Олимпиадные задания для школьного этапа 5-11 класс
олимпиадные задания по алгебре на тему

Задания по математике  для школьного этапа олимпиады

5 класс

№ 1

Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

№ 2

Расшифруйте запись, если одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры:

            В

   АААА

   АААА

   АААА

ВАААА

№ 3

Хулиган Вася разорвал школьную стенгазету на 10 кусков. Затем некоторые из кусков он разорвал еще на 10 кусков, затем некоторые из кусков еще на 10 кусков и т.д. На следующий день собрали 2007 кусков. Все ли кусочки нашли?

№ 4

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000 включительно.

№5

В один сосуд входит  3 литра, а в другой 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 литра воды из водопроводного крана?

Решения. (5 класс)

   1. Первый ключ находит свой чемодан в худшем случае за 4 пробы, второй – за 3, третий – за 2, четвертый – за 1, пятый подходит к оставшемуся. В худшем случае всего будет 10 проб.

  2. Ответ: А = 9; В = 2.

  3. Число кусков после п-го разрывания 1 + 9п (т.к. 1 кусок Вася забирает, 10 добавляет). Но  и не может давать остаток 1 при делении на 9. Значит, нашли не все кусочки.

  4.

5. Из 3 литрового перелить в 5ти литровый, сделать это  еще раз. Останется в 3-х литровом 1 литр. В кувшин вылить 1 литр из 3-х литрового. Долить 3 литра в кувшин из 3х литрового.

6 класс

№ 1

Решить уравнение:

(((2008-х)-2)+10)+3=23.

№ 2

Какие цифры скрываются за буквами:

№ 3

В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га содержится миллион литров воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?

№ 4

Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см2, 4 см2, 6 см2. Найдите площадь прямоугольника.

№ 5

Угол с какой градусной мерой образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

Решение. (6 класс)

1. Ответ: 1996

2. Ответ: 3125 : 25 = 125.

3. 1 га = 10000 м2 = 1000000 дм2, т.е. на 1 дм2 поверхности дна приходится 1 литр воды, но 1 л = 1 дм3, следовательно глубина слоя воды 1 дм. Соревнования по плаванию проводить нельзя.

4. Т.к. верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то его вторая сторона будет в 2 раза больше первого.

Аналогично и вторая сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь нижнего правого прямоугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, т.е. будет равна 12 см2.

Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см2.

5. В 12.00 стрелки часов сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит 1/3 окружности, т.е. описывает угол 120°. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (т.к. описывает круг за 12 часов), поэтому она за 20 минут опишет угол в 120° : 12 = 10° и будет образовывать с минутной стрелкой угол в 120° – 10° = 110°.

7 класс

№ 1

Найдите сумму .

№ 2

В турнире по футболу участвовало 7 команд, которые набрали 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка. За победу присуждалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?

№ 3

5 школьников приехали из 5 различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» – спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них.

Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев живет в Каргополе».

Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска».

Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

№4

Начертить четырехугольник, который можно разбить одной прямой на три треугольника.

№5

Цену товара уменьшим на 10%, а потом еще на 10%, стал ли бы товар дешевле, если бы его цену сразу снизили на 20%.

Решения (7 класс)

1. . Тогда сумма равна .

2. Всего было сыграно  матчей. Если бы они все закончились победой одной из команд, то сумма очков, набранных всеми командами, была бы равна . Но из условия задачи следует, что общая сумма набранных очков равна 58. Поскольку при каждой ничье всего командам присуждается по одному очку, то из трех очков при ничье теряется одно. Но всего потерянных очков в турнире будет . Значит, 5 матчей закончились вничью.

3. Пусть у Андреева первое утверждение верное, то есть он из Онеги. Тогда Григорьев живет не в Каргополе. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Вельска. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Онеги, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Котласа. Так как Григорьев не из Каргополя, то остается, что он из Коряжмы, а Васильев из Каргополя.

Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – правильное, тогда Григорьев приехал из Каргополя. Значит, Данилов приехал не из Вельска, а Андреев не из Онеги. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Каргополе живет Григорьев), значит, Борисов прибыл из Коряжмы.

Поэтому Андреев не из Коряжмы и получается, что Данилов из Вельска. Получили противоречие: Данилов из Вельска и не из Вельска. Значит, второй вариант невозможен.

Ответ: Андреев из Онеги, Борисов из Котласа, Васильев из Каргополя, Григорьев из Коряжмы, Данилов из Вельска.

          4.

       5. Первоначально стоимость х после первого снижения стоимость товара 0,9х 10% от 0,9х осталось0,09х. После второго снижения 0,9х-0,09х=0,81х. Цена снизилась от первоначальной на 19%.

8 класс

№ 1

Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после просушивания?

№ 2

Известно, что + – целое число (а не обязательно целое). Доказать, что 3+– целое.

№ 3

В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34о. Найдите углы этого треугольника.

№ 4

Постройте график функции  .

№ 5

Показать, что  при n целом делится на 24.

Решения (8 класс)

1. В 100 кг грибов – 1 кг сухого вещества и 99 кг воды. После подсушивания сухого вещества стало 2%. Так как масса сухого вещества сохраняется, то 2% = 1 кг, следовательно, грибы стали весить 50 кг.

2. . В последнем выражении оба множителя целые.

3.

          В

                                                По условию АН⊥ВС, тогда из ΔАНС получим:

                                        ∠С = 900 – 340 = 560, по свойству острых углов

                                        прямоугольного треугольника.

                                                По свойству углов при основании равнобедренного

                                        треугольника ∠А = ∠С = 560.

                               Н                        Тогда по сумме внутренних углов треугольника

                                        получим ∠В = 1800 – ∠А – ∠С = 1800 – 560 – 560 = 680.

                    340                        Ответ. ∠В = 680, ∠А = ∠С = 560.

      А                                  С        

4.

5. , но произведение любых последовательных 4 целых чисел всегда делится на 24.

9 класс

№1

Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2+15х+1. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 2х2 и 2х1.

№ 2

Решить неравенство: |х2-2х|+5≤6

№ 3

Директор школы беседует с 4 учениками школы, подозреваемыми в хищении классного журнала из учительской. Александр сказал, что журнал похитил Борис. Борис утверждал, что виноват Григорий. Григорий заверил директора, что Борис врет. Виктор настаивал на том, что журнал взял не он. Директору школы удалось установить, что один из учащихся сказал все же правду. Кто похитил журнал?

№ 4

В трапеции KLMT  LM||KT,  KL = MT, диагональ MK = 8 м и МКТ = 75°. Найдите площадь трапеции.

№5

Преобразуйте выражение

Решения (9 класс)

1. Ответ: х2+30х+4=0.

2 Ответ:[1-√2;1+√2]

3. Обозначим показания учащихся через «Б», «Г», «не Г», «не В». Одно из 2 утверждений «Г» и «не Г» истинно, поэтому утверждения «Б» и «не В» ложны, т.е. журнал похитил не Борис, журнал похитил Виктор.

4.

Решение.

5. Ответ: .

10 класс

1. Дан график функции у=х2+ах+с. Найдите а

2. Решите в целых числах систему уравнений

3. Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам, разбит на девять параллелограммов. Найдите площадь четырехугольника АВСД, если площадь исходного параллелограмма равна S1, а площадь центрального (закрашенного) параллелограмма равна S2.

4. Решите неравенство

5. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

Решения (10 класс)

1. Ответ 4.

График касается оси Ох, поэтому у=(х+х0)2, у=х2+2хх0+х02, т.е. а=2х0 и а=х02. Отсюда а=0 или а=4. Но из графика видно, что а не равно нулю.

2. Вычтя из второго уравнения первое, получим (х-z)(1-у)=1.Так как x,y,z целые, то возможны два случая:

1. x-z=1, 1-y=1, то есть у=0. Подставив в систему, получим z=94,x=95.
2. x-z=-1, 1-y=-1, то есть z=x+1, y=2. Подставим у и z в первое уравнение

2х+х+1=94,3х=93, х=31. Отсюда z=32.

Ответ:(95;0;94); (31;2;32).

3. Ответ..

Четырехугольник АВСД складывается из закрашенного параллелограмма и половинок параллелограммов, составляющих рамку.

4. Решение:

для любых значений х выполняется  

Следовательно

Ответ: решений нет.

5.  Способов существует всего один и число 1997996 является искомым. Если бы существовали другие способы, то число отличалось бы от этого числа, по крайней мере, на 1996, то есть первые четыре цифры не совпадали бы с 1997.

11 класс

1. Постройте график функции: .

2. Докажите, что 2а +>3 при 0<а<1.

3.  

4. Две окружности касаются сторон KL и MN четырехугольника KLMN: первая в точках A и B,  вторая – в точках C и D соответственно. На отрезке AC взята точка E, а на отрезке CD – точка F так, что отрезок EF касается обеих окружностей: первой – в точке G, а второй в точке H. Найдите EC, если AE=BF+9 и BD=13.

5. Дано:  Найти косинус угла между векторами и .

Решения (11 класс)

1. Графиком функции будет прямая, заданная уравнением у=4.

      =

  =

2. Найдем производную функции f(a)= 2a +  

<0 при  Значит, f(a) убывает на   (0;1), а поэтому f(0)>f(1),

где   f(1=3, то есть        2a +   >3 при      

3.Ответ: .

4.  При построении не

будем проводить стороны

KN и LM, a проведем только

KL и MN.

Так как длины касательных,

проведенных из одной точки

к одной окружности, равны,

то OC=OD, OA=OB, значит

AC=BD=13.

Обозначим EC=EH=x,

BF=FG=а, и

AE=EG=а+9 и FH=FD=у.

Тогда АС=а+9+х=13. Для отрезка ЕF запишем два выражения. С одной стороны ЕF=FH+HE=x+y, с другой стороны ЕF=EG+EF=a+a+9=2a+9, откуда получаем уравнение x+y=2a+9.

Таким образом получили систему уравнений  Решив систему, запишем а=2, х=2=ЕС.         Ответ: ЕС=2.

5. Ответ: .