прогрессия 9 кл
презентация к уроку по алгебре (9, 11 класс) по теме

Слайд 1

Последовательности. 1.Арифметическая прогрессия. 2.Геометрическая прогрессия. Составила преподаватель Мещенко Н.В., 2007-2008уч. год

Слайд 2

Определение: Числа, выписанные в определенном порядке, называются последовательностью чисел. Обозначим её : x 1 ; x 2 ; x 3 ;…, x n где х 1 ; х 2 ; х 3 - члены последовательности .

Слайд 3

2) Рассмотрим последовательность двузначных чисел (а n ): 10; 11; 12; …; 98; 99 - является конечной, а 17 = 26, а 25 = 34. Например : 1) Выпишем в порядке возрастания положительные четные числа. Это последовательность: 2;4;6;8; … . Очевидно, что на пятом месте будет число 10, т.е х 5 = 10; а на десятом – число 20, т.е. х 10 = 20. В последовательности будет содержаться бесконечное число членов. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером .

Слайд 4

Способы задания числовых последовательностей рекуррентная формула формула n -го члена последовательности описанием ее членов

Слайд 5

I. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы , позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. Пусть первый член последовательности (а n ) равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего т.е. а 1 =3, а n+1 =а n 2 . Имеем, а 2 =9, а 3 =81, а 4 =6561, … . Например : Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие называют рекуррентной

Слайд 6

II. Последовательность может быть задана при помощи формулы n -го члена последовательности . Например,

Слайд 7

III. Иногда последовательность задается описанием ее членов , Например, последовательность, у которой x n равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = 1, x 4 = 5, x 5 = 9, x 6 = 2, x 7 = 6, x 8 = 5, x 9 = 3, x 10 = 5 и т. д.

Слайд 8

Последовательность ( x n ) называется возрастающей , если для любого выполняется неравенство . Виды последовательностей. Конечная Бесконечная Возрастающей Убывающей Последовательность ( x n ) называется убывающей, если для любого выполняется неравенство . Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей . Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными . Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными .

Слайд 9

Контроль знаний 15 1. Определение числовой последовательности 2. Что значит, следующий и предыдущий члены последовательности? 3. Что значит, n - ый член последовательности? 4. Какие способы задания последовательности ? 5. Что значит, аналитический способ задания? 6 . Что значит, рекуррентный способ задания?

Слайд 12

Арифметическая прогрессия. Определение: Числовую последовательность ( a n ), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией . a n + 1 = a n + d ( рекуррентная формула арифметической прогрессии ) . Число d называется разностью арифметической прогрессии :

Слайд 13

Арифметическая прогрессия Верно и обратное. Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное соотношение Так как a n – 1 = a n – d и a n + 1 = a n + d , то a n + 1 + a n – 1 = 2 a n ( характеристическое свойство арифметической прогрессии). Формула n -го члена арифметической прогрессии ( a n ) такова:

Слайд 14

Арифметическая прогрессия Пример 1. Дано: (с n )-арифметическая прогрессия, с 1 =0,62, d =0,24. Найти: с 50 Решение: Так как , то Ответ: с 50 =12,38. Пример 2. Дано: (с n )-арифметическая прогрессия, с 1 =10, с 5 =22. Найти: d, составить формулу n -го члена. Решение: Так как , то с 5 =10+ d( 5 -1), имеем 22= 10 + 4 d , то . Имеем Ответ: ,

Слайд 15

Пример 3 . Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (с n ), если с 16 = -7,с 26 = 55. Решение: Так как , то с 16 = с 1 + d(16-1), т.е. -7 = с 1 + 15d. с 26 = с 1 + d (26-1), т.е. 55= с 1 + 25 d Составим и решим систему уравнений Арифметическая прогрессия

Слайд 16

Дано: ( а n ) - арифметическая прогрессия:23; 17,2; 11,4; 5,6; … Определить, принадлежит ли число -122 этой последовательности? Решение: Так как а 1 = 23, а 2 = 17,2 и то d = а 2 - а 1 = 17,2 - 23= -5,8 , то Пример 4 . Число -122 будет являться членом этой прогрессии, если существует такое натуральное число n , при котором значение выражения равно -122. Значит, число -122 является 26 –м членом данной прогрессии. Решим уравнение Ответ: а 26 = -122. Арифметическая прогрессия

Слайд 17

Дано: ( а n ) - арифметическая прогрессия: 5; а 2 ; а 3 ; а 4 ; а 5 ; а 6 ; а 7 ; а 8 ;1. Решение: Заметим, что а 1 = 5 , а 9 = 1 ,то Арифметическая прогрессия Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали а рифметическую прогрессию . По определению а рифметической прогрессии a n + 1 = a n + d , а 2 = 4,5 ; а 3 = 4,0; а 4 = 3,5 ; а 5 = 3,0 ; а 6 = 2,5 ; а 7 = 2,0 ; а 8 = 1,5. Ответ: 4,5 ; 4 ; 3,5 ; 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5. Пример 5 . а 9 =5+8d, т.е. 1=5+8 d , то d = - 0,5.

Слайд 18

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия ( a n )задана формулой а n = 3n+2. Найдите сумму двадцати первых её членов. Решение: Так как а n = 3n+2, то а 1 = 5, а 2 = 8, то d = 3, Пример 6 . Ответ: 670 .

Слайд 19

Найдите сумму натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Решение: 1 способ: ( b n ) : 1, 2, …,19, 20, …, 119, 120. b 1 = 1 , b 2 = 2, b 120 = 120 , d = 1, Пример 7 . Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Ответ: 7070

Слайд 20

2способ: ( b n ): 20; 21;…;120, т.е. b 1 = 20, b 2 = 21, b 101 = 120, то d = 1, Ответ: 7070 . Пример 8 . Найдите сумму натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Решение: Числа, кратные 7, задаются формулой b n = 7 n , b 1 = 7, b 2 = 14, d = 7,так как b n ≤ 130 и так как ,то n =18. Тогда Ответ: 1197. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Слайд 21

Геометрическая прогрессия. Определение: Числовую последовательность ( b n ), первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией. Число q , которое называется знаменателем прогрессии , отлично от нуля и . ( рекуррентная формула геометрической прогрессии ) .

Слайд 22

Так как Геометрическая прогрессия. характеристическое свойство геометрической прогрессии Верна и обратная теорема Последовательность ( b n ) является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1, где при всех n выполняется соотношение Тем не менее, важно понимать, что формула справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии. Каждый член геометрической прогрессии ( b n )определяется формулой n -го члена последовательности

Слайд 23

Сумма n первых членов геометрической прогрессии ( b n ) равна при q ≠ 1 Геометрическая прогрессия. и при q = 1 равна S n = n · b 1 . При | q | < 1 геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (| q | < 1) равна

Слайд 24

Дано: (с n )- геометрическая прогрессия, с 1 =16, q =0,5. Найти: с 7 . Решение: Так как Пример 1 . Геометрическая прогрессия. , то Ответ: с 7 = 0,25 . Дано: (с n )- геометрическая прогрессия, с 5 = - 6, с 7 = - 54 . Найти: q. Пример 2 . Решение: Так как ,то

Слайд 25

Составим и решим систему уравнений Геометрическая прогрессия. Существуют две геометрические прогрессии, у которой с 5 = - 6, с 7 = - 54 . Это геометрические прогрессии ,у которых или q=3 или q=-3 . Ответ: -3; 3 .

Слайд 26

Пример 3 . Найдите сумму геометрической прогрессии: Решение: Так как дана бесконечная геометрическая прогрессия, то Тогда по формуле получим: Ответ: 9.

Слайд 27

Пример 4 . Представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(6); б) 0,(36); в) 1,(81); г) 0,2(3). Решение: I способ а) 0,(6) =0,6666… =0,6+0,06+ 0,006+0,0006 + … . Рассмотрим последовательность: 0,6; 0,06; 0,006; 0,0006; … . Так как то эта последовательность является бесконечной геометрической прогрессией, то

Слайд 28

Пусть x = 0, 6666…. Период состоит из одной цифры Умножим обе части равенства на 10. Получим 10х = 6,666… . Вычтем из 10х = 6,666… х = 0,666…, получим 9х = 6,000…, II способ

Слайд 29

б) Пусть x = 0,363636…. Период состоит из двух цифр Умножим обе части равенства на 100. Получим 100х =36,363636… . Вычтем из 100х = 36,363636… х = 0,363636…, получим 99х =36,00000…, в) Пусть x = 1,818181…. Период состоит из двух цифр Умножим обе части равенства на 100. Получим 100х =181,8181 … . Вычтем из 100х = 181,8181 … х = 1,8181…, получим 99х =180,00000…,

Слайд 30

г) 0,2(3). Пусть x = 0, 2333…. Период состоит из одной цифры Умножим обе части равенства на 10. Получим 10х = 2,333… . Вычтем из 10х = 2,3333… х = 0,2333…, получим 9х = 2,1000…,

Слайд 31

Домашнее задание. ЦТ-2006,Б4 ЦТ-2007,Б6 Никольский10,стр.307 №60(а, в, г), №106 Повторить формулы нахождения производных