Презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Геометрический и физический смысл производной"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ Крымский республиканский институт постдипломного педагогического образования Кафедра естественно-математического образования УРОК ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ Учитель математики МКОУ « Цветочненская СШ» Ибрагимова Эльвира Ш евкетовна

Слайд 2

Тема : Геометрический и физический смысл производной . Цель: систематизировать знания учащихся по данной теме и подготовить их к контрольной работе; показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач; обратить внимание на связь данной темы с физикой и геометрией. Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Ожидаемые результаты: учащиеся повторяют материал, связанный с практическим применением производной; Смогут находить уравнения касательной к графику функции в данной точке, угол, под которым касательная к графику функции пересекает ось абсцисс; Смогут решать задачи на нахождение с помощью производной скорости, ускорения, силы, кинетической энергии; 3) Будут знать сущность понятия производной.

Слайд 3

Ход урока 1 Актуализация опорных знаний В качестве домашнего задания учащиеся получили вопросы, над которыми должны были самостоятельно поработать, найти ответы в справочной литературе или Интернете. Домашняя самостоятельная работа . Что называется математическим анализом? (Ответ: это раздел математики, в котором изучается дифференциальное и интегральное исчисление.) Кто и когда создал эти исчисления? (Ответ: в 17 веке, практически одновременно и независимо друг от друга Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии.) Каково основное содержание производной? (Ответ: производная функция f( х) в точке х 0 есть скорость изменения функции в этой точке.(Производная у= f (х) в точке х=х 0 показывает, во сколько раз быстрее меняется у, чем х, в окрестности х 0 .) Кто и в каком году вывел термин «производная»? (Ответ: Луи Лагранж в 1791 году) В чем состоит геометрический смысл производной? (Ответ: если функция в точке х 0 имеет производную, то в этой точке определена касательная к графику f( х).Причем ее угловой коэффициент равен f’(x 0 ).) В чем состоит механический смысл производной? (Ответ: v(t)=s’(t) ; a(t)=v’(t) , где s(t)- путь ,пройденный телом за время t, v(t)- скорость тела в момент времени t ;а( t)- ускорение тела в момент времени t.)

Слайд 4

1 .Тело движется прямолинейно по закону s(t) =3+2 t+t^2( м).Определите его скорость и ускорение в момент времени t=3 с. Решение . v(t)=s’(t)=2+2t ; a(t)=v’(t)=2( м/с ^2). v(3)=2+2*3=8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2м/с ^2 2 . Тело, массой 0,5кг движется прямолинейно по закону s(t)=2t^2-2t-3 (м).Найдите кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения, а также значение силы F , действующей на тело. Решение: v(t)=s’(t)=4t-2( м/с); v(3)=4*3-2=10( м/с); a(t)=v’(t)=4( м/с ^2) ; F=ma=0.5*4=2(H) ; E= ( mv^2 )/ 2= ( 0.5*100 )/2=25(Дж). Ответ: 2 Н, 25 Дж . 3 . Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10см масса куска стержня АС длиной L определяется по формуле m(L)=4L^2+3L. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка. Решение. Р( L)=m’(L)=8L+3 ; р (5)=8*5+3=43 ( г/см). Линейная плотность в точки С есть производная по L от переменной массы m(L). Ответ: 43 г/см . 2.Решение задач

Слайд 5

4. Количество электричества, прошедшего через проводник, начиная с момента t=0 , задается формулой q(t)=2t^2+3t+1 . Найдите силу тока в конце пятой секунды. Решение. I(t)=q’(t)=4t+3(A) ; I(5)=4*5+3=23(A). Ответ: 23А . 5. Количество тепла Q ,необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 градусов до t градусов , определяется по формуле Q(t)=t+0.0000003t^3. Вычислите теплоемкость воды для t=100 градусов. Решение . С( t)=Q’(t)=1+0.00004t+0.0000009t^2 ; Q’(100)=1+0.004+0.009=1.013( дж ). Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре. Ответ:1,013Дж. 6. Радиус круга R изменяется по закону R=4+2t^2(c м). Определить,с какой скоростью изменяется его площадь в момент t=2 с. Решение. S= П R^2= П(4+2 t^2)^2 ; S’=2 П(4+2 t^2)*4t=8 П t(4+2t^2) ; S’(2)=16*12=192 П(см ^2/c). Ответ:192П . 7. Напишите уравнение касательной к графику функции у=(х ^3+1) :3 в точке его пересечения с осью абсцисс. Решение. Так как график пересекается с осью абсцисс, то у=0. Значит, (x^3+1) :3=0. Отсюда x^3+1=0 , x^3=-1 ; x=-1 . Тогда х 0 =-1. Уравнение касательной: y=f(x 0 )+f’(x 0 )(x-x 0 ) ; f(x 0 )=0 ; f’(x)=x^2 ; f’(-1)=(-1)^2=1 ; у=0+1*(х+1); у=х+1. Ответ: у=х+1.

Слайд 6

8 .Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к y=2x^3-x в точке пересечения этой кривой с осью у? Решение. Так как кривая пересекается с осью у, то х 0 =0. y’=6x^2-1 ; y’(0)=-1. Тогда tg a=-1 ; a=135 градусов. Ответ: 135 град усов . 3.Самостоятельная работа 1 вариант. №1. Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t^3 . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2c. №2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x^3-27 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс. 2 вариант. №1. Материальная точка движется по закону s(t)=1 6 t+2t^3 . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2c. №2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x^3 +8 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.

Слайд 7

Решения и ответы к самостоятельной работе . 1 вариант. №1. v(t)=s’(t)=12+9t^2 ; v(2)=12+36=48( м/с); а( t)=v’(t)=18t ; а(2)=18*2=36(м/с ^2). Ответ: 48 м/с, 36 м/ c^2 №2. f(x)=0 ; x^3-27=0 ; x^3=27 ; x=3 , то есть х 0 =3 f’(x)=3x^2 ; f’(x 0 )=f’(3)=27 . Значит, tg a =27 . Ответ:27. 2вариант . №1. v(t)=s’(t)=1 6 + 6 t^2 ; v(2)=1 6 + 6*4 =4 0 ( м/с); а( t)=v’(t)=1 2 t ; а(2)=12*2=24(м/с ^2). Ответ: 40 м/с, 24 м/ c^2 №2. f(x)=0 ; x^3 +8 =0 ; x^3= -8; x= -2, то есть х 0 =-2 f’(x)=3x^2 ; f’(x 0 )=f’( -2 )= 12. Значит, tg a = 12. Ответ:12.

Слайд 8

4. Подведение итогов урока Итак, мы вспомнили, что называется производной, ее геометрическое истолкование, физический смысл. Скажите, связь с какими предметами школьного курса прослеживалась сегодня на уроке при выполнении упражнений? 5. Домашнее задание Подготовиться к контрольной работе по выданным тренировочным карточкам. Подготовить рефераты на тему «Интересный исторический факт из биографии ученых» (Ньютона, Лейбница, Лагранжа- по выбору).

Слайд 9

все понятия, изучаемые по определенной теме, переосмысливаются учащимися на более высоком, теоретическом уровне, углубляются и обобщаются . Ученики получают необходимые навыки в работе с определениями, понимают простые логические рассуждения и они смогут изучать курс математики старших классов более осознанно и с интересом. На основе разработанной методики преподавания: Заключение