заполнить разного рода анкеты. Одна из них приводится ниже.

АНКЕТА

1.    Класс.

2.    Фамилия, имя.

3.    Где и кем работают родители?

4.    Отношение родителей к математике? (Имеют математическое образование; применяют математику в своей работе; увлечены математикой, не любят математику, совсем не интересуются ею). Подчеркнуть нужное.

5.   Есть ли в домашней библиотеке математические книги, но не учебники по математике  для средней школы? (Да, нет). Подчеркнуть нужное.

6.    Кто больше всего помогает готовить уроки по математике?

7.    Сколько времени занимает подготовка к математике?

8.    Почему ты учишь математику? (Желательно ответить откровенно и полно.)

9.    Хочешь ли ты знать больше, чем дают на уроке? (Да, нет.) Подчеркнуть нужное.

10.  Как дается тебе математика? (Легко, много надо заучивать, трудно). Подчеркнуть нужное.

11.  Твое отношение к математике? (Люблю; учу, чтобы получить хорошую оценку; чтобы не ругали дома; скучно на уроках; не хочу ее учить). Подчеркнуть нужное.

12.  Какими знаниями по математике ты владел до прихода в школу? (Счет до 10 и обратно; сложение в пределах десятка; решение простых задач.) Подчеркнуть нужное.

13.  Какого вида задания по математике тебе нравятся больше? (Задачи, примеры, задачи и примеры). Подчеркнуть нужное.

14.  Мечтаешь ли ты связать свою жизнь с математикой? (Буду математиком;  хочу поступить в вуз,  где нужно будет сдавать математику;  хочу знать как можно больше о разном, не только о математике.) Подчеркнуть нужное.

 О том, в какую группу попал данный ученик, обязательно сообщалось его родителям. Беседа с родителями проходит в доброжелательном тоне. И родители, и учащиеся должны будут понять, что состав группы не закреплен раз и навсегда. Впоследствии можно перейти из одной группы в другую в соответствии с результатами обучения и желанием учащегося. Период неустойчивого состояния групп продолжается в VIII—IX классах.  

  Требования к уровню математической подготовки можно определить следующим образом. Учащиеся, овладевающие курсом на общекультурном уровне, должны хорошо понимать учебный материал, уметь его разъяснять и применять в бытовой сфере. Учащиеся, овладевающие материалом на прикладном уровне, должны помимо этого овладеть системой умений и навыков по применению знаний в самых разных областях, особенно в тех, которые связаны с выбранной профессией.

На творческом уровне  учащимся предъявляются дополнительные требования в смысле доказательности математических фактов, у них должна быть выработана внутренняя потребность проведения достаточного строгих математических доказательств.

  Таким образом, общее требование ко всем трем группам - глубокое понимание учебного материала и умение его разъяснить.

 Расскажу, как я провожу дифференциацию на уроках математики в течение уже многих лет. И эта система дает результаты. В своей работе идею дифференциации обучения использую почти на каждом уроке.

  В 5-9 классах учащихся условно делю на варианты А и Б. Задания варианта А соответствуют обязательному уровню математической подготовки, варианта Б -  более сложные.

Сейчас расскажу, как дифференциация прослеживается на различных этапах урока.

1. В начале урока на устном счете, на устных упражнениях, задания на доске пишу и для учащихся варианта А и Б, тем самым проверяя знания правил, теорем, свойств всеми учащимися и умением применить эти правила к конкретной задаче. Особенно это проявляется на уроках геометрии, так как этот предмет вызывает особые трудности. На доске заготавливаю чертежи к задачам и одношаговым, где надо сразу применить изученную теорему или свойства данной фигуры, и многошаговым задачам, комбинированным, чтобы проследить ход мыслей учащихся, их логическое мышление, заставить найти план решения, исходя из данных. Эти задачи для учащихся варианта Б.
2. При закреплении материала задания подбираю таким образом, чтобы сначала усвоение шло на более легких примерах, затем учащимся варианта Б даю усложненные задания , предварительно обсудив их. Ученики решают эти задания самостоятельно, а с учащимися варианта А продолжаем закреплять материал на основных заданиях. Правильность решения заданий варианта Б проверяю по ходу урока, подходя к учащимся на месте. Работу таким образом проводить трудно, но стараюсь не упускать из виду учащихся, которые материал усваивают быстро и пополнять запас их знаний более сложными заданиями. Так работаю во всех классах.
3.  К урокам составляю дифференцированные карточки, с учетом возможностей учащихся. Это и перфокарты, и карточки многоразового использования, и математическое лото.
4. Дифференцированно провожу и контроль усвоения материала. Контрольные и самостоятельные работы составляю разноуровневые на три варианта. Вариант III рассчитываю на слабо подготовленных учащихся. Главная задача – проверить степень усвоения обязательного уровня математической подготовки, определенного стандартом образования. Вариант I и II усложняю: наряду с заданиями, направленными на проверку основных умений, в них содержатся задания, требующие логического мышления, комбинированные задачи и задания на сообразительность и внимание. Иногда, в зависимости от конкретного материала, провожу контрольные работы по-другому. В I и   II вариантах даю пять заданий. Первые три – на проверку обязательного уровня – на оценку «3», четвертое задание, требующее дополнительных знаний -   на «4» , пятое задание, требующее не только свободного владения приобретенными знаниями и умениями, но и творческого подхода -  на оценку «5». Такие задания включаю в каждую контрольную работу. Это дает возможность правильно оценить знания учащихся, судить об их возможностях, сформированных умениях и навыках, способов деятельности.
5. Дифференцированно подхожу и к домашнему заданию: учащимся даю задания для варианта А – самые простые, для в. Б – сложнее.

  Итак, работая дифференцированно с учащимися, вижу, что их внимание не падает на уроке, так как каждому есть посильное задание, «сильные» ученики не скучают, так как всегда им дается задача, над которой надо думать. Ребята постоянно заняты посильным трудом.

Применение  дифференциации при обучении математике, как одного из путей учета индивидуальных особенностей учащихся, необходимо и возможно.

 Дифференциация способствует более прочному и глубокому усвоению знаний, развитию индивидуальных способностей, развитию самостоятельного творческого мышления. Разноуровневые задания облегчают организацию занятия в классе, создают условия для продвижения школьников в учебе в соответствии с их возможностями.

 Слабые учащиеся охотно выполняют задания, содержащие инструктивный материал, особенно те упражнения, в которых приведены данные для самоконтроля. Это позволило сделать вывод, что таким школьникам недостаточно только показать ответ (как это делается в учебнике). Выяснив, что получен неверный ответ к заданию, ученик не в состоянии проследить всю цепочку и найти ошибку.

 Предлагая  задания творческого характера, нельзя  рассчитывать, что учащиеся, тем более слабые, смогут самостоятельно их выполнить. Однако результаты показывают, что творческие задания стимулируют  познавательную активность слабых школьников. Ребята, потратившие определенные усилия на творческие задания, охотно принимают участие в обсуждении этих заданий, с интересом выслушивают объяснения приемов их решения даже в тех случаях, когда они этих приемов сами найти не смогли.

 Разноуровневые задания, составленные с учетом возможностей учащихся, создают в классе благоприятный психологический климат. У ребят возникает чувство удовлетворения после каждого верно решенного задания. Успех, испытанный в результате преодоления трудностей, даёт мощный импульс повышению познавательной активности. У учащихся, в том числе и у слабых, появлялась уверенность в своих силах, они уже не чувствуют страха перед новыми задачами, рисковать пробовать свои силы в незнакомой ситуации, берутся за решение задач более высокого уровня. Все это способствует активизации мыслительной деятельности учащихся, созданию положительной мотивации к учению.

Тестовая методика контроля знаний учащихся

в процессе обучения математике 

        Среди известных методов педагогической диагностики: наблюдение, опрос, анкетирование, тестирование и т.д. – наиболее ценным для обучения математике является именно метод тестирования. Это объясняется относительной простотой процедуры проведения, минимальными временными затратами, возможностью быстрого получения результата и его статистической обработки.

        Что же такое тест? Психологи, инженеры, медики, педагоги используют термин «тестирование», понимая под ним испытание для выявления свойств объекта, применяемое в сочетании с определенной методикой измерения и оценкой результатов.

        Тесты, как система оценки школьной успеваемости, имеют целый ряд положительных характеристик, позволяющих:

1. учитывать индивидуальные особенности учащихся в ходе проверки результатов обучения;
2. проверять качество усвоения учащимися теоретического и практического материала;
3. оживить процесс обучения, вводя не только новую для учащихся форму контроля, но и различные виды тестов;
4. сэкономить учебное время, затрачиваемое на опрос, и личное время учителя, идущее на проверку результатов выполненной учащимися работы;
5. обеспечить оперативность проверки выполненной работы.

Основные признаки отличия тестов школьной успеваемости, например, от контрольной работы, состоят в том, что с их помощью можно:                                                             а) проверить большой объем изученного материала малыми порциями;                                         б) быстро диагностировать овладение учебным материалом большим массивом учащихся.

Однако метод тестирования обладает рядом недостатков: большая вероятность выбора ответа наугад; проверка лишь результатов действий; затруднение со стороны учителя, а чаще невозможность проследить логику рассуждений учащихся; категоричность оценки выполнения задания, ибо тесты учитывают только два состояния выполнения задания – задание выполнено правильно и полностью и задание не выполнено. Поэтому тесты не могут служить единственной формой контроля качества знаний учащихся, не могут заменить обычные контрольные и самостоятельные работы.

Отметим еще одну особенность тестов, хорошо известную тем учителям, которые уже давно пользуются ими, - тесты воспринимаются большинством учеников как своеобразная игра. Тем самым снимается целый ряд психологических проблем – страхов, стрессов, нервных срывов, которые, к сожалению, характерны для обычных форм контроля. К тому же, хорошие результаты тестирования помогут учителю психологически подготовить учеников к контрольной или зачету, сняв ряд проблем, о которых говорилось выше.

Учитывая все сказанное ранее, можно сделать вывод, что тестирование может служить одним из составляющих методики усвоения базовой программы.

Существует несколько классификаций тестов в зависимости от выбранного основания. В своей работе я использую тесты трех видов, различающиеся по целям проверки и формам ответа.

Первый вид тестов предполагает заполнение пропусков в истинных утверждениях или в правильных формулировках математических определений, правил. Он относится к тестам со свободным выбором ответа. Эти тесты в основном направлены на проверку прочности овладения обязательным материалом и понимание смысла изученного на уровне воспроизведения (формулировка определений, теорем, правил, выполнение заданий, предлагающих стереотипную ситуацию и т.д.).

Второй вид тестов требует установления истинности или ложности утверждений или правильности формулировок определений, теорем. Он относится к серии альтернативных тестов; в нем предполагается лишь два ответа для выбора: «верно» - «неверно». Такими тестами проверяется понимание изученного в основном на продуктивном уровне, т.е. проверяется готовность учащихся рассуждать, делать выводы, подводить конкретный факт под общее положение или приводить иллюстрации к общему положению, обосновывать правильность действий на основе общих правил, положений, свойств, теорем.

Первые два вида тестов чаще использую для устной формы тестирования. Текст заданий зачитывается учителем, учащиеся либо записывают ответ в тетрадях или отвечают устно (для первого вида тестов), или показывают ответ с помощью сигнальных карточек (для второго вида тестов). Данный способ удобен тем, что в случае наличия неверных ответов можно сразу же обсудить данный вопрос более подробно.

Третий вид тестов предполагает выбор ответа из целого ряда вариантов, из которых только один верный. В тестах такого вида предлагается не менее трех ответов для выбора. При составлении ответов обязательно учитываются типичные ошибки учащихся (например, при сложении обыкновенных дробей среди предлагаемых ответов содержится и такой, где числитель складывается с числителем, а знаменатель со знаменателем). Это позволит учителю быстро проанализировать результаты и сделать нужные выводы. В основном в этих тестах проверяется готовность учащихся применять учебный материал.

Обычно тесты составлены так, что первые четыре или пять заданий проверяют основной, базовый уровень (образовательный стандарт) по данной теме, остальные задания рассчитаны на более свободное владение учащимися материалом школьной программы. Нестандартные задания отмечены звездочкой. Таким образом осуществляется принцип индивидуализации обучения – более способные ученики быстро справляются с заданиями базового уровня и имеют возможность показать свои знания при решении более сложных заданий. В то же время «слабые» учащиеся имеют достаточно времени для выполнения несложных заданий, достигая образовательного стандарта.

ТЕМАТИЧЕСКИЕ БЛОКИ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ В IX КЛАССЕ

Представляю систему задач, отвечающую четырем тематическим блокам геометрии в I полугодии IX класса.  В каждую тему входит три блока упражнений. Первый блок содержит наглядно-поисковые задачи. Решение каждой из них проводится по готовому чертежу и позволяет отрабатывать базовые практические навыки учащихся. Наглядно-поисковые задачи составлены так, чтобы в различных ситуациях выводить учеников на применение основных теорем и их следствий по конкретной теме. Задачи расположены по возрастанию трудности. Во втором блоке собраны тренировочные задачи, для закрепления практических навыков, отработанных в ходе решения задач предыдущего блока. Наконец, третий блок каждой серии включает контрольную работу по текущей теме.

Данная  система формирования задач для заключительных уроков геометрии удобна тем, что позволяет  применять разнообразные учебные формы, а потому целенаправленно готовить к контрольным работам. Тематические блоки будут полезны учителю не только на уроках заключительного повторения, но и в индивидуальной работе с учениками на протяжении всего периода изучения геометрии.

Подобие треугольников

Наглядно-поисковые задачи

Найти на  каждом рисунке  пары подобных треугольников и доказать их подобие.

Тренировочные задачи

1. Докажите подобие треугольников MOQ и PON   в трапеции MNPQ,  диагонали которой пересекаются в точке О.

2. В треугольнике ABC на продолжении стороны АС от точки С отложен отрезок СЕ, равный половине АС, а на продолжении стороны ВС от точки С — отрезок CF, равный половине ВС. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику EFC.

3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием   АС,   равным   10 см,  проведена прямая MN, параллельная AC, AM: MB =1:2. Найдите
длину отрезка MN.

4. Подобны ли треугольники ABC и LKC, изображенные на рис.1. Почему?

                    Рис.1                            Рис.2

5. Дан параллелограмм MNPQ. Через точку пересечения его диагоналей проведена прямая, пересекающая сторону PQ в точке R, а сторону MN —
в точке S. Найдите пары подобных треугольников
и объясните, почему они подобны.

6. Угол А при основании равнобедренного треугольника ABC равен 30° (рис. 2). Боковая сторона треугольника равна 4 см. Найдите длину перпендикуляра, восставленного из середины боковой стороны до пересечения с продолжением высоты   BD треугольника. (Задачу решите двумя способами.)

7. Диагонали разнобокой трапеции ABCD точкой   О  пересечения  делятся в отношении   2:3.Меньшее основание трапеции равно 6 см, диагональ АС равна 15см. Найдите периметр треугольника AOD.

8. Дан квадрат   ABCD   со стороной   4 см. На
продолжении диагонали АС от точки С отложен
отрезок CN = 2АС, а из точки N опущен перпендикуляр на продолжение стороны   AD   квадрата(рис. 3).  Найдите периметр треугольника ANK.

9. Из вершины D ромба ABCD восставлен перпендикуляр DL к стороне ВС до пересечения его с продолжением стороны АВ за точку В (рис. 4).
На какие части делится средняя линия MN ромба
перпендикуляром DL, если AL=17 см, DL=15 см, а точка F — середина отрезка ВС?

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой, равной

4√ 2 см, вписан прямоугольник MNPQ (рис. 5 ), AM: MB = 2 : 1. Найдите стороны прямоугольника.

11. На сторонах равностороннего треугольника ABC отмечены точки Е, F, G так, что  АЕ = АВ, BF =   BC, CG = AC. Докажите, что треугольник EFG подобен треугольнику ABC.

12. В ромбе ABCD со стороной 6 см один из углов равен 60°. Через точку М, делящую сторону AD в отношении 1 : 3, проведена прямая MN, параллельная диагонали BD. Найдите длину отрезка MN, заключенного внутри ромба.

Контрольная работа №1

I         вариант

1. Даны два подобных равнобедренных треугольника ABC и А1В1С1  с основаниями  АС и А1С1 , АВ = 20 см, АС = 32 см, А1В1 = 10 см. Найдите высоту
треугольника А1В1С1, проведенную к основанию.

2. Из вершины угла треугольника, заключенного
между сторонами 9 см и 6 см, проведена биссектриса. Один из отрезков третьей стороны получился равным 4 см. Чему равен периметр треугольника?

3. В трапеции KLMN угол N равен 90°. Через
точку О пересечения диагоналей проведена прямая EF,  параллельная КL.  Найдите КО и ОМ, если  EO:OF=2:3  и  KN = 15 см, NM = 8 см.

II вариант

1. Даны два подобных равнобедренных треугольника MNP и M1N1P1 с основаниями MN=48cм, M1N1 = 24 см,  высота РН равна  10 см. Найдите
боковые стороны треугольника M1N1P1.

2. Биссектриса угла треугольника, образованного сторонами   12 см и   8 см, делит противолежащую сторону на отрезки, один из которых на 4 см
больше другого. Найдите периметр этого треугольника.

3. В равнобокой трапеции   ABCD   основания равны   16 см и   6 см,   боковая сторона —   13 см. Диагональ АС пересекается с высотой ВН в точке
О.   Найдите длины отрезков  ВО  и  ОН.

Углы, вписанные в окружность

Наглядно-поисковые задачи

На каждом рисунке найдите неизвестные элементы фигур.

Тренировочные задачи

1. На окружности отмечены точки   М,   N,   Р. Угол MNP равен 80°, дуга NP равна 110°. Чему равен угол NPM?

2. Точки окружности Е, F, Н делят ее на дуги
в отношении   1 : 2 : 3.   Найдите градусные меры углов треугольника EFH.

3. Угол KLM, вписанный в окружность, на 40° меньше центрального угла КОМ. Найдите каждый из данных углов.

4. Угол В, образованный равными хордами АВ

и ВС, вписан в окружность радиуса 4√3 см. Угол АОС равен 120°. Найдите длину хорды АС (рис.6).

5. Диаметр АС окружности равен 8 см, а хорда AD равна 4 см. Найдите величину угла DEC (рис. 7).

6. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды, равные   16 см и 24 см; расстояние между ними — 21 см. Найдите
радиус окружности.

7. Хорды   АЕ  и   FC  пересекаются в точке   N, лежащей внутри окружности; NC = 3FN, AE = 18 см, AN = NE.   Найдите  FN и  NC.

8. Диаметр PQ окружности пересекается с хордой   MN,   равной   10 см, в точке   Е;   MN ┴ PQ, РЕ : EQ = 1 : 4.  Найдите длину диаметра окружности.

9. Из точки  К, лежащей вне окружности, проведены касательная КЕ и секущая КМ, проходящая через центр О окружности, а точка M наиболее удалена от точки  К.  Найдите длину секущей, если угол  EKM=600  ЕК = 5√3 см.

10. Из точки М, отстоящей от центра О окружности радиуса 4 см на  12 см, проведена секущая, которая делится окружностью пополам. Найдите
длину этой секущей.

11. Около прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (угол C = 90°)  описана окружность. Угол   ABD   вписан в окружность и опирается на дугу в 60°.  Найдите длину хорды AD, если катет треугольника равен √2см.

12.        На диаметре   PQ   окружности построен прямоугольный треугольник   PQL так, что гипотенуза PL пересекает окружность в точке F (рис. 8). Расстояние от центра О окружности до гипотенузы
равно 6см, угол KPQ=30°. Найдите отношение длин отрезков        FM и  LQ.

  Рис. 8

Контрольная работа №2

I вариант

1. Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC)  вписан в окружность с центром О,  угол AOC = 140°. Найдите углы треугольника ABC.

2. Хорда СD окружности пересекает ее диаметр
АВ = 8 см   в точке К под углом 30°. Найдите длину хорды  BE,  перпендикулярной хорде CD.

3. Около равнобокой трапеции ABCD описана окружность
(рис. 9). Нижнее основание трапеции — диаметр окружности. Боковая сторона трапеции равна  6 см,   a   угол POD = 120°. Найдите длину хорды  BD.

Рис. 9

II вариант

1. Около равнобедренного треугольника MNP (MN = NP) описана окружность с центром в точке О, угол NOP= 150°. Найдите углы треугольника MNP.

2. Два диаметра окружности, АВ и CD пересекаются в точке  О  под углом DOB, равным, 60°. Из точки С проведена хорда СМ = 2√3 см, перпендикулярная диаметру АВ.   Найдите хорду BD.

3. Вершины В, С и D прямоугольной трапеции ABCD лежат на окружности с центром в точке О (рис. 10),  угол BOC= 60°, ВС = 4 см. Найдите длину хорды BD.

Решение треугольников                                         

 Наглядно-поисковые задачи

Используя рисунки, найдите неизвестные элементы треугольников.