Методическая разработка по предмету "Алгебра и начала анализа", 10 класс, Тема "Фракталы"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) по теме
Методическая разработка урока по теме "Фракталы" в 10 классе
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Урок в 10 классе. Алгебра и начала анализа. | 46 КБ |
 pril_fraktali.ppt | 569 КБ |
Предварительный просмотр:
Алгебра и начала анализа 10 класс
Тема урока: «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Фракталы»
Тип урока: интегрированный, с применением мультимедийных технологий.
Цель урока: способствовать формированию у обучающихся следующих компетенций (УУД):
Личностных:
- умение выражать личное отношение к предмету изучения как с позиции багажа знаний и опыта, так и с точки зрения этических норм нашего общества;
- понимание смысла учебной деятельности (смыслообразование и мотивация);
Регулятивные:
- целеполагание;
- планирование;
- прогнозирование;
- контроль;
- коррекция;
- оценка;
Познавательные:
- самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
- поиск и выделение необходимой информации;
- применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;
- знаково-символические действия, включая моделирование;
- умение структурировать знания;
- умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме;
- выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
- рефлексия способов и условий действия;
- анализ объектов, синтез, подведение под понятия, выведение следствий;
- установление причинно-следственных связей;
- построение логической цепи рассуждений, доказательство;
- выдвижение гипотез и их обоснование;
- формулирование проблемы и самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера;
Коммуникативные:
- умение участвовать в коллективном обсуждении проблем;
- инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Задачи урока:
- отработка и закрепление понятий: последовательность, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, предел последовательности;
- пропедевтика понятия производной;
- решение задач раздела «С».
Оборудование и материалы: интерактивный комплекс; компьютеры с выходом в Интернет, презентации, тесты он-лайн.
Ход урока.
I Организационный момент.
Приветствие детям, гостям урока.
Сегодня у нас урок – презентация.
Это презентация не только и не сколько отдельно взятой темы учебника, но и презентация предмета «Математика». Бытует мнение, что математика – сухая наука, «наука, ради науки». Здесь и сейчас мы с вами убедимся в красоте математики, в универсальности её приложений, а заодно постараемся научиться коллективно обсуждать проблемы, устанавливать причинно следственные связи и многому другому.
Запишите тему сегодняшнего урока: «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Фракталы» План урока (Приложение 3 Слайд 2)
II. Защита презентаций (проверка домашнего задания)
В качестве домашнего задания учащимся предлагалось составить презентации на тему «Фракталы». Работа выполнялась по группам.
На уроке каждая группа защищает свою презентацию (приложения 1 – 2).
III. Фронтальный опрос. Закрепление материала.
Вопросы классу:
1) что называется пределом последовательности?
2) какая последовательность называется бесконечно малой?
3) бесконечно большой?
4) какая последовательность ограничена сверху?
5) ограничена снизу?
6) какая последовательность не убывает?
7) не возрастает?
8) сформулировать теоремы 1 и 2
9) записать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
IV. Решение задач творческого характера. (Приложение 3)
- Понятие фрактала. (Слайд3)
Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят обычные дифференцируемые функции, с которыми имеет дело классический математический анализ.
В последние десятилетия возникло и развивается новое направление в математике – фрактальная геометрия. Слово "фрактал" ввел в 1975 г. Б. Мандельброт (от латинского слова "fractus", означающего изломанный, дробный).
Особенностью фракталов является не только их изломанность, но и самоподобность, означающая, что каждая часть фрактала подобна целому. Свойство самоподобности также отражает особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме.
- Вычисление площади Звезды Коха, длины кривой Коха (Слайды 4-6)
Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Х. фон Кох (1870-1924) и называется звезда Коха (снежинка Коха). Для ее построения берется равносторонний треугольник и последовательно добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В результате получаются все более сложные многоугольники, приближающиеся к предельному положению – звезде Коха.
Вычислим площадь звезды Коха. Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Коха представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5.
Вычислим длину кривой, ограничивающей звезду Коха. Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна 1. Его периметр равен 3. На первом шаге каждая сторона треугольника заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины 1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как последовательность (4/3)n стремится к бесконечности, то и длина кривой Коха равна бесконечности.
- Самостоятельная работа в группах. Вычисление площадей фигур (Слайды 7-9)
1). Найдите площадь салфетки, полученной последовательным добавлением к данному единичному квадрату квадратов со сторонами 1/3, 1/9, и т.д.
2). Найдите площадь фрактальной фигуры, полученной последовательным добавлением к данному кругу радиуса 1 кругов радиусов ½, ¼, и т.д.
- Вычисление площади ковра Серпинского (Слады 10-11)
Еще один пример самоподобной фигуры, придумал польский математик
В. Серпинский (1882-1969). Она называется ковром Серпинского и получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.
Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.
Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно, площадь ковра Серпинского равна нулю.
- Устная работа. Вычисление площади салфетки Серпинского (Слайды 12-13) Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского.
Найдите площадь салфетки Серпинского, полученной из правильного треугольника площади 1. Ответ: 0
- Примеры других фрактальных фигур (Слайды 14-24).
Пример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для ее построения разобьем данный квадрат на четыре равных квадрата и соединим их центры тремя отрезками, как показано на рисунке а). Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.
Отметим, что ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.
Интересным примером самоподобной кривой является «кривая дракона», придуманная Э.Хейуэем. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90° вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Повернем полученный угол на 90° вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона.
V. Тестирование в режиме он-лайн.
Использование ресурсов сайта uztest.ru. Индивидуальная самостоятельная работа по теме «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии» с последующей автоматической проверкой.
VI. Решение задач раздела «С»
Приложение 3, слайды 25 – 35.
VII. Подведение итогов урока. Выставление отметок за урок.
VIII. Домашнее задание.
Индивидуальное домашнее задание на сайте uztest.ru.
Литература:
- С.М. Никольский и др. «Алгебра и начала анализа», 10 класс, М. «Просвещение», 20010 год.
- Ресурсы сайта uztest.ru.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Фракталы. Защита презентаций (домашнее задание) Вычисление площадей фигур и длин кривых Решение задач (работа в группах) Индивидуальный тренинг Решение задач раздела С План урока
Фракталы Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят обычные дифференцируемые функции, с которыми имеет дело классический математический анализ. В последние десятилетия возникло и развивается новое направление в математике – фрактальная геометрия. Слово "фрактал" ввел в 1975 г. Б. Мандельброт (от латинского слова " fractus ", означающего изломанный, дробный). Особенностью фракталов является не только их изломанность, но и самоподобность, означающая, что каждая часть фрактала подобна целому. Свойство самоподобности также отражает особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме.
Звезда Коха Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Х . фон Кох (1870-1924) и называется звезда Кох а (снежинка Коха) . Для ее построения берется равносторонний треугольник и последовательно добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В результате получа ются все более сложные многоугольники, приближающиеся к предельному положению – звезде Кох а .
Площадь звезды Коха Вычислим площадь звезды Кох а . Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Кох а представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S = 1+3/5=8/5.
Длина кривой Коха Вычислим длину кривой, ограничивающей звезду Кох а . Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна 1. Его периметр равен 3. На первом шаге каждая сторона треугольника заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины 1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как последовательность (4/3) n стремится к бесконечности, то и длина кривой Коха равна бесконечности.
Салфетка Еще один вариант звезды Кох а можно построить из квадратов, последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов .
Упражнение 1 Найдите площадь салфетки, полученной последовательным добавлением к данному единичному квадрату квадратов со сторонами 1/3, 1/9, и т.д. Ответ: 2.
Упражнение 2 Найдите площадь фрактальной фигуры, полученной последовательным добавлением к данному кругу радиуса 1 кругов радиусов ½, ¼, и т.д. Ответ:
Ковер Серпинского Е ще один пример самоподобной фигуры, придума л польски й математик В. Серпински й (1882-1969) . Она называе тся ковром Серпинского и получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского. Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки .
Площадь ковра Серпинского Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице . Следовательно, площадь ковра Серпинского равна нулю.
Салфетка Серпинского Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского.
Упражнение Найдите площадь салфетки Серпинского, полученной из правильного треугольника площади 1. Ответ: 0.
Кривая Пеано П ример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для ее построения разобьем данный квадрат на четыре равных квадрата и соединим их центры тремя отрезками, как показано на рисунке а) . Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. Отметим, что л оманые, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.
Кривая дракона Интересным примером само подобной кривой является «кривая дракона», придуманная Э.Хейуэем. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 о вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Повернем полученный угол на 90 о вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона .
Дерево Пифагора
Фрактал 1
Фрактал 2
Фрактал 3
Фрактал 4
Фрактал 5
Фрактал 6
Фрактал 7
Фрактал 8
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решите уравнение
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Решите уравнение
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0. 2 Решите уравнение
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0. 1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0. Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0. 2 2 Решите уравнение
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0. 1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0. Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0. 2) Ели х < 0, то имеем х + 6 х -7 = 0. Корни: - 7 и 1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0. 2 2 2 Решите уравнение
х – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ … 2 Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0. 1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0. Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0. 2) Ели х < 0, то имеем х + 6 х -7 = 0. Корни: - 7 и 1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0. Ответ: -7; 7 2 2 2 Решите уравнение
у = Постройте график функции
у = Решение: Область определения функции: х ≠ 0. 1 + sin 30 + sin 30 + sin 30 + … = = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой q = 1/2. Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2. Постройте график функции 2 4
у = Решение: Область определения функции: х ≠ 0. 1 + sin 30 + sin 30 + sin 30 + … = = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой q = 1/2. Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2. Функция приобретает вид; 1) у = х + 2, если х > 0; 2) у = х – 2, если х < 0. Постройте график функции 2 4
График функции выглядит так: y x 4 2 -2 -4 2 -2 0
Спасибо! Моим ученикам, за работу на уроке. Всем присутствующим, за внимание . Желаю всем здоровья и успехов! И не забудьте выполнить домашнее задание!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников при решении заданий, содержащих параметры; углу...
Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме: «Степенная функция».
Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме «Степенная функция» поможет изучению темы. В разработке представлены материалы для устног...
Методическая разработка урока алгебры и начала анализа в 11 классе.
Методическая разработка урока алгебры и начала анализа в 11 классе. "Понятие производной"...
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "Решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творчески способностей учеников при решении задач, содержащих параметры, углубле...
Методическая разработка урока алгебры и начала анализа в 11 классе "Исследование функций. Чтение графика"
Презентация к уроку на тему: Исследование функций. Чтение графика. Программа: государственная базовая "Алгебра и начала математического анализа - 11". Автор учебника Ш.А. Алимов и др., 2010г...
Методическая разработка урока алгебры и начала анализа в 10 классе по теме "Логарифмические уравнения"
Логарифмические уравнения...
Методическая разработка урока алгебры и начала анализа в 10 классе по теме "Логарифмические уравнения"
quot;Логарифмические уравнения"...