Пособие для учащихся "Повторение. Многочлены"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся «Многочлены»

 Определение 1

 Многочленом называется сумма одночленов.

Например, а² + 2а, 2х² + 5х – 2.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.

Рассмотрим пример:

Преобразовать выражения в многочлен: (5х² - 12х + 4) – (2х² + 5х – 2).

Решение:

а) (5х² - 12х + 4) – (2х² + 5х – 2) = 5х² - 12х + 4 -  2х² - 5х + 2 =

= (5х² - 2х²) + (-12х -5х) + (4 + 2) = 3х² - 17х + 6;

Определение 2

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Правила:

1. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

2х (9х - 3)= 18 х² - 6х

2. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

                      (а + b) (с + d) = ac + ad + bc + bd

Определение 2

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители.

Способы разложения многочлена на множители:  

1. Вынесение общего множителя за скобки:

9а²с + 15с² = 3с (3а + 5с)

2. Способ группировки:

ас – 5с + 3а – 15 = (ас – 5с) + (3а – 15) = с (а – 5) + 3(а – 5) =

                                             = (а – 5) (с + 3)

Доказательство тождеств.

Для доказательства тождеств преобразуют его левую часть в правую или правую часть в левую или показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению.

Примеры решения заданий.

1.Преобразовать выражения в многочлен:

   а) 4х (х² + 3х - 2)

Решение: 4х (х² + 3х – 2) = 4х³ + 12х² - 8х;

 б) (х + 5) (у – 7).

Решение: (х + 5) (у – 7) = ху – 7х + 5у – 35.

2. Упростить выражение:

а) 3х (7х – 2) – 2х (9х + 3);

Решение: 3х (7х – 2) – 2х (9х + 3) = 21х² - 6х – 18 х² - 6х = 3х² - 12х;

б) 3а (а² + 2а) – 4а (а² - 7а);

Решение: 3а (а² + 2а) – 4а (а² - 7а) = 3а³ + 6а² - 4а³ + 28а² = - а³ + 34а²;

в) (х + 3) (х – 7) – 4х (5 – 2х);

Решение: (х + 3) (х – 7) – 4х (5 – 2х) = х² - 7х + 3х – 21 – 20х + 8х² =

= 9х² - 24х – 21;

г) (у + 2) (у – 6) + (у + 3) (у – 4).

Решение: (у + 2) (у – 6) + (у + 3) (у – 4) =

= у² - 6у + 2у – 12 + у² - 4у + 3у – 12 = 2у² - 5у – 24.

 3. Решить уравнения:

а) 2х (3х – 4) – 3х (2х + 5) = 7;

Решение:

2х (3х – 4) – 3х (2х + 5) = 7;

        6х² - 8х – 6х² - 15х = 7;

                              - 14 х = 7;

                                     х = 7: (- 14);

                                     х = - 0,5.

   Ответ: - 0,5.

б)  -  = 1.

Решение:

      -  = 1

     Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель         дробей, т.е. на число 14:

      -  = 1;  | ·14

Получим:

    7(х + 3) – 2(х – 4) = 1· 14;

       7х + 21 – 2х + 8 = 14;

                     5х + 29 = 14;

                              5х = 14 – 29;

                              5х = - 15;

                                х = -15:5;

                                х = - 3.

Ответ: - 3.

4.Разложить на множители:

а) 3а – 15с;

Решение: 3а – 15с = 3(а – 5с);

б) 5х – 2ху;

Решение: 5х – 2ху = х (5 – 2у);

в)   - х³;

Решение:

 - х³ = х³ ( – 1) = х³ (х²– 1) (х²+1)= х³(х– 1)(х+1)(х²+1);

г) 18ас² + 9ас;

Решение: 18ас² + 9ас = 9ас (2c + 1);

д) 15m³ - 9m²n – 12m²;

Решение: 15m³ - 9m²n – 12m² = 3m² (5m – 3n – 4)

е) ху – хz + my – mz;

Решение: ху – хz + my – mz = x(y – z) + m (y – z) = (y – z) (x + m);

ж) 4а – 4b + ca – cb;

     Решение: 4а – 4b + ca – cb = 4(a – b) + c (a – b) = (a – b) (4 + c).

Задачи для самостоятельного решения

Задания обязательного уровня.

1.Преобразовать выражение в многочлен:

а) (7х² - 4х + 8) – (4х² + х – 5);

б) – 5а (  -  6а² + 3);

в) 6m (mn + 3n²) – 3mn (5m + 4n);

г) 12 + 6х³ (7х – 2х²);

д) (х + 4) (3х – 2);

е) (6m + 5n) (7m - 3n);

ж) (10 + b) (b² - 12);

з) (х +5) (х² + х – 6).

2. Упростить выражение и вычислить его значение:

8k (4 + 3k) – 12k (2k + 2), если k = - 0,5.

3Разложить на множители:

а) 18ху – 6х²;

б) 15 - 3;

в) 6m²n² + 9m²n – 12mn²;

г) 4х – 4у + сх – су.

4. Решить уравнение:

 0,4х (5х – 2) + 9,6 = 2х (2 + х).

Задания повышенного уровня.

5. Решить уравнение:

а)  -  = 1;

б) (3х + 4) (4х – 3) – 36 = (2х + 5) (6х – 7).

6. Разложить на множители:

а) 5m – 5n + (m – n) ²;

б)  + 6а³ +  + 6.

7. Доказать, что выражение (8 – 2х (9 + 3х (8 – х))) – (6 – 3(6х – 2х² (х – 8))) принимает положительные значения при любом значении х.