Задачи с экономическим содержанием
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Задачи с экономическим содержанием

Уже много лет в школьных учебниках по геометрии мало вычислительных задач, особенно прикладного характера. В этой работе предлагается несколько задач по аналитической геометрии с экономическим содержанием, поскольку в последнее время в России возрос интерес к экономическим знаниям. Все предлагаемые задачи доступны для школ с профильным или углубленным изучением математики и были апробированы на факультативных занятиях в 10-м классе «В» средней школы № 6 г. Коряжмы Архангельской области. К проведению занятий привлекались студенты 1-го курса математического факультета Коряжемского филиала Поморского государственного университета Е.А.Лисицин и Т.А. Куклина.

I. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Самая простая функция, встречающаяся в экономических исследованиях — это функция y = αx + β — уравнение прямой.

Полные издержки производства на промышленном предприятии делятся на 2 части.

а) Переменные издержки, пропорциональные объему продукции. Переменные издержки на единицу продукции обозначим α.
б) Постоянные издержки, например затраты на содержание административных зданий, сооружений, оборудования, оплата аренды, кредитов и т. д. Обозначим их β.

Задача 1. Известно, что издержки на производство a единиц некоторой продукции составляют c денежных единиц, издержки на производство b единиц этой же продукции составляют d денежных единиц. Вычислите издержки на производство p единиц этой же продукции, при условии, что функция издержки имеет вид R(x) = αx + β. Проиллюстрируйте на графике.

Варианты

1. a = 100, b = 80, c = 1500, d = 1280, p = 110.
2. a = 260, b = 200, c = 5250, d = 4050, p = 210.
3. a = 190, b = 210, c = 1350, d = 1450, p = 240.
4. a = 80, b = 100, c = 1160, d = 1350, p = 105.

Решение задачи варианта 1. По условию известно, что R(100) = α∙100 + β = 1500; R(80) = α∙80 + β = 1280.

Составим систему уравнений

Её решение: α = 11, β = 400. R(x) = 11∙x + 400.

p = 110, R(110) = 11∙110 + 400 = 1610

денежных единиц — издержки на производство 110 единиц продукции.

На рисунке 1 построен график функции R(x) = 11∙x + + 400 и отмечены точки с абсциссами x = 80; 100; 110. Масштабы на осях Оx и Оy не совпадают.

Рис. 1

Задача 2. Издержки при перевозке 1 т сырья двумя средствами транспорта выражаются функциями

R1(x) = α1∙x + β1 и R2(x) = α2∙x + β2,

где x — расстояние в сотнях километров. Начиная с какого расстояния становится более экономичным второе средство транспорта? Решение проиллюстрируйте графически.

Варианты

1. R1(x) = 20∙x + 40; R2(x) = 10∙x + 100.
2. R1(x) = 25∙x + 140; R2(x) = 100∙x + 290.
3. R1(x) = 45∙x + 180; R2(x) = 10∙x + 390.
4. R1(x) = 40∙x + 160; R2(x) = 12∙x + 300.

Решение задачи варианта 1. Найдем, при каких x R2(x) ≤ R1(x).

Для этого решим неравенство 10∙x + 100 ≤ 20∙x + 40, 60 ≤ 10x, 6 ≤ x.

Поскольку расстояния даны в сотнях километрах, то второе средство транспорта становится более экономичным, начиная с 600 км.

На рисунке 2 построены графики R1(x) и R2(x). Масштабы на осях Оx и Оy не совпадают.

Рис. 2

 II. Общее и каноническое уравнение прямой на плоскости. Нормаль и направляющий вектор прямой

Перед решением задач 3 и 4 нужно хотя бы один урок посвятить векторам на плоскости, заданным в координатной форме. Учащиеся должны знать, что если то — модуль вектора , — модуль вектора   .

Скалярное произведение этих векторов:

где γ — угол между векторами Отсюда следует, что

Если векторы перпендикулярны, то

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны

Вектор параллельный прямой L, называется направляющим вектором этой прямой.

Если известна точка M(x0; y0), лежащая на прямой L, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Если известны точки A(x1; y1) и B(x2; y2), лежащие на прямой L, то вектор является направляющим вектором этой прямой. Каноническое уравнение прямой L можно записать в виде

Вектор перпендикулярный прямой L, называется нормалью. Если известна точка M(x0; y0), лежащая на прямой L, то уравнение этой прямой можно записать в виде  a(x – x0) + b(y – y0) = 0 или ax + by – (ax0 + by0) = 0.

Уравнение прямой ax + by + c = 0 называется уравнением прямой в общем виде.

Задача 3. Через пункты A(x1; y1), B(x2; y2) проходит прямолинейный участок шоссе. Размеры участков в десятках километров. В пункте C открыто месторождение, от которого нужно провести кратчайшую дорогу к шоссе. Вычислите координаты точки D, в которой дорога должна соединиться с шоссе. Какова длина этой дороги? Составьте уравнение шоссе и уравнение дороги.

Варианты

1. A(3; 2), B(11; 6), C(7; 9).
2. A(2; 3), B(10; 7), C(4; 9).
3. A(21; 25), B(69; 49), C(33; 73).
4. A(20; 40), B(60; 20), C(50; 50).

Решение задачи варианта 1. Вектор является направляющим вектором прямой AB (шоссе) и нормалью прямой CD (дорога).

Уравнение шоссе AB:

Уравнение дороги CD:  8(x – 7) + 4(y – 9) = 0 или 2(x – 7) + y – 9 = 0.

Вычислим координаты точки D, в которой шоссе соединится с дорогой. Для этого решим систему уравнений

D(9; 5) — пункт, в котором шоссе соединяется с дорогой.

Вектор 

Поскольку все расстояния даны в десятках километров, то длина дороги CD приблизительно равна 45 км.

На рисунке 3 приведены прямые AB (шоссе), CD (дорога).

Рис.3

Задача 4. В условии задачи 3 будем считать, что дорогу от пункта C до шоссе провели через пункт A. Какой угол она составляет с шоссе? На сколько километров кратчайшая дорога была бы короче? Напишите уравнение прямой, на которой лежит дорога AC.

Решение задачи варианта 1. Вектор является направляющим вектором прямой AC. Её уравнение Эта прямая (дорога AC) составляет с прямой AB (шоссе) угол α, равный углу между векторами

— угол между шоссе AB и дорогой AC.

Длина дороги AC приближенно равна 81 км. Она на 81 – 45 = 36 км длиннее кратчайшей дороги CD длиной 45 км.

III. Линии уровня линейной функции F(x; y) = α∙x + β∙y + γ

Линией уровня c линейной функции двух переменных F(x; y) = αx + βy + γ (α, β, γ — постоянные числа) называется прямая L с уравнением αx + βy + γ = c, то есть уравнением F(x; y) = c.

Пример. Пусть F(x; y) = x + 2y. В этом примере α = 1, β = 2, γ = 0. Зададим уровни c1 = 4, c2 = 7, c3 = 10.

Линия L1 уровня c1 = 4 имеет уравнение x + 2y = 4.

Линия L2 уровня c2 = 7 имеет уравнение x + 2y = 7.

Линия L3 уровня c3 = 10 имеет уравнение x + 2y = 10.

Точки A1(2; 1) и B1(4; 0) лежат на прямой L1, так как их координаты удовлетворяют уравнению x + 2y = 4.

Точки A2(3; 2) и B2(7; 0) лежат на прямой L2, так как их координаты удовлетворяют уравнению x + 2y = 7.

Точки A3(0; 5) и B3(4; 3) лежат на прямой L3, так как их координаты удовлетворяют уравнению x + 2y = 10.

Прямые L1, L2, L3 параллельны друг другу и имеют общую нормаль

На рисунке 4 видно, что линия L3 наибольшего уровня c3 = 10 лежит выше L2 и L1. Линия L1 наименьшего уровня c1 = 4 лежит ниже L2 и L3.

Если двигать линейку перпендикулярно вектору  то чем дальше в этом направлении мы будем ее двигать, тем большего уровня c получим прямую L и тем большее значение будет принимать функция F(x; y) в точках этой прямой L.

Задача 5. Производство продукции A и продукции B взаимосвязано. Завод производит оба вида продукции. Издержки на производство x единиц продукции A и y единиц продукции B задаются функцией R(x, y) = α∙x + β∙y + γ. Имеющиеся ресурсы позволяют выпускать либо x1 единиц продукции A и y1 единиц продукции B, либо x2 единиц продукции A и y2 единиц продукции B, либо x3 единиц продукции A и y3 единиц продукции B.

Рис. 4

Вычислите c1 = R(x1; y1), c2 = R(x2; y2) и c3 = R(x3; y3). Постройте графики прямых R(x; y) = c1, R(x; y) = c2 и R(x; y) = c3. Укажите, при каком плане (xi; yi)   i = 1, 2, 3 выпуска продукции расходы будут наименьшими и при каком наибольшими.

Варианты

1. R(x; y) = 20x + 30y + 60; x1 = 15, y1 = 15; x2 = 24, y2 = 6; x3 = 6, y3 = 24.
2. R(x; y) = 20x + 25y + 100; x1 = 30, y1 = 20; x2 = 40, y2 = 10; x3 = 10, y3 = 40.
3. R(x; y) = 10x + 20y + 50; x1 = 20, y1 = 10; x2 = 15, y2 = 15; x3 = 25, y3 = 5.
4. R(x; y) = 10x + 10y + 60; x1 = 15, y1 = 15; x2 = 20, y2 = 10; x3 = 10, y3 = 20.

Решение задачи варианта 1. Вычислим c1, c2, c3 и составим уравнения линий уровня L1, L2, L3 с уравнениями:

L1 : R(x; y) = c1;     L2 : R(x; y) = c2;    L3 : R(x; y) = c3.

c1 = R(15; 15) = 20∙15 + 30∙15 + 60 = 810.

Прямая L1 имеет уравнение  20x + 30y + 60 = 810 или 20x + 30y = 750.

c2 = R(24; 6) = 20∙24 + 30∙6 + 60 = 720.

Прямая L2 имеет уравнение  20x + 30y + 60 = 720 или 20x + 30y = 660.

c3 = R(6; 24) = 20∙6 + 30∙24 + 60 = 900.

Прямая L3 имеет уравнение  20x + 30y + 60 = 900 или 20x + 30y = 840.

Вектор и любой вектор ему коллинеарный будет нормалью для L1, L2 и L3.

max R(x; y) = R(x3; y3) = c3 = 900;
max R(x; y) принадлежит точкам L3.
min R(x; y) = R(x2; y2) = c2 = 720;
min R(x; y) принадлежит точкам L2.

На рисунке 5 построены графики прямых L1, L2 и L3. Чем дальше в направлении вектора нормали передвигать линии уровня, тем больше уровень c.

Рис. 5

— нормаль прямых L1, L2, L3.
— тоже нормаль прямых L1, L2, L3.

Задача 6. Будем считать, что в условии задачи 5 доход от производства x единиц продукции A и y единиц продукции B равен D(x; y) = d1x + d2y. Вычислите 

В каком случае доход максимальный, в каком минимальный? Построить графики линий уровня:

:

Варианты

1. d1 = 30; d2 = 40.
2. d1 = 25; d2 = 40.
3. d1 = 20; d2 = 40.
4. d1 = 20; d2 = 20.

Решение задачи варианта 1. Вычислим

D(x1; y1) = 30∙15 + 40∙15 = 1050,  

Уравнение прямой 30x + 40y = 1050.

D(x2; y2) = 30∙24 + 40∙6 = 960, 

Уравнение прямой 30x + 40y = 960.

D(x3; y3) = 30∙6 + 40∙24 = 1140, 

Уравнение прямой 30x + 40y = 1140.

На рисунке 6 построены графики прямых

Вектор — вектор нормали для прямых Вектор — тоже является нормалью для

Рис. 6

max D(x; y) = D(x3; y3) = 1140 лежит на прямой
min D(x; y) = D(x2; y2) = 960 лежит на прямой

IV. Линейные неравенства и системы неравенств на координатной плоскости

Задача 7. Производство продукции A и продукции B взаимосвязано. Оба вида продукции производятся заводами 1 и 2. Издержки на производство x единиц продукции A и y единиц продукции B заводами 1 и 2 задаются функциями R1(x; y), R2(x; y).

Указать на координатной плоскости область D, координаты точек которой соответствуют тем количествам x единиц продукции A и y единиц продукции B, которые одновременно выгоднее производить на заводе 1, чем на заводе 2. На каком заводе государству выгоднее разместить госзаказ на производство x0 единиц продукции A и y0 единиц продукции B?

Варианты

1. R1(x; y) = 15x + 20y + 50; R2(x; y) = 10x + 10y + 250; x0 = 10; y0 = 10.
2. R1(x; y) = 5x + 10y + 200; R2(x; y) = 15x + 15y + 50; x0 = 20; y0 = 36.
3. R1(x; y) = 20x + 25y + 50; R2(x; y) = 15x + 15y + 200; x0 = 15; y0 = 20.
4. R1(x; y) = 15x + 10y + 260; R2(x; y) = 25x + 20y + 60; x0 = 20; y0 = 25.

Решение задачи варианта 1. Найдем в I координатной четверти точки, для которых R1(x; y) ≤ R2(x; y):

15x + 20y + 50 ≤ 10x + 10y + 250,

5x + 10y ≤ 200, x + 2y ≤ 40.

Это точки области D, лежащей в I координатной четверти ниже прямой x + 2y = 40. Эта область изображена на рисунке 7 штриховкой.

Рис. 7

Точка (x0; y0) (x0 = 10; y0 = 10) принадлежит области D. Государству выгоднее разместить госзаказ на 1-ом заводе.

Решение задачи варианта 2. Найдем в I координатной четверти область D, координаты точек которой удовлетворяют неравенству R1(x; y) ≤ R2(x; y):

5x + 10y + 200 ≤ 15x + 15y + 50,

150 ≤ 10x + 5y, 30 ≤ 2x + y.

Это точки, лежащие выше прямой 2x + y = 30.

Область D изображена на рисунке 8 штриховкой. Как и в варианте 1 государству выгоднее разместить госзаказ на 1-ом заводе.

Рис. 8

Задача 8. Для изготовления 1 единицы продукции A используется 2 т сырья α и 1 т сырья β. Для изготовления 1 единицы продукции B используется 1 т сырья α и 5 т сырья β. Цех располагает ресурсами сырья α в количестве 2400 т и сырья β в количестве 3000 т.

Найти на координатной плоскости область D, координаты x, y точек которой соответствуют тому количеству единиц продукции A и продукции B, которое может изготовить цех из своих ресурсов.

Решение. Если цех изготовил x единиц продукции A и y единиц продукции B (x ≥0; y ≥ 0), то для их изготовления понадобится сырья α (2x + y) т, сырья β (x + 5y) т.

Учитывая ресурсы сырья α и β, получаем систему неравенств

Решением этой системой неравенств будет область D, лежащая в I координатной четверти ниже прямых

2x + y = 2400, x + 5y = 3000.

Она изображена штриховкой на рисунке 9. 

Рис. 9

Задача 9. Для изготовления изделия A нужно затратить 20 часов работы токарного станка и 30 часов работы фрезерного станка. Для изготовления изделия B нужно затратить 10 часов работы токарного станка и 40 часов работы фрезерного станка. Ресурсы времени работы токарных станков равны 2000 станкочасов. Ресурсы времени фрезерных станков равны 4800 станкочасов. Найти на координатной плоскости область D, координаты x, y точек которой соответствуют количествам изделий A, B, которые можно изготовить при имеющихся ресурсах работы токарных и фрезерных станков.

Решение. Пусть x — количество изделий A, y — количество изделий B (x ≥ 0; y ≥ 0). Для их изготовления нужно затратить 20x + 10y часов работы токарного станка и 30x + 40y часов работы фрезерного станка. Учитывая ресурсы станкочасов, получаем систему неравенств

Решением этой системы неравенств будет область D, лежащая в I координатной четверти ниже прямых  2x + y = 200  и 3x + 4y = 480.

Она изображена штриховкой на рисунке 10.

Рис. 10

V. Графическое решение задач линейного программирования

Задача 10. В условии задачи 8 будем считать, что прибыль от реализации 1 единицы продукции A составляет 6000 денежных единиц и от реализации 1 единицы продукции B — 12000 денежных единиц.

Составить оптимальный план выпуска продукции A, B из условия максимума прибыли.

Решение. Нужно найти такую точку в области D или на ее границе, через которую бы проходила прямая  6000x + 12000y = c,

где c — максимальный уровень для области D, то есть чтобы все остальные точки области D лежали ниже этой прямой.

Такой точкой является точка (1000; 400), лежащая на границе D и являющаяся точкой пересечения прямых

2x + y = 2400 и x + 5y = 3000.

Обозначим буквой P прибыль от реализации x единиц продукции A и y единиц продукции B.

P(x; y) = 6000x + 12000y.

P(1000; 400) = 6000∙1000 + 12 000∙400 = 10 800 000

— максимум.

Уравнение линии максимального уровня для P(x; y) имеет вид

6000x + 12000y = 10 800 000 или x + 2y = 1800.

Ее вектор нормали (рис. 11.).

Рис.11

Задача 11. В условии задачи 9 будем считать, что прибыль от реализации 1 единицы изделия A или изделия B 400 денежных единиц. Составить оптимальный план выпуска изделий A и B из условия максимума прибыли.

Решение. Нужно найти в области D или на ее границе точку, через которую проходит прямая 400x + 400y = c (максимального уровня c) для области D и ее границы. Эта точка (64; 72) на границе области D, являющаяся точкой пересечения прямых 2x + y = 200 и 3x + 4y = 480.

max P(x; y) = 400∙64 + 400∙72 = 54400.

Линия максимального уровня P(x; y): 400x + 400y = 54400 или x + y = 136. Ее вектор нормали Вектор — тоже является ее вектором нормали.

На рисунке 12 эта линия максимального уровня изображена пунктирной линией, она лежит выше всей области D.

Рис. 12