Доклад на тему: "Формирование навыков самостоятельности в процессе обучения математике"
статья по алгебре ( класс) на тему

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  г. Керчи Республики Крым

«Школа № 15 им. Героя Советского Союза Е.М. Рудневой»

ДОКЛАД

НА ТЕМУ:

«Формирование  навыков

 самостоятельности в процессе

 обучения математике»

                Подготовила:

                                                                                             учитель математики высшей категории

                                                    МБОУ г. Керчи  РК «Школа № 15  им. Героя  Советского Союза Е.М. Рудневой»

                                                                                             Мамедеминова Надие Аджеремиевна

Керчь, 2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………….……………………………………………….…3

1.  ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ

I.1. Самостоятельная работа – одна из основных форм учебной деятельности школьников………………………………………………….............7

I.2. Виды заданий, предлагаемые для самостоятельной работы при обучении алгебре……………………………………………………….............9

I.3. Роль письменных самостоятельных работ в организации самостоятельной деятельности учащихся при обучении алгебре…………….…12

2. ОБУЧАЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

II.1. Работы по формированию знаний……………………………………14

II.2. Работы по формированию умений…………………………………...17

3. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

III.1. Требования к контролю знаний учащихся………………………….21

III.2. Проверочные самостоятельные работы……………………………..22

III.3. Контрольные самостоятельные работы……………………………..25

III.4. Обзорные самостоятельные работы…………………………………27

III.5. Итоговые самостоятельные работы………………………………....29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………..32

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………....34

ВВЕДЕНИЕ

 Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному выполнению работ различного характера.

В психолого-педагогической литературе нашли отражение вопросы, связанные с выделением различного вида умений и навыков с характеристикой этапов их формирования и указанием параметров, позволяющих судить о степени овладения ими.

Одной из целей обучения является достижение такого уровня развития учащихся, когда они оказываются в силах самостоятельно ставить цель деятельности, актуализировать необходимые для решения задачи знания и способы деятельности; планировать свои действия, корректировать их осуществление, соотносить полученный результат с поставленной целью, то есть самостоятельно осуществлять учебную деятельность. Самостоятельность является одним из главнейших качеств учащихся и важнейшим условием их обучения.

Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для меня. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. И чем выше уровень самостоятельности учащихся, тем эффективнее будет протекать их учебная деятельность. Формирование самостоятельности в учебной деятельности является предпосылкой проявления данного качества в других видах деятельности, не только в тех, в которые ученик включается в настоящее время, но и тех, которые ему предстоят в будущем.

Практика показывает, что при обучении математике необходимо уделять значительное место самостоятельной работе учащихся. Без этого не может быть усвоения программного материала по математике. Только в выполнении различных упражнений закрепляются математические понятия, вырабатываются вычислительные навыки, приобретается умение геометрических построений, развивается пространственное представление учащихся, умение практически применять знания, свой опыт при решении задач. В процессе выполнения самостоятельной работы по математике у учащихся развивается внимание, память, стремление обосновать свои гипотезы и предположения, инициатива.

Ядром любой самостоятельной работы является задача, которая служит началом самостоятельной познавательной деятельности ученика. И определяет самостоятельную работу, как любую организованную учителем активную деятельность учащихся, направленную на выполнение поставленной дидактической цели в специально отведенное для этого время. Как дидактическое явление самостоятельная работа представляет собой, с одной стороны, учебное задание, т.е. то, что должен выполнить ученик, объект его деятельности, с другой – форму проявления соответствующей деятельности: памяти, мышления, творческого воображения при выполнении учеником учебного задания, которое в конечном счете приводит школьника либо к получению совершенно нового, ранее неизвестного ему знания, либо к углублению и расширению сферы действия уже полученных знаний.

В психолого - педагогической литературе самостоятельность обычно понимается как способность личности к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны [1]. Самостоятельность личности не выступает как изолированное качество личности, она тесно связана с независимостью, инициативностью, активностью, настойчивостью, самокритичностью и самоконтролем, уверенностью в себе. Важной составной частью самостоятельности как черты личности школьника является познавательная самостоятельность, которая трактуется как его готовность (способность и стремление) своими силами вести целенаправленную познавательно-поисковую деятельность. Самостоятельная познавательная деятельность учеников может носить как характер простого воспроизведения, так и преобразовательный.  При этом в применении к учащимся под творческой подразумевается такая деятельность, в результате которой самостоятельно открывается нечто новое, оригинальное, отражающее индивидуальные склонности, способности и индивидуальный опыт школьника. Философское определение творческой деятельности как деятельности, результатом которой является открытие нового оригинального продукта, имеющего общественную ценность, по отношению к учащемуся неприемлемо. Хотя,  бывают случаи, когда деятельность учеников выходит за рамки выполнения обычных учебных заданий и носит творческий характер, а ее результатом становится продукт, имеющий общественную ценность: оригинальное доказательство известной теоремы, доказательство новой теоремы, составление новой программы для электронно-вычислительных машин и т. п., как правило, в учебной деятельности творчество проявляется в субъективном плане, как открытие нового для себя, нового в своем умственном развитии, имеющего лишь субъективную новизну, но не имеющего общественной ценности. 

В дидактике установлено, что развитие самостоятельности и творческой активности учащихся в процессе обучения математике происходит непрерывно от низшего уровня самостоятельности, воспроизводящей самостоятельности, к высшему уровню, творческой самостоятельности, последовательно проходя при этом определенные уровни самостоятельности. Руководство процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую состоит в осуществлении последовательных взаимосвязанных, взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы, каждый из которых обеспечивает выход учащегося на соответствующий уровень самостоятельности и творческой активности. Задача воспитания и развития самостоятельности личности в обучении заключается в управлении процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую.

Таким образом, цель работы – изучить способы формирования  навыков самостоятельности в процессе обучения математике.

Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачи:

1. Определить понятие «самостоятельная работа».
2. Охарактеризовать виды заданий, предлагаемые для самостоятельной работы при обучении алгебре.
3. Выяснить роль письменных самостоятельных работ в организации самостоятельной деятельности учащихся при обучении алгебре.
4. Дать характеристику обучающим и контролирующим самостоятельным работам, а также их формам и разновидностям.

1. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ

I.1. Самостоятельная работа – одна из основных форм учебной деятельности школьников

Одной из эффективных форм учебной деятельности является самостоятельная работа школьников. Переоценить значение самостоятельной работы учащихся попросту невозможно, так как одной из целей обучения в средней школе является формирование умения работать с научной литературой, самостоятельно приобретать новые знания, получать новые результаты. Если учитель ставит ученика в положение объекта, передаваемой ему извне информации, то он искусственно сдерживает развитие познавательной активности обучаемого, наносит ему непоправимый вред в интеллектуальном и в нравственном отношении. «Заставлять детей непомерно много слушать и смотреть и, не давая им собственной деятельностью закреплять и усваивать упражнениями полученные впечатления, мы лишаем детей радости действия, жизни, притупляем остроту восприятия впечатлений, отбивает желание добывать знания и совершенствовать умения, прививаем интеллектуальную лень, самую страшную разновидность лени» [10].

Известный педагог Т.И. Шамова указывает следующие признаки, характеризующие самостоятельную работу как одну из форм учебной деятельности школьников:

- наличие цели самостоятельной работы;

- наличие конкретного задания;

- четкое определение формы выражения результата самостоятельной работы;

- обязательность выполнения работы каждым учеником, получившим задание.

Лишь наличие всех указанных признаков в организации учебной деятельности школьников дает основание утверждать, что они выполняют самостоятельную работу. Отсутствие хотя бы одного из них говорит о том, что в ходе учебного процесса не была создана совокупность условий, каждое из которых необходимо для стимулирования самостоятельной деятельности учащихся [12].

Самостоятельная деятельность учащихся может организовываться на различных уровнях самостоятельности. От воспроизведения действий по образцу и узнавания объектов и явлений путем сравнивания их с известным образцом до самостоятельного составления программ действий в принципиально новых ситуациях. Следует помнить, что степень сложности задания, предложенной для самостоятельной работы, должна отвечать учебным возможностям учащихся; переход с одного уровня самостоятельности на другой должен осуществляться постепенно, причем каждый предыдущий уровень следует расценивать как необходимую подготовку к последующему.

Содержание самостоятельно работы, форма и время ее выполнения должны отвечать основной цели обучения на данном этапе. Заметим, что злоупотребление самостоятельной работы в ходе учебного процесса может оказаться столь же вредным, как и ее недооценка.

При обучении математики на уроках и во внеурочное время применяются различные виды самостоятельных работ, которые организуются как во время индивидуальных, так и во время фронтальных или групповых занятий [3].

Важную роль в обучении играет организация самостоятельной деятельности школьников в процессе изучения теоретического материала. В последнее время все чаще на уроках можно видеть самостоятельную работу учащихся с текстом учебника. Учащиеся составляют краткий конспект самостоятельно разобранного теоретического материала, ищут в нем ответы на заранее поставленные вопросы, составляю план доказательства. Учащимся старших классов предлагается обобщить, систематизировать, установить связь теоретических сведений разных разделов. Нередко учителя используют такие формы работы, как подготовка докладов (индивидуальных и коллективных) по заданной тематике, рецензирование и оценивание ответов товарищей. Эффективность всех указанных видов работ в значительной степени зависит от продуманной и умелой организации деятельности учителя. Именно учитель помогает учащимся осознать цель работы и способы ее выполнения, дает им советы и рекомендации, т.е. учит их самостоятельно воспринимать информацию. Именно учитель ставит перед учащимися контрольные вопросы и задания, проверяющие степень осознанности воспринятой информации и одновременно приучает школьников к навыкам самоконтроля. Такая работа учителя способствует формированию специфических для математики приемов познавательной деятельности учащихся [11].

Наиболее естественным и эффективным видом самостоятельной деятельности учащихся при обучении математике, в частности при обучении алгебре, является выполнение упражнений. Особенно ценно, когда упражнения в ходе учебного процесса предлагаются в виде продуманной системы, позволяющей учитывать индивидуальные возможности учащихся. Выше мы говорили о методических требованиях к построению системы упражнений, направленных на организацию учебной деятельности при обучении алгебре. Теперь мы рассмотрим виды упражнений в соответствии с требуемым для их выполнения  предполагаемым уровнем самостоятельной деятельности учащихся [4], [5].

I.2. Виды заданий, предлагаемые для самостоятельной работы при обучении алгебре

Рассмотрим различные виды заданий, с которыми сталкиваются ученики при самостоятельной работе. Выделим три вида заданий: репродуктивные, реконструктивные и вариативные.

Задания репродуктивного типа выполняются учащимися на основе образца или подробной инструкции, на основе известных формул и теорем. К репродуктивным заданиям относятся задания на воспроизведение или непосредственное применение теорем, определений, свойств тех или иных математических объектов. К этому же виду относятся задания на решение задач по известным формулам, например, нахождение процента числа, пули по скорости и времени и другие, и задания на непосредственное применение формул, если для их выполнения  не требуется привлечение ранее изученного материала. Так, задание «представьте в виде многочлена выражение (2 - а)2 » - репродуктивного характера, а задание «представьте в виде многочлена выражение (а - 2)(а + 2) – (2 - а)2 » - не является репродуктивным.

К репродуктивным относятся также задания на распознание различных объектов, свойств различных объектов. Примером могут служить такие задания: «Из следующих выражений выпишите дроби», «Какие из следующих графиков являются графиками прямой пропорциональности?», «Какие из следующих уравнений являются квадратными?».

Репродуктивные задания позволяют выработать основные умения и навыки, необходимые для изучения математики.

При выполнении репродуктивных заданий деятельность учащихся протекает в форме простого воспроизведения изученного. Задания репродуктивного типа мало способствуют развитию мышления учащихся, однако, они необходимы, та как такие задания создают базу для дальнейшего изучения математики и таким образом способствуют выполнению заданий более высокого уровня воспроизводящей деятельности.

Реконструктивные задания указывают только на общий принцип решения, например, «Решите графическое неравенство», или на соотнесение к тому или иному материалу, например: «Решите задачу с составлением системы уравнений». Выполнение таких заданий возможно только после того, как ученик сам реконструирует их соотнесет с несколькими репродуктивными. К такого рода заданиям можно отнести задания на построение графиков, когда ученику, знающему общий метод построения графиков необходимо проанализировать свойство конкретной функции и для нее выбрать наиболее удобный метод построения.

К такого же рода заданиям относятся задачи на составление уравнений. При решении этих задач ученику необходимо словесную формулировку задачи перевести на язык алгебры.

К реконструктивным необходимо отнести и задания, при выполнении которых учащимся приходиться использовать несколько алгоритмов, формул, теорем, если все эти формулы, тождества, алгоритмы даны в явном виде, например такое задание: «Представьте в виде многочлена выражение  (а - 2)(а + 2) – (а - 2)2».

Все эти задания характерны тем, что, приступая к их выполнению, ученик должен проанализировать возможные общие пути решения задачи, отыскать характерные признаки объекта, использовать несколько репродуктивных задач.

Необходимо отметить, что познавательная деятельность ученика при выполнении  этих заданий в основном не выходит за рамки преобразующего воспроизведения знаний, но она неизбежно сопровождается уже некоторым обобщением.

Реконструктивные задания наиболее распространенный вид заданий, используемый на всех этапах учебного процесса.

Более высоким уровнем воспроизводящей деятельности и переходом ее в творческую деятельность характеризуются задания вариативного характера. При выполнении их ученику необходимо из всего арсенала математических знаний отобрать нужные для решения данной задачи, воспользоваться интуицией, найти выход из нестандартной ситуации.

К такого рода задания относятся так называемые задачи «на сообразительность», задачи «с изюминкой», (многие задачи на доказательство), когда нет жесткого алгоритма доказательства, а также задачи, для решения которых необходимо создание новых алгоритмов решения, например: «Вставьте пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество а2 + 6ab + … = (… + …)2». К вариативным относятся задания на составление различных задач. Чтобы развивать мышление учащихся, формировать у них различные виды деятельности на всех этапах обучения математике, необходимо использовать различные виды заданий [4].

I.3. Роль письменных самостоятельных работ в организации самостоятельной деятельности учащихся при обучении алгебре

Письменные самостоятельные работы играют важную роль в усвоении учащимися курса алгебры и геометрии. Рассмотрим письменную самостоятельную работу как один из способов организации самостоятельной деятельности учащихся. Такие работы предполагают большую самостоятельность учащихся, при фронтальном проведении их выявляется уровень общей подготовки класса и каждого ученика в отдельности. В сравнении с другими формами организации деятельности учащихся письменная работа отличается индивидуальным характером выполнения заданий, трудностью для многих учащихся письменной формы выражения знаний. По целям проведения письменные самостоятельные работы подразделяются на обучающие и контролирующие. Конечно, такое деление условно, поскольку любая письменная работа является для учителя и средством обучения и средством контроля. В тоже время каждый учитель всегда знает основную цель проводимой работы. При проведении письменных контрольных работ в классе самостоятельность учащихся обеспечивается вариативностью заданий и контролем учителя.

В целях сокращения времени для выполнения некоторых видов письменных контрольных работ получила распространение работа в тетрадях на печатной основе.

Большую помощь в организации самостоятельной деятельности учащихся оказывают дидактические материалы.

Дидактические материалы содержат самостоятельные и контрольные работы. При этом самостоятельные работы имеют целью оказать помощь учителю в формировании и развитии умений и навыков учащихся, в приложении теоретических знаний на практике. Контрольные работы предназначены для выявления знаний учащихся по каждой теме или между существенными частями темы.

Такое деление письменных самостоятельных работ, конечно, правомерно, но на мой взгляд недостаточно полно.

Учителю иногда приходится дополнять существующую в дидактических материалах систему письменных самостоятельных работ или составлять собственную. При этом учителю следует руководствоваться следующими требованиями к составлению любой системы письменных работ.

Прежде всего, система письменных работ, с одной стороны должна обеспечивать усвоение необходимых знаний и умений и, с другой стороны их проверку.

Система заданий должна быть полной, то есть отражать все основные понятия, предусмотренные программой, связи между понятиями различных тем и внутри тем.

Задания в письменных самостоятельных работах должны быть различными по характеру воспроизводящей деятельности ученика. В работы необходимо включать задания репродуктивного, реконструктивного и вариативного характера.

Система письменных самостоятельных работ должна обеспечивать повторяемость одних и тех же вопросов в различных ситуациях: при формировании знаний и навыков, при проверке на разных этапах. В задания для самостоятельной работы необходимо включать прямые и обратные задачи на изученный материал.

Формулировки заданий в самостоятельных работах должны быть четкими, определенными, понятными, не допускающими двоякого толкования [5].

2. ОБУЧАЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

II.1. Работы по формированию знаний

Обучающие самостоятельные работы разделим на две группы: работы по формированию знаний и работы по формированию умений. Естественно, что такая градация условна, поскольку само по себе знание какого либо факта или определения, не подкрепленное способностью его применить не может привести к успеху. Поэтому в каждой из групп обучающих работ не зависимо друг от друга будет происходить формирование знаний и умений. Тем не менее, цель, которую определил учитель для себя при составлении работы, будет определять ее назначение.

Работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания. При этом, как и при составлении упражнений, в указанные периоды изучения материала необходимо создавать условия для активного восприятия учащимися нового материала, которое позволяет учащимся осознать и прочно запомнить новые сведения: термины и символы, формулировки определений и теорем, последовательность действий.

Цель работ по формированию знаний состоит в том, чтобы в процессе самостоятельной деятельности учащихся довести до сознания ученика содержание нового понятия, раскрыть его необходимые признаки, показать связь с ранее известными понятиями. Эти работы проводятся при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового материала.

Чтобы новые знания стали достоянием ученика, чтобы он мог свободно ими оперировать, они должны быть не только поняты, но и прочно закреплены в сознании и памяти. Из особенностей первичного закрепления знаний вытекают некоторые особенности обучающих работ, проводимых на этапе отработки знаний и навыков. Знания учащихся еще не прочные, есть некоторая неясность мысли, нечеткость и неточность в их воспроизведении. Поэтому работы необходимо строить так, чтобы в процессе их выполнения ученик узнавал новые понятия среди множеств уже известных понятий, воспроизводил определения, рассмотренные свойства математических объектов, доказывал теоремы, применял новые методы решения задач и т.д.

Естественно, что при составлении таких работ необходимо учитывать те же факторы, что и при определении системы упражнений на этапе формирования нового содержания. Подобранные в работе задания должны способствовать усвоению термина, символа, определения; созданию правильного соотношения между внутренним содержанием понятия и его внешним выражением правильных представлений об объеме понятия. В этих же работах можно и нужно давать задания на умение применять понятие в простейших, но характерных ситуациях, т. е.  задачи на прямое применение изучаемого материала. Задания в работах по формированию знаний, как  правило,  должны быть репродуктивного характера. Однако возможно включение заданий вариативного характера. Например, на составление задач. Это обогатит работу и даст возможность ученику проявить свои математические способности. Но необходимо помнить, что такого рода задания являются нелегкими.

При выполнении этих работ деятельность ученика элементарна: происходит простое воспроизведение изученного материала. Однако эти работы способствуют накоплению опорных фактов, так необходимых в дальнейшем изучении математики, осознанию и прочному запоминанию новых сведений.

На начальном этапе формирования знаний можно разрешать учащимся пользоваться учебником, записями в тетради, таблицами, справочными пособиями, плакатами и т. д.

Поскольку самостоятельные работы по формированию знаний проводятся сразу после объяснения нового материала, то их проверка сразу своевременно дает учителю картину понимания учащимися, нового материала на самом раннем этапе его  изучения.

Приведем пример работы на формирование понятия арифметического корня. В эту работу следует включить задания, при выполнении которого ученики столкнутся с необходимостью «проговорить» определение арифметического квадратного корня, что очень важно для его понимания. Кроме того, целесообразно дать задание, в котором среди множества выражений ученик должен выбрать арифметический корень.

В соответствии с этим можно предложить, например, такую работу:

1. Вставьте пропущенные слова:

1) Число 5 является арифметическим квадратным корнем числа 25, так как число 5  … 0 и квадрат … равен …

2) Число 12 … арифметическим квадратным корнем числа 144, так как число 12 … 0 и квадрат его …

3) Число -3 … арифметическим квадратным корнем числа 9, так как число -3 …0

4) Число 0,3 … арифметическим квадратным корнем числа 0,9, так как квадрат числа 0,3 … 0,9.

2. Верно ли, что:

а) √ 25 = 5;          в) √ -16 = -4;      д) √ 9 = -3

б) -√ 25 = -5;        г) √ 9 = 3;           е) -√ 9 = -3?

3. Запишите с помощью знака √ арифметические квадратные корни из трех различных чисел.

Заметим, что такие задания гораздо полезнее, чем, например, задание: «напишите определение арифметического корня», так как пи их выполнении требуется не запоминание определения, а его применение.

Приведем еще пример обучающей работы, которую можно провести при изучении учащимися формулы корней квадратного уравнения.

Для того чтобы правильно пользоваться формулой корней квадратного уравнения, учащиеся должны уметь выделять квадратные уравнения среди других, уметь приводить уравнения к виду ax2 + bx + c = 0, находить дискриминант квадратного уравнения. Задача предстоящей работы – акцентировать внимание учащихся на всех компонентах формулы корней квадратного уравнения. В соответствии с этими соображениями можно дать такую работу [7]:

1.Зная, что квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, а = 0, определите, какие из следующих уравнений: 1) являются квадратными; 2) могут быть приведены к квадратному уравнению; 3) являются неполными квадратными уравнениями:

а) 5x2 – 7x + 12= 0;    в) 2x – 3 = 7x;     д) x(x-3) = 6;

б) 3x + 6 = 3x2;        г) x – 5 = x2;           е) x2 – 6x = 0.

2. Приведите уравнение к виду ax2 + bx + c = 0 и определите коэффициенты a, b, c:

а) 7x2 – 3 = 2x;                 в) 4x2 – 6x = 5;    

б) 3x2 – 6x = 2x + 5;        г) 2x(x + 4) = x2 - 6          

II.2. Работы по формированию умений

Работы по формированию умений проводятся на этапе закрепления знаний. При этом ,как упоминалась на этапе закрепления учащимися знаний в ходе применения их в основных, наиболее характерных случаях.

Цель работ по формированию умений состоит в том, чтобы в процессе самостоятельной деятельности совершенствовались приобретенные учащимися навыки выполнения тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств, различного рода задач, навыки построения графиков различных функций. Эти работы могут проводиться практически на каждом уроке.

Осуществляя подбор заданий для работ по формированию умений, следует учитывать требования к системе упражнений, направленной на формирование умения применить тот или иной прием.

При составлении заданий для таких работ следует исходить из принципа от простого к сложному. Содержание и порядок вопросов и заданий в работе должны определять течение мысли учащегося, фиксировать внимание на трудных моментах, вырабатывать логику суждений. Каждое предыдущее задание должно помогать выполнять последующее, а последующее - готовить к восприятию новых заданий и закрепить предыдущие. Упражнения, следующие одно за другим, должны в принципиальном отношении незначительно отличаться друг от друга. Это отличие может заключаться в весьма небольшом изменении слов.

Например, рассмотрим задание: используя формулы сокращенного умножения, преобразуйте выражения [6]:

а) (а + в)(а - в);                   в) 100 - х2;

б) (4а - х2)(4а + х2);            г) 16а2 - в2

Для выполнения задания  а) достаточно вспомнить тождество (а + в)(а - в) = а2 - в2. Выполнение первого задания поможет ученику выполнить следующее, в котором, помимо знания тождества (а+в)(а-в)=а2 - в2, необходимо уметь возводить в квадрат одночлены. Для выполнения следующего задания нужно воспользоваться тем же тождеством, поменяв в нем местами левую и правую части. Задание г) будет успешно выполнено, если последовательно выполнялись все предыдущие. Предъявление заданий в такой последовательности вряд ли вызовет затруднения у учащихся.

Следует помнить, что однотипность в подборе упражнений, особенно на первом этапе отработки знаний и навыков, влечет формирование у учащихся неверных ассоциаций, которые служат источником образования устойчивых ошибок. Например, если ученику будет предложена следующая работа: Разложите на множители выражение:

а) а3 - в3                    б) 8 + а3

в) 27 - х3                   г) 125а3 - в3

то вполне возможно, что ученик, запомнив неверные знаки, например, в разложении а3 - в3 = (а-в)(а2+ав+в2), не сможет в такого рода работе увидеть свою ошибку. И данная работа закрепит эту ошибку.

         Лучше, если при отработке навыка использования формулы а3 - в3 = (а - в) (а2 + ав + в2), учитель даст, например, такие задания:

          1. а) (а - в)(а2 + ав + в2);              в) (а - 2)(а2 + 2а + 4);

            в) (х + у)(х2 + ху + у2);           г) (х + 2)(х2 - 2х + 4).

           2.Какие из равенств являются тождествами:

            а) х3 - у3 = (х - у)(х2- ху + у2);

            б) а3 + 8 = (а2 - 2а + 4);

            в) х3 + 125 = (х2 + 5х + 25);

             г) а3 – 27 = (а - 3)(а2 + 3а + 9)?

           3.Разложите на множители выражение:

           а) 8 - а3;       б) 125а3 - у3;      в) в3 + 0,125с3  [6].

          Выполняя первое задание, учащиеся фактически несколько раз доказывают изучаемую формулу, а в третьем задании они ее используют. Такое построение работы создает меньше опасности для образования устойчивых ошибок при отработке данного материала.

          Учитель, приступая к составлению заданий, должен  поставить перед собой следующие вопросы: чему научится ученик после завершения этой работы? На какие вопросы будет уметь отвечать? Какие навыки приобретет? Работы данного типа должны состоять из небольшого числа заданий репродуктивного и реконструктивного характера, направленных на отработку новых приемов выполнения тождественных преобразований, различных методов рассуждения, на решение задач и т.д.

Таким образом, работы по формированию умений хотя и имеют много общего с работами по формированию знаний, но отличаются от них степенью сложности и тем, что они требуют от ученика более высокого уровня мыслительной деятельности. При выполнении этих работ учащимся необходима помощь учителя. Выявив потенциальные ошибки, учитель работает со слабоуспевающими учащимися, помогая им, отвечая на их вопросы, обращая трудные моменты в работе.

Несомненно, важным для учителя является вопрос о необходимом числе тех или иных обучающих работ. Непосредственным ориентиром в составлении системы работ служит учебник, где задан порядок изучения материала.

Приведем пример системы обучающих работ по теме «Степень и ее свойства» [6].

1. Представьте в виде произведения одинаковых множителей:

а) m3;      б) (ab)4;   в) (-c)3;    г) 1 ∕ 16.

2. Представьте в виде степени произведение:

а) bbbb;                  в) (-7a)(-7a)(-7a);

          б) xyxxyy;              г) (x +y)(x +y)(x +y)(x +y)

           3. Назовите показатель и  основание степени:

           а) m3 ;                 б) (4x)5;               в) (x +y)12.

3. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

III.1. Требования к контролю знаний учащихся

Важным и чрезвычайно тонким моментом учебно-воспитательного процесса как для учителя, так и для ученика является контроль за знаниями учащихся.

В общепринятом понимании контроль означает проверку, систематический учет успеваемости детей. Контроль является составной частью процесса обучения и обеспечивает получение учителем информации о ходе  познавательной деятельности учащихся в процессе обучения, а также получение информации самими учениками о своих успехах. Контроль за знаниями учащихся имеет обучающее и воспитывающее значение, способствует более глубокому изучению учащимися основ наук, совершенствованию их знаний и умений, развитию их умений и навыков.

Отечественная дидактика и методическая наука выдвигает требования к контролю. Например, дидакт Н.А. Сорокин [9] формулирует следующие педагогические требования к контролю, на мой взгляд, полные, педагогически оправданные, которыми и следует руководствоваться:

1. Контроль должен носить индивидуальный характер, предусматривающий проверку и оценку знаний, умений и навыков каждого ученика в отдельности, по результатам его личной учебной деятельности, не допускать подмены результата учения отдельных учащихся итогами работы класса или группы учащихся.
2. Систематичность, означающая регулярность проведения контроля успеваемости учащихся на протяжении всего процесса обучения, сочетания его с другими сторонами учебной работы и положительное влияние на весь ход учения школьников.
3. Разнообразие форм проведения, способствующие выполнению обучающей и воспитывающей функции контроля успеваемости, повышению интереса учащихся к его проведению и результатам.
4. Всесторонность, охватывающая все разделы учебных программ, знания теоретических положений, практические умения и навыки учащихся.
5. Объективность, исключающая преднамеренные, субъективные и ошибочные суждения и выводы учителя, основанные на недостаточном изучении учащихся или предвзятом отношении к ним и искажающие действительное состояние успеваемости.
6. Дифференцированный подход, предполагающий учет специфических особенностей предмета и отдельных его разделов, применение различной методики учета успеваемости.
7. Единство требований учителей, осуществляющих контроль успеваемости учащихся в данном классе.

III.2. Проверочные самостоятельные работы

Остановимся на методике составления контролирующих самостоятельных работ.

После того как материал хорошо усвоен и учащиеся без особых затруднений справляются с самостоятельными работами обучающего характера, необходимо проверить и оценить приобретенные ими знания. Контролирующие работы целесообразно проводить после логически завершенных циклов учебного материала, что дает возможность проверить степень усвоения материала учащимися в каждом из этих циклов.

В соответствии с упомянутым дидактическим требованием к контролю форма контроля и структура заданий определяются целью и характером знаний, которые должны быть достигнуты учащимися.

Письменную проверку знаний и умений учащихся необходимо проводить на различных этапах усвоения изученного, что даст возможность несколько раз получить информацию об усвоении одного и того же материала. С этой целью целесообразно проводить различного рода контролирующие работы. Их можно разделить на следующие виды: проверочные, контрольные, обзорные и итоговые.

Каждый из видов контролирующих работ имеет свои особенности, свои цели, и, следовательно, требования,  предъявляемые к составлению этих работ, должны быть различны.

Проверочные самостоятельные работы предназначены для контроля усвоения отдельного фрагмента курса в период изучения темы. Они рассчитаны на 10-15мин. Такие работы необходимы как ученику, так и учителю. При их  выполнении учитель своевременно получает информацию о том, как усваивается тема, что позволяет ему вовремя выявить ошибки, обнаружить плохо усвоивших тот или иной материал и в зависимости от этого строить работу по изучению данной темы. Учащиеся же получают дополнительную практику в самостоятельном решении задач и тем самым готовятся к контрольной работе по данной теме.

Поскольку проверочные работы проводятся после обработки основных умений и навыков, то нет необходимости включать в эти работы задания только репродуктивного характера. Основа проверочных работ - задания реконструктивного. В то же время в проверочные работы не следует включать задания сложнее тех, которые выполнялись учащимися на уроках  и дома. Порядок расположения заданий в проверочных работах не играет такой роли, как в обучающих, так как проверяемые знания и навыки обработаны.

Покажем, например, как может быть построена система проверочных работ по теме  Арифметическая прогрессия в классе. Разовьем эту тему на три  логически  законченных фрагмента:

1.Определение арифметической прогрессии.

2.Формула n-го члена арифметической прогрессии.

3.Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

По каждому составим проверочную самостоятельную работу.

К моменту проведения первой проверочной работы учащимся знакомо определение арифметической прогрессии, понятии разности арифметической прогрессии. Естественно проверить оба эти понятия, прежде чем приступать к изучению последующего материала.

Первое задание работы должно быть простым, для его выполнения необходимо знания изученных понятий.

Второе задание может быть несколько сложнее, но его направленность та же знание определения арифметической прогрессии.

Первой проверочной работой может быть такая [8]:

1. Арифметическая прогрессия задана двумя первыми членами: 2,4; 0,5; … Найдите разность прогрессии и напишите следующие четыре ее члена.

2. В записи конечной арифметической прогрессии  (an): a1; 8,9; a3; 7,2; a4; a5  неизвестны некоторые члены. Найдите их.

После изучения следующего фрагмента учащиеся знают формулу n члена арифметической прогрессии, знают, что арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

Здесь возможна следующая проверочная работа [8]:

1. Известны первый член и разность арифметической прогрессии (xn):

x1 = -1,3 и  d = 0,45. Найдите : а) x37; б) xk+2

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если

a5 + a11 = 62,

a4 – a1 = 12

3. Постройте график арифметической прогрессии (yn), у которой: y1 = 3; d = 0,5 и 1≤n≤6. Запишите уравнение прямой, которой принадлежат точки графика прогрессии.

Третья проверочная работа проводится после рассмотрения формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Основная задача предстоящей работы - проверить знание формулы суммы. Учащимся известны формулы суммы: формула, в которой сумма n первых членов выражается через первый член, n-й член и число членов, и другая формула, где сумма n первых членов арифметической прогрессии выражается через первый член, разность прогрессии и число ее членов. В работу необходимо включать такие задания, в результате выполнения которых учащиеся должны продемонстрировать знание и той, и другой изученных формул.

 Может быть предложена следующая работа [8]:

1. Найдите сумму 30 первых членов арифметической прогрессии (cn),  если c1 = 11 и  c30 = 27.

2. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии (an), у которой a1=100, d = -10.

3. Последовательность (yn) - арифметическая прогрессия. Докажите,  что y1 + y16 = y10 + y7.

4. Известно, что сумма первых шести членов арифметической прогрессии (yn) равна 180, а сумма ее первых восьми членов равна 320. Найдите разность и первый член прогрессии.

III.3. Контрольные самостоятельные работы

Цель контрольных работ - проверить усвоение темы по окончании  ее изучения. Они проводятся реже, чем проверочные, и охватывают больший материал. В отличии от проверочных, контрольные работы предусматривают проверку совокупности навыков.

Контрольные работы рассчитаны, как правило, на 45 мин.

При составлении контрольных работ необходимо помнить, что в результате работы должен быть проверен обязательный для усвоения материал, причем на том уровне сложности, которого требует программа.

Как и в проверочную, контрольную работу должны войти в основном задания реконструктивного характера. Но содержание заданий в контрольных работах становится богаче, появляются упражнения, предусматривающие проверку нескольких навыков. Тем не менее, задания в контрольных работах не должны быть сложнее тех, которые были решены учащимися на уроках и дома.

Все задания уже подготовлены проверочными работами. На контрольной работе учащиеся вновь встречаются с теми же заданиями, но и иной ситуации. Подготовка к  контрольной работе с помощью системы проверочных работ нисколько не похожа на репетицию, которую еще не редко проводят перед контрольной работой, давая идентичную работу и детально разбирая ее. Этим наносится прежде всего вред морально-этическому воспитанию ребенка. Да и математическому образованию пользы от этого мало. За один урок невозможно глубоко осознать весь круг проверяемых вопросов. В этом случае работает только память учащихся, а математическая сущность вопросов ими не осознается. Знания и навыки, проверяемые в работе, не становятся достоянием ученика и очень быстро утрачиваются.

Руководствуясь требованием дифференцированности контроля, полезно включить в контрольную работу задание повышенной трудности, выполнение которого требует от ученика сообразительности. Это приучает учащихся к творческому подходу, воспитывает умение применять знания в нестандартной ситуации, вызывает интерес к предмету, дает возможность проявить ученику математические способности, а учителю получить информацию о возможностях его учеников.

Но следует помнить, что, если эти задания не являются обязательными, не соответствует разделу программы. Требования к математической подготовке, то оцениваться неудовлетворительной оценкой они не должны.

Что же должно войти в контрольную работу, например, по теме. Система линейных неравенств курса алгебры седьмого класса?

Основной навык, который должен быть прочно сформирован при изучении этой темы,- это навык решения простейших систем двух линейных неравенств. И хотя соответствующие задания, безусловно, включались в проверочные работы, они должны быть предъявлены учащимся и на этапе контроля по теме.

Кроме того, в работу должны быть включены системы неравенств, в ходе решения которых учащимся придется выполнять некоторые тождественные преобразования. Эти преобразования не должны быть чрезмерно сложными и громоздкими, так как в противном случае задания не будут отвечать основной цели контроля - проверке умения решать системы линейных неравенств [4].

Наконец, в работу могут быть включены задания, для выполнения которых требуется умение решать системы линейных неравенств.

В результате может быть предъявлена следующая работа [8]:

1.Решите систему неравенств:

а)        3x < 5            б)   10x ≤ 14      в)          -5x < 0

        0,15x > -3         -3x ≥ 6        ½ x ≥ -1.

2. Найдите множество решений системы неравенств:

а)        10 – 4x ≤  17 – 5x            б)      1 – 3(x – 1) .> -2    

        7 – 5x ≤ 11 - 3x                                      6 ≤ x2 – x(x - 8).

3. При каких значениях x каждая из функций  y = -x + 4  и  y = ½ x + 6 принимает положительные значения?

4. Дополнительное задание. Решите систему неравенств:

а)        12 – 4x < 6 – 4(x + 1)                б)        y2 + 2 ≥  0

        0,6x > -2                                                   y + 2 ≥  0 .                    

III.4. Обзорные самостоятельные работы

Один из дидактических принципов обучения  - принцип прочности знаний – требует, чтобы у учащихся сохранились на долгое время систематизированные знания и умения. В соответствии с этим принципом необходимо неоднократно возвращаться к изученному материалу.

В процессе изучения некоторых разделов курса учитель проводит несколько контрольных работ, дающих представление об усвоении отдельных тем, входящих в этот раздел. Однако после завершения изучения раздела целесообразно проверить его усвоение в целом. Для этой цели проводится обзорная работа. Такая работа позволяет учащимся повторить материал, систематизировать знания, установить связи между изученными вопросами.

Но как проверить знания учащихся по большому разделу программы, например, по такому, как неравенства, дроби и др.? Для этого необходимо определить, какие основные понятия должен усвоить ученик при прохождении этого раздела, какие умения приобрести, какие задания уметь выполнять, каков уровень сложности этих заданий. В данную работу следует включать задания на все выделенные умения и навыки, причем на различных уровнях сложности. При этом не должно быть заданий, отягощенных сложными тождественными преобразованиями, трудоемкой вычислительной работой, требующих на свое выполнение много времени. Задания должны быть четкими, конкретными, понятными. Сюда входят вопросы по проверке изученных определений, теорем, задачи на решение несложных задач. Основу обзорных работ составляют задания репродуктивного характера.

Составленная таким образом работа дает возможность учителю проверить усвоение узловых вопросов всего раздела.

Обзорная работа, например, по разделу «Многочлены». В усвоении этого раздела большую роль играют формально-оперативные навыки. Что же должны знать и уметь учащиеся после рассмотрения этой темы? Каков тот минимум, который обеспечивает уверенное овладение последующим курсом?

Задача данного раздела научить учащихся преобразовывать целые выражения. Учащиеся знакомятся с действиями над многочленами, с разложением многочлена множители, способом вынесения общего множителя за скобки, способом группировки. Естественно в работу должны войти задания на перечисленные преобразования. В процессе изучения раздела «Многочлены» учащиеся выполняют задания, где для получения ответа требуется применить полученные знания. Поэтому целесообразно включить, например, задания на решение уравнений, на вычисление значений выражения.  Не следует включать задания, требующие громоздких преобразований.

Может быть предложена следующая работа [6]:

1. Приведите пример одночлена стандартного вида.
2. Приведите выражение к многочлену стандартного вида:

а)  (3m2 – 11m + 4) – (6m2 – 2m - 3);         в) (x + 5)(2x2 - 2) – 10x2;

б)  3x2(2x + 5) - 7x ;                                    г) 2x2 – 3x(7 - x).

3. При каком значении k выражение  2x(x2 + 7) – 2(x + 1) – 4x тождественно равно выражению (2x - 3)(x2 + 4) + 3x2 + k?

4. Разложите множители выражение:

а)  6x3 – 12x12 + 18x;         б)  a2 + a – 3a -3.

5. Найдите значение выражения   ½ a2b2(4a3b – a3b2) + 0,5a5b6   при a = 1; b = -2.

6. Решите уравнение

2(x + 2/3) – 1/3 = 6(3x – 2/3).

Составленная таким образом работа дает возможность посмотреть на изученный материал не фрагментарно, а в комплексе.

III.5. Итоговые самостоятельные работы

Важным моментом в методике обучение математике является организация повторения. Повторение ранее изученного материала в связи с его использованием при изучении нового материала является наиболее распространенным видом повторения. В преподавании математики необходимо применять и другие виды повторения, в частности обзорное и итоговое повторение темы, раздела, курса. Такого рода повторение дает возможность показать учащимся развитие изученных понятий, связь между изученными понятиями, осветить ранее изученный материал с новой точки зрения или на новом, более высоком научном уровне.

Завершающим моментом повторения в конце года может явиться проведение итоговых самостоятельных работ. Такие работы целесообразно составить по основным содержательным линиям учебного курса [2].

В итоговые работы следует включать задания репродуктивного и реконструктивного характера, при этом задания должны проверять основные умения и навыки. Необходимым компонентом этих работ служат задания  на повторение основных теоретических вопросов: воспроизведение определений, свойств математических объектов, доказательство теорем и др.

Большое значение в курсе VIII класса уделяется решению квадратных уравнений. И в самостоятельной итоговой работе этому моменту необходимо уделить серьезное  внимание. В работе должно быть квадратное уравнение, имеющее два корня, уравнение, не имеющее корней, и уравнение, при решении которого учащиеся могут продемонстрировать знание формул корней с четным коэффициентом.

Один из основных навыков, которым должны овладеть ученики, - это навык решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби. Включение в работу такого типа уравнений необходимо.

Какие теоретические вопросы следует проверить на данном этапе? По-видимому, целесообразно проверить знание формулы корней квадратного уравнения и, может быть, вывод этой формулы. Вероятно, следует дать несложное задание на исследование квадратного уравнения и проверить знание приема, с помощью которого решаются уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби.

В то же время в работу такого вида не следует включать задания, требующие громоздких тождественных преобразований. Ведь цель этой работы – проверить умение решать различного рода уравнения, умение пользоваться формулами для решения уравнений. И в работе по теме «Тождественные преобразования выражений» можно проверить необходимые навыки по преобразованию многочленов, дробей [4].

В результате можно дать такую работу [7]:

1. Приведите пример полного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Напишите формулы корней квадратного уравнения.

2. Найдите корни уравнения:

а)   (2a+15)(a-7)=0                    б) 6x2+5x-4=0              

в) 3a2+9 =0

г) 0,3x2-1,5x=0

 3. При каком значении h  уравнение 2x2+4x+h=0 имеет два корня; один корень, не имеет корней?

Итоговые работы, составленные по линиям курса, дают возможность ученику сосредоточиться на одном вопросе, например решении уравнений, и в тоже время повторить все смежные вопросы, связанные с решением уравнений. Если учитель найдет время провести все итоговые работы, то тем самым в результате их выполнения учащиеся повторят весь материал и продемонстрируют  основные знания и умения, приобретенные в период изучения математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодаря выполнению этой работы я поняла, что эффективность процесса обучения зависит от многих факторов. И одним из таких важных факторов является самостоятельная работа учащихся. Ведь проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной. Ее решение важно еще с той точки зрения, что для овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся.

      И в своей работе я остановилась лишь на некоторых приемах способствующих успешному усвоению учебного материала благодаря самостоятельной работе.

      Ведь детям важно не только дать твердые знания, но и научить их самостоятельно применять свои знания на практике при изучении математики.

      И в своей работе я осветила, как при помощи самостоятельной работы можно активизировать процесс обучения учащихся. И результаты исследовательской работы проведенной мной, показали, как самостоятельная работа учащихся влияет на процесс усвоения знаний, а так же на стремление детей самостоятельно получать знания.

      И благодаря этой работе я думаю, что в дальнейшем я смогу применять их в своей практике и достичь более высоких результатов в обучении.

      Самостоятельная работа как метод обучения может использоваться на всех этапах процесса обучения математике. Но во всех случаях необходимо учить учащихся приемам самостоятельной работы.

Во всем многообразии ее видов самостоятельная работа учащихся не только способствует сознательному и прочному усвоению ими знаний, формированию умений и навыков, но и служит для них средством воспитания самостоятельности как черты личности, а в дальнейшем позволяет самостоятельно решать различные жизненные задачи.

Самостоятельная работа необходима для перевода знаний извне во внутреннее достояние учащихся, самостоятельная работа необходима для овладения этими знаниями, а также для осуществления контроля со стороны учителя за их усвоением.

Самостоятельные работы являются необходимым условием развития мышления учащихся, воспитания самостоятельности и познавательной активности учащихся, привития навыков учебного труда.

Самостоятельная работа может входить во все методы обучения, применяться на разных этапах обучения для достижения различных целей.

Результативность самостоятельной работы определяется четкой её постановкой и систематичностью. Важным при этом является возбуждение интереса к ней, использование методов стимулирования познавательной деятельности (положительное подкрепление, поощрение, игра, небольшие дискуссии, соревнования) и организация контроля за самостоятельной работой учащихся и дифференциация.

Подводя итог сказанному можно сделать вывод, что важную роль в эффективности процесса обучения математике играет самостоятельная работа, как средство обучения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидова С.И., Денищева Л.О. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике (формирование умений самостоятельной работы): Сборник статей. – М.: Просвещение, 1985.
2. Из опыта преподавания математики в средней школе: Пособие для учителей. / Сост.: Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. – М.: Просвещение, 1979.
3. Кабельский Ю. Д. Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1998.
4. Леонтьева М.Р., Суворова С.Б. Упражнения в обучении алгебре: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1985. – 128 с.
5. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 7 класса. – Харьков: Гимназия, 2007.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 8 класса. – Харьков: Гимназия, 2008.
7. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 9 класса. – Харьков: Гимназия, 2001.