Урок по алгебре в 10-м классе по теме "Основные формулы sinа и cosа"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Урок по алгебре в 10-м классе по теме

"Основные формулы sinа и cosа"

Разработан учителем математики Муниципального казенного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №1» города Армянска Гайдашовой Е. А.

Цели урока:

• Рассмотреть основные формулы синуса и косинуса угла, а также показать учащимся доказательства этих формул;
• развивать знания учащихся, корректировка знаний;
• отработать умения и навыки решения задач по данной теме;
• развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы, используя грамотно математические термины;
• развивать внимание, память, логическое мышление.

Оборудование: карточки для учащихся с рис.2, плакат единичной окружности с рис.1 и с рис 3, карточки с решениями самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Приветствие. Настрой учащихся на работу.

II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

1. Упражнение «Закончить предложение, работая с рисунком 1».

-  На рисунке изображена окружность, которая называется …

- Радиус ОА называется …

- Если радиус ОА повернуть против часовой стрелки на единичной окружности, то образуется  угол  ……… значения.

- Если радиус ОА повернуть по часовой стрелки на единичной окружности, то образуется  угол  ……… значения.

- Точка, единичной окружности, которая соответствует углу  называют точку….

- Синусом угла называют…

- Косинусом угла  называют …

рис. 1

2. Определите знак синуса и косинуса в различных четвертях окружности, пользуясь определением.

рис. 2. (раздаточный материал получает каждый учащийся).

рис.2

3. Далее следует проверка домашнего задания

III. Мотивация обучения. Целеполагание урока.

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения функций sin, cos, tg, ctg и основное тригонометрическое тождество, с которого и начинается наше знакомство с миром тригонометрических формул. Каждый раз выводить нужную формулу, например, для преобразования тригонометрического выражения заберет достаточно много времени. Поэтому круг формул, которые необходимо знать, должен быть достаточно широким.

Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать.

Так вот, давайте сегодня на уроке работать активно, внимательно, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они вам пригодятся.

Тема нашего урока: “Основные формулы sin, cos”.

IV. Ознакомление с новым материалом

Теорема 1: Для любого угла  справедливо равенство sin2 + cos2 = 1.

Доказательство:

Окружность с радиусом равным 1 и с центром в начале координат задается уравнением: x2+ y2= 1, из определения синуса и косинуса углов  мы знаем, что    x = cos, y = sin , где (х;у) – координаты точки В единичной окружности. Подставим значения, получим равенство: cos2 +sin2 =1
Отсюда sin =±  и cos =±.

Знак «+» и «–» выбирается в зависимости от того в какой четверти лежит угол .

Следствие. Для любого  справедливы неравенства

| sin | < 1 и   | cos | < 1.

Доказательство:

Т. к.    +

– Аналогично доказывается и область значений косинуса.

Общая форма записи данных формул:

Применение следствия.

Пример: Может ли быть верным равенство?

1.                        Да

2.                 Да

3.                   Нет, т.к.

4.                      Нет, т.к.

5.                          Да

Теорема 2. Для любого угла  справедливы равенства:

cos(– )=cos 
sin(– ) = – sin

рис. 3

Доказательство:

Точка B соответствует углу . Точка B1 соответствует углу – . B и B1 – симметричны относительно оси Ox. Поэтому абсциссы этих точек равны, ординаты – противоположны. Следовательно справедливы равенства   cos(– ) = cos, sin(– ) = – sin, то есть мы с вами доказали четность и нечетность функции и можно сделать вывод:

cos(– ) = cos – четная,

sin(– ) = – sin – нечетная

Применение теоремы

Пример: Найдите верные равенства:

1.         

2.         

3.         

4.         

5.         

Теорема 3.  Для любого числа  и любого целого числа k справедливы следующие равенства:      и  

Доказательство учащиеся выполняют самостоятельно по учебнику ст. 213

Замечание.  Можно сказать, что синус и косинус имеют один и тот же период и равен он

Применение  теоремы 3.

Пример. Упростите выражение:

– Итак, давайте вспомним, как называются формулы, которые были изучены на уроке?

1. cos2 + sin2 = 1
2. | sin | < 1 и | cos | < 1
3. cos(– ) = cos и sin(– ) = – sin
4.     и  

Учащиеся проговаривают названия формул.

V. Закрепление изученного материала

Устно № 7.51(б, в), 7.52(а, в, д).

Письменно в тетрадях и на доске выполняем № 7.54(а), 7.57(а, в), 7.58(а).

Задания решают вызванные учащиеся на доске с комментариями.

VI. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа. Самопроверка

№ 7.55(а)

Дано:

Найти: cos α

Решение.

№ 7.58(в) Упростить:

Решение.

VII. Итог урока

Обсуждаются трудности, возникшие при выполнении заданий, анализируются ошибки.

Еще раз проговаривают рассмотренные формулы.

• основное тригонометрическое тождество,
• область значений синуса и косинуса,
• четность и нечетность.
• период синуса и косинуса.

Объявляются оценки за урок.

VIII. Домашнее задание

п.7.4

№ 7.51 (а, г), 7.53, 7.56, 7.58 (б,в) 7.73 (а, в)

IX. Литература:

1. Алгебра и начала анализа. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2007. 2. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10 класса/ М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – М.:Просвещение, 2005.

Приложение 1.

Приложение 2.

Самостоятельная работа. Самопроверка

№ 7.55(а)

Дано:

Найти: cos α

Решение.

№ 7.58(в) Упростить:

Решение.