Задачи по теории вероятности на ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Задача 1.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий:

0,7*0,01=0,007

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):

0,3*0,03=0,009

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма)в ситуации 2, то по формуле суммы вероятностей  несовместных событий получаем:

0,007+0,009=0,016

Ответ: 0,016.

Задача 3.

В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Вероятность события А: «кофе закончится в первом автомате» P(A) равна 0,3.

Вероятность события В: «кофе закончится во втором автомате» P(B) равна 0,3.

Задача 4.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Оба автомата неисправны с вероятностью 0,12*0,12=0,0144

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть 1-0,0144=0,9856

Ответ: 0,9856.

Задача 5.

Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Задача 6.

Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Задача 7.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Задача 8.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Задача 9.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Задача 10.

Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

Задача 11.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

3августа:                                                            Х

4 августа:                             Х                                                            О

5 августа:               Х                            О                              Х                      О

6 августа:        Х            О              Х          О                  Х         О          Х         О

Интересующие нас события (отличная погода  6 сентября):

ХХХО

ХХОО

ХОХО

ХООО

Так как произойдёт одно из этих событий (учитывая, что погода завтра будет такой же, как и сегодня с вероятностью 0,8; значит, вероятность того, что погода поменяется 1 – 0,8 = 0,2), получаем искомую вероятность:

0,8*0,8*0,2 + 0,8*0,2*0,8 + 0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,8*0,8 = 0,392

Задача 12.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Задача 13.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение: 

Задача 14.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение:

Задача 15 Чтобы пройти в следующий круг соревнований футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. если команда выиграет она получает 3 очка а в следующей ничьей 1 очко, если проиграет 0 очков. найдите вероятность того что команде удастся выйти в следующий круг совернований. считайте что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0.4

Решение: выигрыш, проигрыш и ничья – дополнительные события. Поэтому вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4=0,2

Для рассмотрения всех возможных случаев удобно построить графы.

1 игра                            В                                  П                                    Н

2 игра               В           П       Н           В           П       Н            В           П       Н    

4 очка можно набратть в трёх сслучаях:

В и В  или  В и Н  или  Н и В

Зная вероятность всех возможных событий находим вероятность того что команде удастся выйти в следующий круг совернований.

0,4*0,4 + 0,4*0,2 + 0,2*0,4 = 0,32

 Задача 16 На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.

Решение:

Соискатель  будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей, если

• Наберёт нужные быллы и по блоку «образование»,  и по блоку «знания и навыки»  по блоку «опыт работы» и и по блоку «иностранные языки».

или

• Наберёт нужные быллы и по блоку «образование», и  по блоку «знания и навыки»  и по блоку «опыт работы», но не наберёт по блоку «иностранные языки.

или

• Наберёт нужные быллы и по блоку «образование», и  по блоку «знания и навыки»  и по блоку«иностранные языки», но не наберёт по блоку «опыт работы».

Событие «не наберёт», дополнительное для события «наберёт»

Находим вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей:

0,6*0,7*0,8*0,5+0,6*0,7*0,8*0,5+0,6*0,7*0,5*0,2 =0,378