Доклад
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

МБОУ Ээрбекская СОШ Кызылского кожууна

 Республики Тыва

Практикум по решению задач на сплавы, смеси и растворы

Прочитан 25 ноября 2015 года

на семинаре учителей математики

Ховалыг О.Б.

Практикум по решению задач на сплавы, смеси и растворы

Цели: сформировать умение работать с законом сохранения массы; обеспечить усвоение обучающимися понятий концентрации вещества, процентного раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.

Форма занятия: комбинированное занятие.

Методы обучения: рассказ, объяснение, практическая работа.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Оборудование: компьютер, проектор.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике  ОГЭ и ЕГЭ.

Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся прежде всего на решении тех задач, которые связаны с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержание». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Смеси: В природе вещества встречаются преимущество в виде смеси. Однородными называют такие смеси, в которых даже с помощью микроскопа нельзя обнаружить частицы веществ, входящих в смесь (раствор сахара, поваренной соли в воде).

Сплавы: Основа современной техники - машины и механизмы - изготовляются в основном из металлических материалов - металлов, сплавов металлов друг с другом. В жидком состоянии большинство металлов растворяются друг в друге и образуют однородный жидкий сплав. При кристаллизации из расплавленного состояния различные металлы ведут себя по-разному.

Основные методы решения задач на смешивание растворов

При решении задач о смесях, сплавах и растворах используют следующие допущения:

а) все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными;

б) не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);

в) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

г) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен V1+V2 т.е. V0 = V1+V2

д)  при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонент: m0=m1+m2 . Если смесь (сплав, раствор) имеет массу m и состоит из веществ А, В и С, массы которых равны  m A, m B, mС, то величину  (соответственно, ) называют концентрацией вещества А (В, С) в смеси (сплаве, растворе), а величину 100% (100%, 100%)- процентным содержанием вещества А (В, С) в смеси. При этом выполняется равенство:+ +  =1.

1.        Определения и обозначения:

• Масса или объём раствора (смеси, сплава).
• Масса или объём вещества, входящего в раствор (смесь или  сплав).

2.        Концентрация (объёмная или массовая) вещества:

Концентрация вещества в смеси - это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси.

Концентрация = масса вещества : масса смеси

• Процентное содержание вещества.
• Доля или часть раствора (смеси, сплава).

Массовая доля растворённого вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.

                                        ω=  ;

где  ω- массовая доля растворённого вещества в растворе,

m в-ва - масса растворённого вещества в растворе; m р-рамасса раствора.

 3. Основными методами решения задач на смешивание растворов являются:

• с помощью расчётной формулы;
• правило смещения;
• правило креста;
• графический метод;
• алгебраический метод.

 С помощью расчётной формулы:

Введём обозначения:

ω1 - массовая доля растворённого вещества в первом растворе;

ω2 - массовая доля растворённого вещества во втором растворе;

ω- массовая доля растворённого вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;

m 1 в-ва m 2 в-ва m  в-ва -массы растворённых веществ в соответствующих растворах;

m 1 р-ра m 2 р-ра m  р-ра –массы соответствующих растворов

В наших обозначениях получим формулу для вычисления массовой доли вещества в смеси:

1) Масса полученного при смешивании раствора равна:

                                       mр-ра =m1 р-ра + m2 р-ра

        2) Определим массы растворённых веществ в первом и втором растворах:

                                  m 1 в-ва =ω1 m1 р-ра,              m 2 в-ва = ω2 m2 р-ра

3)         Масса растворённого вещества в полученном растворе вычисляется:

m в-ва = m 1 в-ва + m 2 в-ва = ω1 m 1 р-ра , + ω2 m 2 р-ра

4) Массовая доля растворённого вещества в полученном растворе равна:

ω =, или ω =

При решении задач удобно составлять следующую таблицу:

«Правило смещения»

Воспользуемся формулой ω =

ω1 m 1   +=ω (m 1+ m 2)

ω1 m 1   +=ω (m 2 -m 2)

m 1   ( ω1  -= m 2 ( -ω 2)

=

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси.

«Правило креста»:

Правилом креста называют диагональную схему правила смещения для случаев с двумя растворами.

I раствор ω1                                массовые части I раствора

                             ω

II раствор ω2                                 массовые части II раствора

        Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева сверху - большая), на пересечении отрезков - задания, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.

Графический метод

        Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости

(ω =, у = .

        Полученная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.

                                       ω1, %

                                             ω1

                                                                                                                   ω2, %

                                         ω                                                         ω2

Данный способ является наглядным и даёт приближённое решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить точный ответ.

 Алгебраический метод:

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнений или систем уравнений.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1

 В 100 г 20% раствора соли добавили 300 г её 10% раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение:

а) С помощью расчётной формулы:

 m1 р-ра = 100 г            Воспользуемся формулой

m2 р-ра =300г                  ω =

ω1 = 0,2                      получаем  ω ==0,125

ω2= 0,1

ω-?

                                          Ответ: 12,5%.

б) Графический:

                              ω1, %

                                             20

                                                                                                                                      ω2, %

                                         12,5                                                    10

                                                           300                          400

                                            Ответ: 12,5%.

в)        Путём последовательных вычислений:

1)         Сколько растворенного вещества содержится:

а)        в 100 г 20% раствора (100 ∙ 0,2 = 20 (г))

б)        в 300 г 10% раствора (300 ∙0,1 = 30 (г))

2)         Сколько вещества содержится в образовавшемся растворе?

20 + 30 = 50 г

3)         Чему равна масса образовавшегося раствора?

100+ 300 = 400 г

4)        Какова процентная концентрация полученного раствора?

∙100=12(%)                                     Ответ: 12,5%.

г) Алгебраический:

Пусть х = процентная концентрация полученного раствора. В первом растворе содержится 0,2∙100 (г), а во втором 0,1 ∙ 300 (г), а в полученном растворе  х ∙(100 + 300) (г) соли. Составим уравнение:

0,2 • 100 + 0,1 • 300 = х • (100 + 300)

х = 0,125 (12,5%)

 Ответ: 12,5%.

Задача 2.

Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка.

Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Решение:   X кг - искомая величина.

(2х - 11) кг - масса первоначального куска

Р=  - Концентрация меди в процентах.

     P                               25

                     75                              =

    100                           75-p

                                              x=22,5

Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни первоначально.