Банк олимпиадных заданий для самостоятельной подготовки учащихся - Математика 7 - 9класс
олимпиадные задания по алгебре (7, 8, 9 класс) на тему

7 класс

Задача 1: Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя цифры 1,2,3,4,5 и не меняя порядок их следования

Задача 2: На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Задача 3: Из 35 учащихся класса 22 выписывают журнал, 27 – газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают и газету, и журнал?

Задача 4: Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких, что МN= =2МL, если NL=10,5. сколько решений имеет задача?

Задача 5: Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

7 класс

1. Существуют ли такие целые числа  и , что ?
2. Таня выпила шестую часть чашки чёрного кофе и долила чашку доверху молоком. ЗатемТаня выпила треть чашки  и вновь долила  чашку  доверхумолоком. Потомона выпила половину чашки  и снова вновь долила  чашку  доверхумолоком. Наконец, Таня  выпила  всю  чашку. Чего же она  выпила  больше:  кофеили молока?

3.  В отаре 45 % баранов и 55 % овец. Средний вес овцы 81 кг. Определите,каков средний вес барана, если известно, что общий вес баранов составляет55% веса всей отары.

4.  Можно  ли разрезать треугольник на  четыре треугольника так,  чтобы никакиедва из них не имели общей стороны?

5. Назовём натуральное число отличным, если разность между его наибольшей  инаименьшей цифрами равна 5 (например, числа 72 и 405 – отличные). Найдитенаибольшее    количество    подряд    идущих   отличных   чисел.    (Приведитесоответствующий примеридокажите, что большего количества подряд идущих отличных чисел, чем  в вашем примере, быть не может.)

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

7 класс

1. Существуют ли такие целые числа  и , что ?
2. Таня выпила шестую часть чашки чёрного кофе и долила чашку доверху молоком. ЗатемТаня выпила треть чашки  и вновь долила  чашку  доверхумолоком. Потомона выпила половину чашки  и снова вновь долила  чашку  доверхумолоком. Наконец, Таня  выпила  всю  чашку. Чего же она  выпила  больше:  кофеили молока?

3.  В отаре 45 % баранов и 55 % овец. Средний вес овцы 81 кг. Определите, каков средний вес барана, если известно, что общий вес баранов составляет55 % веса всей отары.

4.  Можно  ли разрезать треугольник на  четыре треугольника так,  чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

5. Назовём натуральное число отличным, если разность между его наибольшей  и наименьшей цифрами равна 5 (например, числа 72 и 405 – отличные). Найдитенаибольшее    количество    подряд    идущих   отличных   чисел.    (Приведитесоответствующий примеридокажите, что большего количества подряд идущих отличных чисел, чем  в вашем примере, быть не может.)

8 класс

1. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

2.  У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

3.  Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

4. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

8 класс

1. Часы показывают  ровно  12 часов. Через какое  время  минутная стрелка снова догонит часовую стрелку?
2.  На столе  лежат  семь карточек. За один  ход  разрешается перевернуть любые пять. Какое наименьшее число ходов необходимо совершить, чтобы перевернуть все карточки? (Приведите соответствующий пример и докажите, что  за меньшее число ходов, чем в вашем примере, перевернуть все карточки не удастся.)
3.   Через  вершину  параллелограмма  проведена прямая, отсекающая-ю часть от стороны , считая от вершины Какую часть от диагонали отсекает та же прямая?
4.  Существуют ли такие целые числа  и , что
5.  На доске записано несколько чисел. Учитель попросил Мишу поделить каждое из чисел на сумму всех остальных. У Мити было другое задание: делить квадрат каждого числа на сумму остальных чисел. Сумма чисел, полученных Мишей, оказалась равной 1. Какой может быть сумма чисел, вычисленных Митей?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

8 класс

1. Часы показывают ровно 12 часов. Через какое время минутная стрелка снова догонит часовую стрелку?
2. На столе лежат семь карточек. За один ход разрешается перевернуть любые пять. Какое наименьшее число ходов необходимо совершить, чтобы перевернуть все карточки? (Приведите соответствующий пример и докажите, что за меньшее число ходов, чем в вашем примере, перевернуть все карточки не удастся.)
3. Через вершину  параллелограмма  проведена прямая,  отсекающая-ю часть от стороны , считая от вершины Какую часть от диагонали отсекает та же прямая?
4. Существуют ли такие целые числа  и , что
5. На доске записано несколько чисел. Учитель попросил Мишу поделить каждое из чисел на сумму всех остальных. У Мити было другое задание: делить квадрат каждого числа на сумму остальных чисел. Сумма чисел, полученных Мишей, оказалась равной 1. Какой может быть сумма чисел, вычисленных Митей?

9 класс

1. Решить уравнение   ( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12

 2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе — с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы? 
 3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o . Найдите угол АВС .

  4. Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем черных?

     5. Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие  варианты ответа невозможны.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

9 класс

1. Найдите сумму квадратов корней уравнения

2. С  натуральным числом разрешается  проделывать такие операции:

1) приписать в конце цифру 0;

2) приписать в конце цифру 4;

3) разделить на 2 (если число чётно).

Как из числа 2, выполнив несколько операций, получить число 2014?

3. Существуют ли такие целые числа  и , что ?
4. Дан четырёхугольник . Прямые  и  пересекаются в точке , а прямые  и  – в точке . Известно, что биссектрисы углов  и  перпендикулярны. Докажите, что вокругможно описать окружность.

5.  Имеются стакан, кружка и кофейник объёмом 200, 300 и 400 мл соответственно. В кружке 200 мл кофе и 6 г сахара, в кофейнике – 300 мл кофе и 12 г сахара. Стакан пуст. Можно ли с помощью переливаний добиться того, чтобы в кружке и кофейнике оказалось по 9 г сахара? (Дополнительных ёмкостей и средств измерений нет, объёмом сахара пренебречь.) 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

9 класс

1. Найдите сумму квадратов корней уравнения

2. С  натуральным числом разрешается  проделывать такие операции:

1) приписать в конце цифру 0;

2) приписать в конце цифру 4;

3) разделить на 2 (если число чётно).

Как из числа 2, выполнив несколько операций, получить число 2014?

3. Существуют ли такие целые числа  и , что ?
4. Дан четырёхугольник . Прямые  и  пересекаются в точке , а прямые  и  – в точке . Известно, что биссектрисы углов  и  перпендикулярны. Докажите, что вокругможно описать окружность.

5. Имеются стакан, кружка и кофейник объёмом 200, 300 и 400 мл соответственно. В кружке 200 мл кофе и 6 г сахара, в кофейнике – 300 мл кофе и 12 г сахара. Стакан пуст. Можно ли с помощью переливаний добиться того, чтобы в кружке и кофейнике оказалось по 9 г сахара? (Дополнительных ёмкостей и средств измерений нет, объёмом сахара пренебречь.)