Задачи «на проценты и отношения» для подготовки учащихся 10 – 11 классов к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Работа учителя математики                                                                                                                                         ГБОУ школа № 1412 с углублённым изучением иностранных языков                                                                        Северо – Восточного округа города Москвы

Шмигельской Марины Анатольевны.

Задачи «на проценты и отношения»

для подготовки учащихся 10 – 11 классов

к  ЕГЭ.

        2015 год.

Оглавление.

Введение   ........................................................................................................... стр. 2

Задачи «на сложные проценты»  …………………………………………………………………. стр. 3 - 10

Задачи «на проценты и отношения»   …………………………………………………………. стр. 11 - 12       

Задачи «на проценты и множества»  …………………………………………………………… стр. 13

Литература ……………………………………………………………………………………………………… стр. 14        

Введение.

Единый государственный экзамен по математике совмещает два экзамена – выпускной школьный и вступительный в высшие и средние специальные учебные заведения. В рамках этого экзамена наряду с проверкой овладения материалом школьного курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, контролируются также овладение некоторыми вопросами курса алгебры основной школы и курсов геометрии основной и старшей школы. Поэтому при подготовке к этому экзамену надо повторить не только материал курса алгебры и начал анализа, но и некоторые темы и разделы курса математики основной и средней школы (основные задачи на проценты; основное свойство пропорции, задачи на составление и решение пропорций); арифметическая и геометрическая прогрессии (формулы общего члена и суммы n первых членов); а также материал курса планиметрии 7–9 классов и курса стереометрии 10-11 классов (расположение прямых и плоскостей в пространстве, многогранники и тела вращения).

Текстовые задачи условно  можно классифицировать следующим образом: задачи «на движение»; задачи «на работу»; задачи «на проценты и отношения»; задачи «на концентрацию смеси сплава»; разные задачи.

Текстовые задачи, с одной стороны, интуитивно понятны, поскольку, так или иначе, опираются на жизненные ситуации, с другой стороны, их решение часто сопровождается определёнными трудностями. Задачи этой темы, как правило, решаются с помощью составления одного уравнения либо системы уравнений. Основная сложность при решении такого рода задач заключается именно в выборе неизвестного (возможно, нескольких неизвестных) и составления уравнения (или уравнений) на основе данных задачи.

В данной работе проанализированы задачи каждого типа, сгруппированы по степени сложности и приведены примеры решения. Для каждого из типов подобран большой набор условий задач. Ко всем задачам даны ответы.

Задачи на «проценты и отношения».

Этот класс задач представлен в работе наибольшим количеством примеров, т. к. чаще всего встречается в вариантах экзаменационных работ. Их можно подразделить на следующие группы: задачи «на сложные проценты»; задачи «на проценты и отношения»; задачи «на проценты и множества».

Задачи «на сложные проценты».                                                                                                                               Так говорят, когда в задаче идет речь о поэтапном изменении некоторой величины.                                                                                                                                                          В задачах этого типа, как правило, рассматриваются следующие данные: число, определяющее исходное значение данных (стоимости товара, зарплаты, массы тела и пр.); число, определяющее конечное (изменённое) значение данных; количество периодов, за которые произошло изменение; закон, по которому происходило изменение ( например, процентное увеличение за каждый период). И в зависимости от условия задачи, одни из этих данных заданы, а другие  - требуется определить.

При решении некоторых задач этого вида удобно использовать формулу «сложных процентов».     Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз её изменение составляет определённое число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. Пусть в конце каждого этапа величина увеличивается на постоянное число процентов – 𝔁%.                                                                                                                                                               Если величина А на начальном этапе имела значение А₀, то в конце первого этапа она будет равна А₁ =  А₀ +  А₀ = А₀(1 +  ).                                                                                                                                                 В конце второго этапа  её значение  станет равным А₂ = А₁ +  = А₁(1 + ) = А₀(1 + )².                        Здесь множитель 1 + показывает, во сколько раз величина А увеличилась за один этап.                          В конце третьего этапа А₃ = А₂ +  А₂ = А₀(1 + )³ и т.д.                                                                                                      В конце n – го этапа значение величины А определится формулой «сложных процентов»                        = А₀(1 + )ⁿ.

Задача № 1. Население некоторой страны увеличивается ежегодно на 5%. На сколько процентов увеличится население страны за 5 лет?

Решение:                                                                                                                                                                                  Если первоначально население страны было равным А₀, то через 5 лет оно станет равным                              А₅ = А₀(1 + ⁵ = А₀ · 1,05⁵  1,276А₀.                                                                                                                               Это составляет 1,05⁵ · 100% от А₀.                                                                                                                         Население страны увеличится на 1,05⁵ · 100% - 100%  27,6%.

Ответ: 27,6.

Задача № 2. Во время стирки материя садится на% по длине и 5% по ширине. Найдите , если экспериментально установили, что кусок ткани площадью 200 см² стал после стирки иметь площадь 171 см².

Решение:                                                                                                                                                                                   Пусть 𝑎 – ширина ткани до стирки, b – её длина до стирки. По условию площадь ткани до стирки равна 200 м. Т. е. 𝑎b =200. Т. к. после стирки ткань по длине села на %, а по ширине на 5%, то ее длина стала равна , а ширина –  =  . Значит, площадь ткани после стирки стала равна   =  . Согласно условию эта величина равна 171 см².  = 171; 𝑎b = 200  ⇒   = 171;                                                                                                      1,9 = 19;                                                                                                                                                                                      = 10.

Ответ: 10.

Задача № 3. Два соседних цеха с одинаковым планом недовыполнили общий план на 10%. Каково недовыполнение плана в цехе №2, если известно, что цех №1 перевыполнил его на 10%?

Решение:                                                                                                                                                                  Обозначим через  план одного цеха. Тогда общий план равен 2. Фактически оба цеха выполнили 2 -2 = 1,8. Т.к. цех №1 выполнил 1,1 своего плана, то цех №2 выполнил     1,8 - 1,1 = 0,7от своего плана, что составляет 70% плана одного цеха. Следовательно, цех №2 недовыполнил план на 30%.

Ответ: 30.

Задача № 4. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. Насколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 руб. через 2 года?

Решение:                                                                                                                                                                    Рассмотрим два этапа: на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год, а на втором этапе производится начисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, т. е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года.                               1000 руб. – первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 · 1000.                                                                                                                                                                               По окончании первого года на счету окажется 1000 + 0,3· 1000 = 1030.                                                             По окончании второго года проценты составят 0,03 · 1030 = 30,9.                                                                       Таким образом, после двух лет сумма вклада составит 1030 + 30,9 = 1060,9.                               Первоначальный вклад был увеличен на 60, 9 руб.

Ответ: 60,9.

Задача № 5. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, через месяц уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Выставленный на продажу за 5000 рублей ковёр через 40 дней был продан за 4000 руб. Найдите цену видеомагнитофона через 75 дней, если его начальная цена составляла 3000 руб.

Решение:                                                                                                                                                                   Обозначим через  количество процентов, на которое уменьшается цена непроданного товара ежемесячно. 40 дней – прошел 1 месяц и 10 дней. Было одно снижение цены. Значит,                    5000( 1 - ) = 4000.  ⇒  1 -  = 0,8;                                                                                                                      = 20.                                                                                                                                                                             Помним, что ежемесячно цена снижается на 20%.  75 дней – это 2 месяца и 15 дней. Значит, было два снижения цены. Это означает, что                                                                                                                    3000 · ( 1 - )² = 3000 · 0,64 = 1920 (руб.) – цена на видеомагнитофон через 75 дней.

Ответ: 1920.

Задача № 6. Вкладчик положил на счёт в банке 62 500 руб. и не собирается снимать деньги со счёта в течении 3-х лет. Какая сумма окажется на счёте вкладчика через 3 года, если банк выплачивает сложные проценты по ставке 4% годовых?

Решение: Пусть Ѕ₀ руб. – первоначальный вклад, 𝑎% - годовая процентная ставка. Тогда через год на счёте вкладчика будет Ѕ₁ руб., где Ѕ₁ = Ѕ₀+Ѕ₀· = Ѕ₀(1+).                                                   Через два года на счете - Ѕ₂ руб., где Ѕ₂ = Ѕ₁+Ѕ₁ ·  = Ѕ₀ (1+)².     Через три года на счете - Ѕ₃ руб., где Ѕ₃ = Ѕ₀(1+ )³.                                                                                                                                            По условию задачи Ѕ₀ = 62 500, 𝑎=4, поэтому                                                                                                                 Ѕ₃ =62 500(1 +)³ = 62 500 ·³ = 26³ · 4=70 304.

Ответ: 70 304.

Задача № 7. При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20%. Сколько процентов прибыли от этой коллекции получал магазин до распродажи?

Решение:                                                                                                                                                                 Обозначим через 𝔁 цену в рублях, по которой магазин приобрёл для продажи летнюю коллекцию одежды, через 𝔂 – первоначальную прибыль магазина в рублях.   Тогда ( 𝔁 + 𝔂) – первоначальная цена коллекции, а 0,6(𝔁 + 𝔂) – цена коллекции после снижения.                                                                                  С другой стороны, эту же цену можно определить по формуле 𝔁 + 0,2𝔂.                                                  Составим уравнение: 0,6(𝔁 + 𝔂) = 𝔁 + 0,2𝔂;                                                                                                              0,4𝔂 = 0,4𝔁;                                                                                                                                                                                 · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Задача № 8. Василий Петрович собирается взять ссуду в коммерческом банке. Определите максимальную величину суммы (в рублях), которую Василий Петрович может взять у банка под 20% годовых, если он хочет полностью расплатиться с банком в течении двух лет, выплачивая в конце каждого года не более чем 90 000 рублей.

Решение:                                                                                                                                                                           Ясно, что максимальную сумму, которую Василий Петрович может взять у банка, нужно вычислять в предположении, что в конце каждого года он будет выплачивать именно по 90 000 руб. (а не меньше).                                                                                                                                                                          Пусть 𝓶 – величина этой суммы. Тогда в конце года, долг Василия Петровича банку, после погашения им 90 000 руб. долга, составит 1,2𝓶 – 90 000. Ещё через год он должен выплатить банку 1,2 · (1,2𝓶 – 90 000), что, согласно нашему предположению, составляет 90 000 руб.                                                                                                              Решим полученное уравнение:   1,2 (1,2𝓶 – 90 000) = 90 000;                                                                                       1,44𝓶 – 108 000 = 90 000;                                                                                                                                                               𝓶 =  = 137 500.                                                                                                                                              Таким образом, максимальная сумма, которую Василий Петрович может взять у банка, равна 137 500 руб.

Ответ: 137 500.

Задача № 9. Кондитерская фабрика производит 20 видов шоколада. В новом году 5 из этих видов будут производить на 10%, а другие 7 видов – на 20% больше. На сколько процентов увеличится выпуск шоколада на фабрике, если в старом году все виды шоколада производились в одинаковом количестве?

Решение:                                                                                                                                                                                 Пусть 𝔁 – количество шоколада, выпущенного в прошлом году, тогда в новом году шоколада будет 0,25𝔁 · 1,1 + 0,4𝔁 + 0,35𝔁 · 1,2 = 1,095𝔁, значит выпуск шоколада увеличился на

Ответ: 9,5.

Задача №10. Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 000 руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 000 руб. А ещё через год сумма на её счёте составила 60 950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной.

Решение:                                                                                                                                                                             Пусть банк выплачивает 𝓶 · 100% годовых. Тогда через год, после пополнения Марией Павловной своего счёта на 30 000 руб., сумма на её счёте будет составлять (1 + 𝓶) · 20 + 30 тыс. руб.                        Ещё через год, после начисления банком процентов, эта сумма возрастёт до                                                  (1 + 𝓶) · ((1 + 𝓶) · 20 + 30) тыс. руб., что, по условию, составляет 60,95 тыс. руб.                                          Решим полученное уравнение:  (1 + 𝓶)² · 20 + (1 + 𝓶) · 30 = 60,95;                                                                    20𝓶² + 70𝓶 – 10,95 = 0;                                                                                                                                                    т.к. по условию задачи 𝓶  0, то 𝓶 = .                                                                                                    Таким образом, банк выплачивает 15% годовых.

Ответ: 15.

Задача № 11. Расценки на грузоперевозки по железной дороге увеличивались за год дважды: на 20% в первый раз и на 10% во второй. Определите, на сколько процентов возрастут расходы почтовой фирмы на железнодорожный транспорт, если объём перевозимой ею по железной дороге почты вырос на 30%.

Решение:  Пусть 𝓭 – стоимость перевозки единицы груза до увеличения расценок, а 𝓶 – объём почты, перевозимой фирмой прежде. Тогда прежние затраты фирмы на перевозку равны 𝓭·𝓶. После двух подорожаний, на 20% в первый и на10% во второй, стоимость перевозки единицы груза будет составлять 1,1 · 1,2𝓭 = 1,32𝓭.                                                                                               А объём перевозимой фирмой почты, увеличившийся на 30%, будет равен 1,3𝓶.  Следовательно, увеличившиеся расходы фирмы равны 1,32𝓭 · 1,3𝓶 = 1,716𝓭·𝓶.                      Таким образом, расходы фирмы возрастут на 0,716𝓭𝓶, что составляет                                                    от их прежней величины.

Ответ:71,6.

Задача № 12. Хозяин магазина музыкальных инструментов распорядился заменить у гитар струны из нейлона на металлические, которые на 50% дороже струн из нейлона. В результате стоимость каждой из этих гитар возросла на 1%. Сколько процентов от стоимости всей гитары составляла стоимость струн из нейлона?

Решение:                                                                                                                                                                           Пусть стоимость струн из нейлона равна 𝔁, а стоимость гитары без струн  - 𝔂, тогда стоимость всей гитары : (𝔁 + 𝔂).                                                                                                                                                                  По условию стоимость металлических струн – 1,5𝔁, а стоимость всей гитары после замены струн – 1, 01(𝔁 + 𝔂).                                                                                                                                                                   Решим уравнение:   1,5𝔁 + 𝔂 = 1,01(𝔁 + 𝔂);                                                                                                            0,49𝔁 = 0,01𝔂;                                                                                                                                                                           𝔂 = 49𝔁;                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       Получаем, что стоимость струн из нейлона составляла 2% от стоимости всей гитары.          

   Ответ: 2

Задача № 13. Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 руб. при 3% годовых.

Решение:                                                                                                                                                                          Пусть А – первоначальная сумма вклада.                                                                                                                                   Тогда через год сумма вклада составила А + 0,03А = А · (1 + 0,03) = 1,03А.                                                              За второй год проценты составили 0,03 · 1,03А.                                                                                                      Через два года сумма вклада станет равной 1,03А + 0,03 · 1,03А = 1,03 · 1,03А.                                     Составим уравнение:                                                                                                                                                       1,03 · 1,03А = А + 304,5;                                                                                                                                             0,0609А = 304,5;                                                                                                                                                                          А = 5 000.

Ответ: 5 000.

Задача № 14. В начале учебного года издательство выпустило на 20% книг по математике больше, чем книг по физике. Причём по физике книг для девятого класса было выпущено на 10% больше, а для одиннадцатого класса – на 25% меньше, чем книг по математике. Сколько процентов составляют книги по физике для девятого класса от всех книг, выпущенных по физике? (Ответ округлите до целого числа.)

Решение:                                                                                                                                                                                  Пусть по физике выпущено 𝔁 книг, тогда по математике – 1,2𝔁 книг.                                                              Пусть по математике выпущено 𝔂 книг для девятого класса, тогда по математике для одиннадцатого класса выпущено (1,2𝔁  - 𝔂) книг, по физике – 1,1𝔂 книг для девятого класса и 0,75(1,2𝔁 – 𝔂) для одиннадцатого.                                                                                                                          Всего по физике (1,1𝔂 + 0,75(1,2𝔁 – 𝔂)) книг.                                                                                                  Получаем уравнение:  1,1𝔂 + 0,75(1,2𝔁 – 𝔂) =𝔁;                                                                                                      1,1𝔂 + 0,9𝔁 – 0,75𝔂 = 𝔁;                                                                                                                                                 0,35𝔂 = 0,1𝔁;                                                                                                                                                                          𝔁 = 3,5𝔂;                                                                                                                                                                                          𝔂 =                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Значит, книги по физике для девятого класса составляют 31% от всех выпущенных по этому предмету.

Ответ: 31.

Задача № 15. При консервировании фруктов банок с абрикосовым компотом было закупорено на 10% больше, чем банок с вишнёвым компотом. Причём с вишнёвым компотом трёхлитровых банок было закупорено на 25% больше, а литровых – на 15% меньше, чем с абрикосовым компотом. Сколько процентов составляют трёхлитровые банки с абрикосовым компотом от всех закупоренных с этим компотом банок? (Ответ округлите до целого числа.)

Решение: Пусть банок с вишнёвым компотом – 𝔁 штук, тогда с абрикосовым – 1,1𝔁.                           Пусть с абрикосовым компотом закупорено 𝔂 трёхлитровых банок и (1,1𝔁 – 𝔂) – литровых, тогда с вишнёвым компотом – 1,25𝔂 трёхлитровых и 0,85(1,1𝔁 – 𝔂) литровых.                                                           Всего с вишнёвым компотом (1,25𝔂 + 0,85(1,1𝔁 – 𝔂)) банок.                                                                     Получаем уравнение:  1,25𝔂 + 0,85(1,1𝔁 – 𝔂) = 𝔁;                                                                                                1,25𝔂 + 0,935𝔁 – 0,85𝔂 = 𝔁;                                                                                                                                           0,4𝔂 = 0,065𝔁;                                                                                                                                                                           𝔂 = 0,1625𝔁;                                                                                                                                                                                  𝔂 = (0,1625 : 1,1) · 1,1𝔁;                                                                                                                                                       𝔂, то есть трёхлитровые банки составляют 15% от всех закупоренных с абрикосовым компотом.

Ответ: 15.

Задача № 16. Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день  - оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

Решение:                                                                                                                                                                           Пусть 𝔁 – вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4𝔁, а за второй день – 0,8 · 0,4𝔁.                                                                                                                                              Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составим уравнение:                                                   0,4𝔁 + 0,8 · 0,4𝔁 + 28 = 𝔁;                                                                                                                                                  0,28𝔁 = 28;                                                                                                                                                                                   𝔁 = 100.

Ответ: 100.

Задача № 17. Цена изделия составляла 1000 руб. и была снижена сначала на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение:                                                                                                                                                                          Первое снижение цены товара было на 0,1 · 1000 = 100 руб. После первого снижения цена товара составила 1000 – 100 = 900 руб.                                                                                                                                   Второе снижение цены товара было на 0,2 · 900 = 180 руб. После второго снижения цена товара составила 900 – 180 = 720 руб.

Ответ: 720.

Задача № 18. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили ещё на 10% и, наконец, после перерасчёта произвели повышение цены ещё на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение:                                                                                                                                                                        Обозначим первоначальную цену товара за 𝔁, тогда после первого повышения цена товара                    стала – 1,25𝔁.                                                                                                                                                                               Второе повышение цены было на 0,1 · 1,25𝔁.                                                                                                     После него цена товара стала 1,25𝔁 + 0,1 · 1,25𝔁 = 1,375𝔁.                                                                                     Третье повышения цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило 0,12 · 1,375𝔁 = 0,165𝔁.                                                                                               После последнего повышения цена товара составила 1,375𝔁 + 0,165𝔁 = 1,54𝔁.                                        Осталось выяснить процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 1,54𝔁 – 𝔁 = 0,54𝔁, что составляет 54% от первоначальной цены.

Ответ: 54

Задача № 19. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение:                                                                                                                                                                            Пусть 𝔁(тыс. руб.) – первоначальный размер вклада.                                                                                                В конце первого года вклад составит 𝔁 +  (тыс. руб.), а в конце второго года                  1,25𝔁(1 + 0,25) = 1,25²𝔁(тыс. руб.);                                                                                                                                1,25²𝔁 = 1312,5;                                                                                                                                                                        𝔁 = 840 тыс. руб.

Ответ: 840 000.

Задача № 20. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалось цена телевизора, если выставленный на продажу за 8 000 руб. он после двух снижений был продан за 5 120 руб.                                                                                        Ответ: 20.

Задача № 21. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, по истечении месяца уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена ковра, если выставленный на продажу за 24 000 руб. он после двух снижений был продан за 11 760 руб.                                                                           Ответ: 30.

Задача № 22. Во время стирки материя садится на 5% по длине и 4% по ширине. Сколько метров ткани шириной 5 м нужно купить, чтобы после стирки иметь 114 м² ?                                                                 Ответ: 25.

Задача № 23. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, по истечении месяца уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Выставленное на продажу за 9 000 руб. кольцо было продано через 70 дней за 4 000 руб. Определите цену магнитофона, выставленного на продажу за 4 200 руб., через 50 дней.                                                                     Ответ: 2 800.

Задача № 24. Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.                                                                             Ответ: 5.

Задача № 25. При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20%. Сколько процентов прибыли от этой коллекции получал магазин до распродажи?                                                                                                                              Ответ: 100.

Задача № 26. Фирма «Абрикос» занимается производством сока. В новом году фирма решила выпускать сок в новой, более качественной упаковке, которая на 15% дороже предыдущей. В результате стоимость сока увеличится на 5%. Сколько процентов от стоимости пакета сока первоначально составляла стоимость упаковки? (Ответ округлите до целого числа.)                                                                                 Ответ: 33.

Задачи « на проценты и отношения».                                                                                                                В задачах этой группы. В отличие от задач « на сложные проценты», при описании закона, по которому происходит изменение данных, самих исходных и конечных данных, могут быть использованы некоторые коэффициенты, выражающие отношение одних данных к другим.

Задача № 1. После двух последовательных повышений зарплата выросла в 2 раза по сравнению с первоначальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было в 1,5 меньше ( в процентном отношении) первого?

Решение:                                                                                                                                                                  Обозначим: Ѕ – первоначальная зарплата, 𝔁 – количество процентов, на которое повысилась зарплата в первый раз. Из условия задачи следует, что Ѕ · (1+ ) · (1 + ) = 2Ѕ .                                Или (100 + 𝔁)(150 + 𝔁) = 2· 100 · 150.                                                                                                                            Это уравнение приводится к виду   𝔁² + 250𝔁 – 15 000 = 0                                                                                        D = 62 500 + 60 000 = 122 500 = 350²                                                                                                                                  𝔁₁ = 50, 𝔁₂ = -300  ⇒ решением задачи является 𝔁 = 50.

Ответ: 50.

Задача № 2. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою массу на 4%, а второй – на 5%, в то время как прирост массы первого кристалла за 3 месяца равнялся приросту массы второго кристалла за 4 месяца. Определите сумму первоначальных масс кристаллов, если известно, что после того как каждая из них увеличилась на 20 г, отношение массы первого кристалла к массе второго кристалла достигло числа 1,5.

Решение:                                                                                                                                                                               Пусть 𝓶₁ и 𝓶₂ - первоначальные массы 1 –го и 2 –го кристаллов ( в граммах).                                                     За год 1 –й кристалл увеличил свою массу на 0,04𝓶₁ г, а 2 –й кристалл – на 0,05𝓶₂ г.                                   Прирост 1-го кристалла за 3 месяца равен                                                                                                                =  ,   или   3𝓶₁ = 5𝓶₂ .                                                                                                                                                                     По условию   =  , или  2(𝓶₁ + 20) = 3(𝓶₂ + 20).                                                                                             Таким образом, для определения масс кристаллов получаем систему уравнений                                                                                                                                            𝓶₁ = 100, 𝓶₂ = 60 ⇒ 𝓶₁ + 𝓶₂ = 160.

Ответ: 160.

Задача № 3. Количества проданных автомобилей бизнес-, среднего и эконом- класса одного автопроизводителя относятся как 1 : 8 : 12. За год продажи автомобилей бизнес- и среднего классов снизились на 4% и на 7% соответственно. На сколько процентов автопроизводителю нужно продать больше автомобилей эконом- класса, чтобы общее количество проданных машин не изменилось?                                                                                                                                                                      Ответ: 5.

  Задача № 4. При изготовлении пирога по древнему рецепту используется три вида муки: кукурузная, пшеничная и гречневая. Их массы в этом рецепте относятся как 3 : 5 : 2 соответственно. Один повар решил поэкспериментировать с рецептом. Он уменьшил на 15% содержание кукурузной муки и на 30% гречневой муки. На сколько процентов ему нужно увеличить содержание пшеничной муки, чтобы общая масса трёх видов муки осталась неизменной?                                                                                                                                                                  Ответ: 21.

Задача № 5. После двух последовательных повышений зарплата увеличилась в 1,75 раза по сравнению с первоначальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было в 1,6 раз больше (в процентном отношении) первого?                                          Ответ: 25.

Задача № 6. Зарплату повысили на 𝓹%. Затем новую зарплату повысили на 2𝓹%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Решение:                                                                                                                                                                                                                   Пусть исходная зарплата составляла 𝔁 руб.                                                                                                        Тогда после первого повышения она стала равна 𝔁(1 +                                                                              После второго повышения (на 2𝓹%) зарплата стала равна                                                                              𝔁(1 + + 𝔁(1 +  · = 𝔁(1 + 1 + ) руб.                                                                                          По условию задачи эта величина равна 1,32𝔁.                                                                                           Получим уравнение:                                                                                                                                                              𝔁(1 + 1 + ) = 1,32𝔁;                                                                                                                                                𝓹² +150𝓹 – 1600 = 0;                                                                                                                                                                𝓓 = 23 900;                                                                                                                                                                                  𝓹₁ = 10; 𝓹₂ = - 160.                                                                                                                                                            По условию задачи подходит только первый корень.                                                                                                 Тогда 2𝓹 = 20%.

Ответ: 20.

Задача №7. Объёмы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 7 : 6 : 5. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 4%, а из второй – на 2%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился?                                     Ответ: 8.

Задача № 8. Цистерна заполняется керосином за 2 часа с помощью трёх насосов , работающих вместе. Производительности насосов относятся как 1 : 2 : 7. Сколько процентов объёма цистерны будет заполнено за 1 час 12 минут совместной работы первого и третьего насосов ?                                 Ответ: 48.

Задача № 9. В результате расширения компании сотовой связи и одновременного удешевления тарифов на 50% ежемесячный объем продаж её услуг вырос в 3 раза. Через сколько месяцев дополнительная прибыль, получаемая компанией, компенсирует затраты на расширение, если они составили половину прежнего годового дохода компании?                                                                       Ответ: 12.

Задачи «на проценты и множества».                                                                                                                     Задача № 1. При выполнении письменной работы по математике 27% абитуриентов в аудитории вообще не решили задачу, 13% абитуриентов в аудитории решили задачу с ошибками, оставшиеся 60 человек решили задачу верно. Сколько человек было в аудитории?

Решение: Пусть в аудитории было 𝔁 человек. Тогда вообще не решили задачу 0,27𝔁 человек; решили задачу с ошибкой 0,13𝔁 человек. Так как 60 человек решили задачу верно, получаем 0,27𝔁 + 0,13𝔁 + 60 = 𝔁;                                                                                                                                                     0,6𝔁 = 60;  𝔁 = 100.

Ответ: 100.

Задача № 2. В одном классе 85% учащихся владеют языком БЕЙСИК, 80% - языком ПАСКАЛЬ, а 75% знают оба языка. Сколько процентов учащихся этого класса не знакомы ни с одним из упомянутых языков программирования?

Решение:                                                                                                                                                                                   Пусть А – множество учащихся, владеющих языком БЕЙСИК, В – множество владеющих языком ПАСКАЛЬ. Тогда АВ – множество знающих оба языка, А - множество знающих хотя бы один язык.                                                                                                                                                                              Пусть | обозначает, какую часть (в процентах) от общего количества учащихся составляет множество А. Значит, | = 85%, |В| = 80%, |А | = 75%.                                                                                  По формуле включений и исключений найдём: |А | = |А| + |В| - |А | = 85 + 80 – 75 = 90%. Следовательно, процент учащихся, не знакомых ни с одним из 2 –х языков, получаем как                   100% - |А | = 100% - 90% = 10%.

Ответ: 10.

Литература:

Кочагин В. В. ЕГЭ 2008.Математика. Репетитор. Москва, «Эксмо», 2008.

Денищева Л.О., Рязановский А.Р., ЕГЭ 2008.Математика. Федеральный банк экзаменационных материалов. Москва, «Эксмо», 2008.

Креславская О.А., Крылов В.В. и др. Математика. Сдаём без проблем! Москва, «Эксмо», 2008.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2008.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2008.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2006.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2006.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2007.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2007.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2008. Математика. Учебно – тренировочные материалы для подготовки учащихся. Москва, «Интеллект – Центр», 2008.

Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Математика. Решение задач повышенной сложности.  Москва, «Интеллект – Центр», 2008.

Лысенко Ф.Ф., Авилов Н.И. и др. Математика. Решебник. ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания. Ростов-на-Дону, «Легион – М», 2009.

Гущо  Л.В., Ильина М.С. ЕГЭ. Математика. Москва. «Московский лицей», 2008.

Ковалёва Г.И., Бузулина Т.И. и др. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ. Волгоград «Учитель», 2009.