Банк олимпиадных заданий для самостоятельной подготовки учащихся - Математика 5 - 11 класс ответы
олимпиадные задания по алгебре (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) по теме

5 класс

Задача: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2.4,6,8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение:  24 трехзначных числа

Задача : Сегодня Сереже исполнилось 10 лет, а Вове – 1 год. Каков будет возраст Сережи, когда он станет втрое старше Вовы?

Решение: Серёже-15

Задача: Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Задача: Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Имеет ли задача однозначный ответ? Почему?

Решение: Таня

Задача:  Школьники  посадили вдоль дороги (по прямой) 25 деревьев. Расстояние между двумя любыми соседними деревьями одинаковое. Найдите это расстояние, если между крайними деревьями 600 дм.

Решение:  25 дм – расстояние между двумя любыми соседними деревьями.

        6 класс

Задача: В правление фирмы входят 9 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: 72 способа

Задача: Найдите пропущенное число:

Решение: 60- удвоенная сумма крайних чисел;  20- полусумма крайних чисел

Задача: Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Решение:  Да.

Задача : В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 суток и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются  в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Решение: НОК=60 суток

Задача : Немецкого учёного Карла Гаусса называли королём математиков. Однажды в школе (Гауссу тогда было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1до 100. пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

Решение:  5050.

5 класс

Задача 1. Ответ: 38 рублей.

Задача 2. Ответ. 8 внуков.

Задача 3. Ответ: 3 школьника

Задача 4. Решение.  Заметим, что числа, стоящие через две клетки, равны, так как они дают сумму равную 13 с числами в этих двух клетках (abcd, a+b+c=13=b+c+d).  Получаем, что автоматически расставляются числа:

Остальные числа выставляются, дополняя известные  до 13:

Задача 5. Ответ. Найдется.

6 класс.

Задача 1. Ответ. Решений нет.

Задача 2. Ответ. 10 км/ч

Задача 3. Ответ: 60. Решение: Прямоугольник можно разрезать на два равных по периметру прямоугольника только либо вдоль длины, либо вдоль  ширины. Если мы сложим обратно прямоугольники у Коли, то их общий периметр 100 будет складываться из периметра изначального прямоугольника плюс две длины: 100=П+2длины. А у Миши после разрезания – 80 = П + 2ширины. Если сложим эти два равенства, то получим, что 3П = 180. Отсюда П=60.

Задача 4. Ответ: Можно.

Задача 5. Ответ: Нельзя.

7 класс

Задача : Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя цифры 1,2,3,4,5 и не меняя порядок их следования

Решение:  100

Задача : На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Решение:  17.

Задача :   Из 35 учащихся класса 22 выписывают журнал, 27 – газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают и газету, и журнал?

Решение:

17 и газету и журнал

Задача :  Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких, что М N =2МL, если NL=10,5. сколько решений имеет задача?

Решение: 4

Задача : Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4?

Решение: 200.

8 класс

1.  

2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

Решение  Нет, так жить нельзя.

 3.  У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

        Решение.  5 кг.

      4.  Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

     5. Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие  варианты ответа невозможны.

Ответ: 6.

9 класс

1. Решить уравнение   ( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12

Решение.

Ответ: 0, -6,  -7, 1

       2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе — с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы? 
      Решение: нет.

       3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o . Найдите угол АВС . 

 Решение  Ответ 110o .

       4. Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем черных?

Ответ48 фишек.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

     Решение , у зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.

Муниципальный этап всерссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

10 класс

1. Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

Решение. Нет.

2. Докажите, что натуральные числа от 1 до n²  можно разбить на n групп по n чисел так, что суммы чисел в каждой группе будут одинаковыми (a) n=100, б) n=101) .

Решение.  Заполним таблицу n×n  числами 1,2,…,n следующим образом: на диагонали запишем единицы, правее её – двойки (одно число вылезет за пределы таблицы – перенесём его налево на n позиций), правее двоек – тройки (два числа передвинем на место), и т.д.. В результате получится таблица, в каждой строке и в каждом столбце которой каждое из чисел 1,2,…n встречается ровно один раз. Теперь увеличим числа второй строки на n, третьей строки – на 2n, и т.д. Получится таблица, содержащая все числа от 1 до n², с одинаковыми суммами чисел в столбцах.

Замечание. Возможны и другие решения.

3. В неравнобедренном треугольнике ABC (AB

Ответ: 20˚.

4. На доске написали в ряд (в порядке возрастания) все целые числа от 0 до 2014. Затем под каждой парой соседних чисел написали их сумму.  С полученной строчкой чисел проделали ту же операцию, и т.д.  – пока не получилась строчка из одного числа. Докажите, что это число делится на 2014.

Решение. Проведём через среднее число (это - 1007) вертикальную прямую. Заметим, что числа симметричные относительно этой прямой, при делении на 2014 дают «симметричные» (т.е., дополняющие друг друга до 2014) остатки. Значит, «симметричными» будут и числа следующей строки (содержащей четное количество чисел). Но тогда и числа следующей строки будут «симметричными», причем число в середине строки будет кратно 2014, и т.д. По индукции, получим требуемое.

Замечание.  Ссылка на принцип математической индукции – не обязательна: достаточно убедительных рассуждений.

5. В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1 до 64,причем каждое число встречается ровно один раз. Докажите, что найдутся две соседние (по стороне) клетки, числа в которых отличаются не менее, чем на 5.

Решение. Стартуем из клетки с числом 1, и пойдем по кратчайшему маршруту (из попарно соседних клеток) в клетку с числом 64: сначала сдвинемся по горизонтали в нужную вертикаль, а затем двинемся по вертикали. При этом будет сделано не более 7 (по горизонтали)+7 (по вертикали) =14 ходов. Если в соседних клетках числа отличаются не более чем на 4, то число в последней клетке маршрута будет не более 1 + 4∙14=57 < 64. Противоречие.

Оценивание. Полное решение – 7 баллов.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

11 класс

1. Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»:  игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий,  Петя – 17. Сколько партий сыграл  Вася?

Решение. Вася сыграл 9 партий.

2. Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Решение. Да

3. Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.

Решение. Косинус первого угла равен (по формуле дополнения) синусу суммы двух других углов, и, значит, больше синуса каждого из них. Складывая полученные неравенства, получим требуемое.

4. В окружности хорда PQ проходит через середину хорды AB,  и перпендикулярна диаметру AC. Найдите AB, если AP=1.

Решение.

AB²=2.

5. Фальшивомонетчик дядя Коля за 10  дней изготовил 2014 фальшивых пятитысячных монет.  Его внук Петя с целью оптимизации работы деда рассчитал   производительность труда (количество монет,  изготовленных за k подряд идущих дней,  деленное на k) для всех k = 1,2,…,10 и всех этапов производства.  Докажите, что произведение всех полученных Петей  45 чисел – целое число.

Решение. Подсчитаем, сколько монет изготовлено в первый день, сколько – за первые 2 дня, сколько – за первые 3 дня, и т.д., добавим к набору число 0 – всего получим 11 чисел. Рассмотрим также набор из чисел: 0,1,2,3,…,10.  Достаточно показать, что произведение всех попарных разностей первого набора делится на произведение всех попарных разностей второго набора.  Пусть s – натуральное, не превышающее 10. Разобьём все числа набора на кучки с одинаковыми остатками (при делении на s). Различных остатков – s,  так что получится всего  s кучек (некоторые, возможно, пустые). Разность двух чисел из одной кучки делится на s, из разных кучек – не делится. Поэтому количество попарных разностей набора, кратных  s, равно суммарному количеству пар из одной кучки. Заметим, что при насильственном перемещении числа из большей кучки в меньшую такая сумма уменьшается (если объёмы кучек различаются больше чем на 1). Поэтому такая сумма будет минимальной в случае, когда объемы всех кучек равны, или различаются не более чем на 1. Но именно такое разбиение на кучки и имеет место для второго набора чисел. Поэтому, для любого s, количество попарных разностей, кратных s, для первого набора не меньше, чем для второго.  Но 2 входит в произведение разностей в степени, равной: количество разностей, кратных 2, плюс количество разностей, кратных 4, плюс .... , и для первого набора все эти количества не меньше, чем для второго. То же самое верно и для любого простого p>2.  Поэтому произведение разностей первого набора делится на произведение разностей второго.