ИЗ ОПЫТА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему

Негосударственное общеобразовательное учреждение                                                          «Школа-интернат № 9 среднего (полного) общего образования открытого акционерного общества «Российские железные дороги»

ИЗ ОПЫТА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ  ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

Степанова О.А. учитель математики

                                                             школы-интерната №9 ОАО «РЖД»

Г. Кинель, август 2015 года

Текстовые задачи – традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики, ему придается большое значение.

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения.

 Статистические данные  говорят о том, что   задания, содержащие текстовую задачу, решают чуть около 30% выпускников. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач. Они  не умеют за   часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

  Мой педагогический стаж в роли учителя математики 35 лет, что даёт мне право   поделиться некоторым опытом своей работы.

  В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.

   Арифметический способ уже применяется в 5 – 6 классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в 1 – 4 классах. Именно в этих классах  отрабатывая технику вычислений на отвлечённых примерах, не забывайте периодически насыщать их житейским содержанием.

   Например, на уроке мы нарабатываем навык умножения десятичных дробей и решили пример 44,5*1,2. Получили ответ 53,4. Обращаюсь  к ребятам: «Придумайте задачку, для решения которой нам бы потребовалось выполнить действие умножения этих чисел».  На первых порах придётся помочь с ответом. Когда же это обращение к творчеству детей будет уже для них привычно, много времени от урока это не займёт, и вы услышите:

-длина прямоугольника 44,5 м, ширина 1,2 м; найти его площадь;
- мотоциклист двигался со скоростью 44,5 км/ч; найти расстояние, которое он преодолеет за 1,2часа;

- цена печенья 44,5 рубля за килограмм; Тёма купил ко дню рождения 1,2 кг этого печенья; найти стоимость покупки.

Выполнили какое-либо вычисление - предлагаю решить соответствующую устную одношаговую текстовую задачу, а затем уделяю пару минут коллективному сочинительству задач разнообразного содержания. Конечно, расшевелить фантазию ребят    сразу не удастся, но   нам не привыкать проявлять терпение и настойчивость. И  постепенно   становится видно, насколько лучше дети воспринимают текстовые задачи, воспроизводят решение типовых задач. Даже не самые сильные ученики потом смелее возьмутся за решение более сложных заданий.

Хочется  еще сказать: если   вы наметили решить задачу, то, прочитав её, не спешите анализировать условие, обсуждать алгоритм её решения до тех пор, пока:

- не дадите детям пару минут тишины на чтение текста «про себя»;
-   не поднимете нескольких учеников, попросив их пересказать текст задачи.

Не жалко хорошей оценки для ученика, чётко передавшего своими словами ситуацию задачи. И только после этого приступайте к коллективному поиску ответа на поставленный в задаче вопрос.

При таком подходе к решению задач многие ученики уже не так боязливо реагируют на них.

Кроме того в этих классах хорошо срабатывает приём ролевых игр при разборе и решении задач. Например, стоимость проездного билета на поезде рассчитывает кассир вокзала; грузоподъемность вагона – составитель поездов и т.д.

 Конечно,  учащиеся испытывают серьезные трудности при решении задач.

 Первая трудность состоит   в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

 Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

 Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

 Третья трудность — это решение полученных   уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом. 

Чтобы ученик мог ориентироваться лучше в этих ситуациях, можно проводить следующую работу: урок, на котором вы успеете решить обстоятельно и качественно не менее шести(!) задач.

Например, на сегодня им было задано на дом решить два уравнения:

К началу урока на столах у детей лежит список задач:

№1. Турист на мопеде проехал 30 км по ровному участку шоссе, затем 17 км по склону, причём по склону со скоростью на 2км/ч большей, чем по ровному участку. На весь путь было потрачено 3 часа. Найти скорость движения туриста по ровному участку шоссе.

№2. Катер прошёл 30 км по озеру, затем 17 км по реке, вытекающей из этого озера. Скорость течения реки 2 км/ч. На весь путь катер затратил 3 часа. Найти собственную скорость катера.

№3. Велосипедист выехал из деревни в 8.00, чтобы к 11.00 прибыть на место. Проехав 30 км, он рассчитал, что опоздает. Тогда он решил на последних 17 км увеличить скорость на 2 км/ч. В пункт назначения он прибыл вовремя.

Найти первоначальную скорость велосипедиста.

№4. Ко дню рождения Наташа купила на 30 рублей конфет «Рябинка» и на 17 рублей конфет «Космос». Один килограмм «Космоса» дороже одного килограмма «Рябинки» на 2 рубля. Масса всех купленных Наташей конфет составила 3 кг. Найти цену одного килограмма конфет «Рябинка».

№5. Требовалось обработать на станке 47 деталей за 3 часа. Сначала 30 деталей обработал ученик мастера, а затем остальные детали - сам мастер. Мастеру удаётся обработать в час на 2 детали больше, чем его ученику. Сколько деталей в час обрабатывал ученик?

№6. Сначала 30 страниц текста набрал на компьютере первый оператор, а затем его сменил второй и набрал оставшиеся 17 страниц текста. Второй оператор печатает на 2 страницы в час больше, чем первый оператор, а вся работа была выполнена за 3 часа. Какова производительность труда первого оператора?

На столах у детей ещё и таблицы, которые будут заполняться по мере коллективного обсуждения условий каждой задачи и составления соответствующего уравнения. И каково удивление ребят, когда они обнаруживают одно и то же уравнение во всех задачах.

Не менее эффективно для развития математического мышления хотя бы иногда ставить перед детьми проблему поиска различных способов решения одной и той же задачи.

         Важно осознавать, что при алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков:

1. Краткая запись условия задачи.
2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.
3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.
4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами).
5. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.
6. Нахождение разностного сравнения величин (чисел).
7. Нахождение кратного сравнения величин (чисел).
8. Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.
9. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).
10. Нахождение дроби от величины (числа).
11. Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.
12. Нахождение процентов данной величины (данного числа).
13. Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.
14. Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).
15. Составление пропорций.
16. Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).
17. Понятие производительности труда.
18. Определение производительности труда при совместной работе.
19. Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.
20. Определение скорости движения.
21. Определение пути, пройденного телом.
22. Определение времени движения тела.
23. Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.
24. Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.
25. Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.
26. Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.
27. Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.
28. Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.
29. Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.
30. Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.
31. Нахождение концентрации, процентного содержания.
32. Нахождение стоимости товара, акции.
33. Нахождение цены товара, акции.
34. Нахождение прибыли.
35. Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.
36. Нахождение себестоимости продукции.
37. Расчёт начислений банка на вклады.
38. Проверка решения задачи по условию.
39. Введение неизвестного.
40. Введение двух неизвестных.
41. Введение трёх и более неизвестных.
42. Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.
43. Выполнение действий умножения и деления неизвестных.
44. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.
45. Решение линейных уравнений.
46. Решение линейных неравенств.
47. Решение квадратных уравнений и неравенств.
48. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.
49. Решение систем уравнений и систем неравенств.
50. Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
51. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
52. Выбор значений неизвестных по условию задачи.
53. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.
54. Решение уравнений с параметром.
55. Исследовательская работа.

Поэтому любая ошибка на любом этапе решения задачи приводит к большим проблемам у учащихся.

Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи.

Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, можно предложить им специальные памятки. На этапе анализа условия задачи:

1. разбиваем условие задачи на части;
2. выясняем, какие величины характеризуют описываемый в условии процесс;
3. выясняем, какие величины известны, а какие требуется найти;
4. устанавливаем связи между величинами.

Ошибка 2. Пропуск этапа поиска решения.

Пропуск этого этапа ведет к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач.  На этапе поиска решения выясняем, что можно найти по данным задачи, и поможет ли это дальнейшему решению.  Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам:

1. определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;
2. составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;
3. определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;
4. определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

Ошибка 3. Пропуск этапа исследования решения.

Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи.                                                                                                                        

Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения.

Цель этапа анализа условия – выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.                                                                          Ошибка 5. На этапе анализа условия фиксируются не все связи между величинами.                                                                                                                         Надо стараться зафиксировать как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:

1. условие для составления уравнения;
2. возможность одну величину выразить через другие;
3. предусмотреть несколько способов решения^[1].

Ошибка 6. Поиск решения задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.

Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»

И насколько спокойнее и увереннее чувствует себя наш ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения задач; он смог составить по условию задачи таблицу; найти несколько условий для составления уравнений; записать схему уравнения для выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.

Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.

Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.

Задавая вопросы, учитель не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.    

Универсальные таблицы для составления системы уравнений.

На первый взгляд, задач бесконечное множество, и невозможно запомнить формулы для их решения.  Но стоит присмотреться, чтобы увидеть, например, что скорость измеряется в метрах в секунду или километрах в час; цена - в рублях за единицу товара (шт., кг и т. д.); производительность - в объеме работы за единицу времени и т. д.  Значит, скорость вычисляется делением расстояния на время, цена - делением стоимости всего товара на количество, производительность - делением всего объема работы на время и т. д.  То есть получается, что все задачи - однотипные,  если, конечно, понимать, о чем идет речь в задаче. Получаем вот такие таблицы.

Важно соблюдать порядок заполнения таблиц:  в первом столбике должна быть «скорость»  (она же – цена, производительность, плотность); во втором - «время» (оно же - количество);  в третьем - «путь» (он же - стоимость, работа, масса).

Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе. Поэтому с 9-го класса   рекомендую вводить элективный курс «Текстовые задачи».  Хотя при творческом подходе учителя к его проведению, исключив пока ещё не изученные на уроках темы, можно ввести этот курс и раньше. Подобный подход возможен, так как каждая тема, за исключением первой, является вполне самостоятельной и не связана с другими. За счёт высвободившихся часов можно увеличить количество практических занятий по другим темам. Но в 11 классе при подготовке к ЕГЭ желательно еще раз проработать этот курс на задачах из банка заданий.

Представленный элективный курс содержит 8 тем и рассчитан на 24 часа.

Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной по данному разделу математики.  При её раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Кроме того, следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления.

Следующие четыре темы - «Задачи на движение», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии» - закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках.

Последние три темы - «Задачи с экономическим содержанием», «Задачи на числа», «Разные задачи» - выходят за рамки школьной программы и значительно совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач.

Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы.

Итак, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека - способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным.

Литература.  

1)Александр и Наталья Крутицких     www.matematikalegko.ru   01.01.2015 Подготовка к ЕГЭ по математике

2) Тренажеры по подготовке к ЕГЭ

3) Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

 4) Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.

5)  Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. – Киров, ИИУ. – 1999. – С.3-1

6)  А. Тоом  Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета <Математика>, №46, 47, 2004г.

7) Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. – 2000. - №4. - С.28.

8) Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. С. 34.

9) Бохонова К.В. Несколько советов молодым учителям математики

// Математика в школе. - http://festival.1september.ru/articles/413415/